人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)全冊(cè)教材同步練習(xí)題含答案解析暑假作業(yè)

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材同步練習(xí)題

二次根式

一、選擇題(每小題4分，共12分)

1.(?紅河中考)計(jì)算斤取的結(jié)果是()

A.-3B.3C.-9D.9

2.如果a>b,貝一定是()

A.負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.非正數(shù)

3.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示,則2+J(a—11)2化簡后為()

--------11?—?---------->

0--------5----。10

A.7B.-7

C.2a-15D.無法確.定

二、填空題(每小題4分，共12分)

4.計(jì)算:7(3.14—II)2-12-兀|=.

5.(?汕頭中考)若實(shí)數(shù)a,b滿足|a+2|+正二展0,則襄_______.

b

6.對(duì)于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,定義一種運(yùn)算※如下:aXb=與空,例如,2

b-a

派3百三①疸2=1.那么-3※-2二

3-21---------

三、解答題(共26分)

7.(6分)由(?)2二a(a20)可得"(?)2620),利用a=?i)2(a20)可將任意一

個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方的形式,例如,3=(V3)2.參考以上方法在實(shí)數(shù)范

圍內(nèi)分解因式：

⑴x125.(2)2a2-7.

8.(6分).已知下列二次根式都是整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值及此時(shí)二次根式的

值.

⑴V2n—18.

(2)V45n.

9.(6分)若|x|=3,化簡|x+317x2-6x+9.

【拓展延伸】

10.(8分)對(duì)于題目|；+a2—2,其中a』”，小天和小強(qiáng)的解答不同.

aya?5

小天的解答:}g+a2-24Jg—a)?

當(dāng)a』時(shí)一,原式2a=]0」二竺.

5aaa55

小強(qiáng)的解答:g+J*+a?_2=孑J(a-J

L1

=-+a--a,

aa

當(dāng)a=：時(shí),原式二ag

小天和小強(qiáng)誰的解答是錯(cuò)誤的?為什么？

答案解析

1.【解析】選B.小乖仔二3.

2.【解析】選B.???府=|a|2a,且a>b,

???丹b,???4p-b>0,即后-b一定是正數(shù).

3.【解析】選A.由實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置可知5<a.<10,

/.a-4>0,a-11<0,

???(疔2+V(a-H)2=a-4-(a-11)=a-4-a+11=7.

4.【解析】J(3.14—冗)2—|2一n|=|3.14-n|一|2一n|=n-3.14-(n-

2)=-1.14.

答案：一1.14

5.【解析】?.?|a+2|+VB^^0,???2+2=0,1)—4=0.解得2二一2,1)二4.將2二一2,1)二4彳弋

入胃中，得三立1.

b4

答案：1

6.【解析】-3※-2二止§士里二正吃.

-2-(-3)1

答案：1

7.【解析】(1)X4-25=(X2)2-52=(X2+5)(X2-5)=(x2+5)(x+V5),(x-V5).

(2)2a2-7=(V2a)2-(V7)2=(V2a+V7)(V2a-V7).

8.【解析】(1)8-2n_18=j2(n_9),貝U2(n-9)是完全平方數(shù),，...n-922,.解得

n211,

?,.n取最小值11時(shí)，V2n-18=72X(11-9)=<^=2.

(2)\45n=\9X5n=V32X5n,則5n是完全平方數(shù)，

當(dāng)n取最小值5時(shí)，^=732x5n=V32X5X5=V32x52=^/(3X5)2=15.

9.【解析】，由|x|二3,得x二±3.

①當(dāng)x=3時(shí)，原式二|.x+31-y/(x—3)2=x+3=6；

②當(dāng)x--3時(shí)，原式二0-6二-6.

10.【解析】小強(qiáng)的解答是錯(cuò)誤的.

二次根式的乘除

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.（-濰坊中考）實(shí)數(shù)0.5的算術(shù)平方根等于（）

A.2B.V2C.—D.-

22

2.計(jì)算3+（-0-（-V3）的結(jié)果為（）

A.3B.9C.1D.3V3

222

3.已知yi=V2x,y=—,y=—,y尸—,???,貝Uyi?yoi4=（)

2y±3yzya2

A.2x2B.1C.2B.V2

二、填空題（每小題4分，共12分）

4,化簡專.

5.二次根式M,V98,V7C,花u，聞落尸子中最簡二次根式

是.

6.觀察并分析下列數(shù)據(jù),尋找規(guī)律:0,g-遍3,-2V3,V15,-3V2,-,那么第10

個(gè)數(shù)據(jù)是.

三、解答題《共26分）

7.（8分）.（?泰州中考）先化簡，再求值:

三|+（X+2-V其中X=VB-3.

8.（8分）長方形的長為3V1C,面積為30泥,要在這個(gè)長方形中剪出一個(gè)面積最

大的正方形,求這個(gè)正方形的面積.

【拓展延伸】

9.（10分）已知,a二呼,b二呼,試比較3與1的大小關(guān)系.

?V2014-V2015b

答案解析

1.【解析】選C.V0.5的算術(shù)平方根是很，而

2.【解析】選C.3+(-V5)+(-V5)=3乂-^又一!^1.

一仃-V33

3.【解析】選C.Vyi=V2x,.\y2=-=-^=^L=^f.\y3=-=2-^—=2X

yxV2xv2x-v2xy2x

臺(tái)告急令方x,因此,yby2,…，y20i4的值分別為伍,?,…，每兩一個(gè)數(shù)一循環(huán),

則y2oi4=—,Ayi?y2ou=V2x?-^=2.

4.【解析】方法一警二

V2V2XV2

方法二璋Ng.

V2V2

答案:迎

5.【解析】???4=當(dāng)"礁V72x2=772,740?722-x2-10=21x|同,

；.出V98,聞］不是最簡二次根式.二次根式⑺,Vx+2,Jx2+y2符合最簡

二次根式的概念.

答案:",VXT2,y/x2+y2

6.【解.析】???各個(gè)式子正、負(fù)相間，且，第n個(gè)式子的被開方數(shù)為3n-3,?；第10

個(gè)數(shù)據(jù)是?3X10-3二傷二34.

答案：3?

7.(解析］—(X+2-

_x-3,/X2-45\_x-3.X2-9

--------II,

X—2\X—2X—2)X—2x—2

-X-3.X-2:1

x-2(x+3)(x-3)x+3，

當(dāng)x=V5-3時(shí)，原式二」^二三立.

x+3v55

8.【解析】長方.形的寬為30優(yōu);3尺=2限,

??,3、而＞2、/書,

???這個(gè)正方形的邊長為2甩，面積為（2尺）J60.

9.【解析】鬻,曰|色

.a_2013二12014_/2013X2015

*h\12014,\/2015{20142

??X2015=(2014-1)X(2014+1)=2014-1,

而2014-1<20142.

.2013X2015人

?--------------<1,

20142

二次根式的加減

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.下列運(yùn)算中，正確的是（）

B.(V12-V7)4-V3-1

C.V32^-^V2=2D.（V2+V3）義V3二佰3

2.在算式（―?）口（—?）的口中填上運(yùn)算符號(hào),使結(jié)果最大,這個(gè)運(yùn)算符號(hào)是

()

A.+B.-C.XD.4-

3.下列計(jì)算正確的是()

A.(3-2V3)(3+273)=9-2X3=3

B.(2Vx+^/y)(2Vx-^/y)=2x-y

C.(3-V3)2=32-(V3)2=6

D.(Vx+Vx+1)(Vx+1-Vx)=1

二、填空題(每小題4分，共12分)

4.計(jì)算:舊-屜義/.

5.規(guī),定一種新運(yùn)算a?b=a2-v'2b,如302=32-vlX2=9-2vl,貝U(2百一1)區(qū)

E=.

6.(-f=—F廠1廠+；廠+…+/1/)X(V2014+1)=____________.

V3+V2V4+V3V2014+V2013/

三、解答題（共26分）

7..（8分）計(jì)算:（7-4時(shí)）（2_?），（2+0（2/+4

8.（8.分）（?德州中考）先化簡,再求值:（~|二巳一六其中a-V2-l.

\a2+2aa2+4a+4/a+2

【拓展延伸】

小\2014

9.（10分）閱讀下面的分析與計(jì)算過程:計(jì)算:QX8201；

若根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，先計(jì)算乘方,再計(jì)算乘法,明顯看出這種方法是

、2014

不可取的.若逆用積的乘方性質(zhì)a?bn=（ab）n,原式二QX8）二L

仿照上面的方法,計(jì)算：（1-V2）2014?（1+V2）2015.

答案解析

1.1.解析】選D.因?yàn)?（遙+］）=3+仁4,所以選項(xiàng)A不正確；因?yàn)椋?，?/p>

4-V3=V4-舊2彎,所以選項(xiàng)B不.正確；因?yàn)閂怎：;捺2dl=8,所以選.項(xiàng)C不

正確；因?yàn)椋ò鳦）,X二夜XJ*（V3）2=倔3,所以選項(xiàng)D正確.

2.【解析】選D.因?yàn)?尸或，

（-陽-掙。,22

（一步（-務(wù)，

所以運(yùn)算符號(hào)是“：”時(shí)結(jié)果最大.

3.【解析】選D.（Vx+VxTl）（VxTl-Vx）

=（Vx+1）2-（Vx）2=x+1-X=1,

因此選項(xiàng)D正確.

【歸納整合】二次根式混合運(yùn)算“四注意”

⑴注意運(yùn)算順序.(2)注意運(yùn)算法則.(3)注意運(yùn)算律和乘法公式的靈活運(yùn)用.

⑷計(jì)算結(jié)果中含二次根式的一定要化成最簡二次根式，且分母中不能含有二次

根式.

4.［解析］V24-V18X舊2、用-Jl8x^=2V6-V6=V6.

答案:粕

5.【解析】根據(jù)新運(yùn)算的法則可知(2V5-1)?Ji住(275-1)2-迎?同

=20-4^5+1-2^21-6V5.

答案：21-6百

［解析］原式』就急下+聲居津揚(yáng)+…+存排溪惠券H二^^

6.X

(<IO14+1)=(V2-1+V3-V2+-+V2014-VT013)X(VTOU+D=WTOH-I)X

(<2014+1)=2014-1=

答案：

7.【解析】(7—4C)(2-6)?+(2+V3)(2-V3)+V3

二(7-4V3)(7-4V3)+22-(V3)2+A/3

=(7-4V3)2+4-3+V3

=97-56V3+4-3+v'3=98-55V3.

8.【解析】(字巳―

\az+2aa2+4a+4/a+2

_Fa-2a-11_^a-4

La(a+2)(a+2)"*a+2

~__a__-_4__?-a-+--2-ZZ-----1----

a(a+2)2a-4a(a+2)'

當(dāng)a=V2-1時(shí)，

1

原式二

a(a+2)(V2-l)(V2-l+2)(V2-1)(V2+1)'

9.【解析】原式=(1-方嚴(yán)％9s如乙(1+V2)

=[(1-V2)2014-(1+V2)2014]?(1+V2)

=[(1-V2)-(1+V2)]2014-(1+V2)

=(-1)2014-(1+V2)=1+V2.

勾股定理

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.如圖,每個(gè)小正方形的邊長為1,AABC的三邊a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB..a<b<.c

C.c<a<bD.c<b<a

2.（?南京中考）設(shè)邊長為3的正方形的對(duì)角線長為a,下列關(guān).于a的四種說法:

①a是無理數(shù);可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示;③3<a<4;是18的算術(shù)平方

根.其中,所有正確說法的序號(hào)是（）

A.①④B.②③

C.①②④D.①③④

3.如圖中的螺旋由一系列直角三角形組成,則第n個(gè)三

角形的面積為（）

A.nB.Vn

C.-

22

二、填空題（每小題4分，共12分）

.4.如圖所示,數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a,則a的值是

-3-2-10A23

5.（?吉林中考）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分

別為（-6,0）,（0,8）.以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交

正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

6.如圖是由4個(gè)邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”.只用沒有刻度的直尺在這

個(gè)“田字格”中最多可以作出.長度為次的線段條.

三、解答題（共26分）

7.（8分）在同一直角坐標(biāo)系中分別描出點(diǎn)A（-3,0）,B（2,0）,C（l,3）,再用線段將

這三點(diǎn)首尾順次連接起來,求4ABC的面積與周長.

8.（8分）如圖所示，在有24個(gè)邊長為1的小正三角形的網(wǎng)

格中，點(diǎn)P是正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作

格點(diǎn)直角三角形，（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的三角形），請(qǐng)你寫

出所有可能的直角三角形斜邊的長.

【拓展延伸】

9.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)

知識(shí)和人文價(jià)值.如圖所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)

律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之

和為Sb第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為S2,第n個(gè)正方形和

第n個(gè)直角三角形的面積之和為Sn.設(shè)第一個(gè)正方形的邊長為1.

請(qǐng)解答下列問題：

(1)Si-.

(2)通過探究,用含n的式子表示Sn,則S..=.

答案解析

1.［解析］選C.VAC=v424-32=5=V25,BC=V424-l2=Vi7,AB二4二行，

/.b>a>c,即c<a<b.

2.【解析】選C.由勾股定理得，正方形的對(duì)角線長為a=<32+32=V18=3V2,JL

4<a<5.所以③錯(cuò)誤，其他都正確.

3.【解析】選D.根據(jù)勾股定理：

在第一個(gè)三角町中：OA：=1+1,SF1X14-2..

在第二個(gè)三角形中：OAHA?+1=1+1+1,

SFOA1X1+2=VTT1X14-2.

在第三個(gè)三角形中：0A；=0A；+1=1+1+1+1,

S3=0A2X1+2=V1+1+1X.14-2;

在第n個(gè)三角形中：Sn=VnX14-2=—.

2

4.【解析】圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2,所以斜邊長為尸”內(nèi)5

所以7到點(diǎn)A的距離是那么點(diǎn)A所表示的數(shù)為V'5-1.

答案:、導(dǎo)［

5.【解析】??,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-6,0),(0,8),???A0=6,B0=8,

AAB=VA02+B02=10,

??,以點(diǎn)A為.圓心，以AB長為半徑畫弧，

AAB=AC=10,A0C=AC-A0=4,

???交x正半軸于點(diǎn)C,???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0).

答案：(4,0)

6.【解析】如圖，由于每個(gè)小正方形的邊長都為1,那么根據(jù)

勾股定理容易得到長度為火的線段，然后可以找出所有這

樣的線段.如圖，所有長度為次的線段全部畫出，共有8條.

答案：8

7.【解析】如圖，利用勾股定理得,ACrFi，=5,BC=/F存三限，

AB=2-(-3)=5,

??.△ABC的周長為AC+BC+AB=5+同+5=10+\/而，面積為工X5X3二二.

8.【解析】通過作圖知，以點(diǎn)P為直角的三角形有八種情況，如圖，△PCB,Z\PCA,

△PDB,Z\PDA,△PC'Bl/XPC'AlZkPD'B'ZkPD'A',均是以點(diǎn)P為直角的直角三

角形，且△PCB0Z\PC'B',APCA^APCA',ARDB^ARDB',APDA^ARD'A',

故：

在RtAPCB中，BC=，PC2+PB2=12+(V3)2=2=B'C';

在RtAPCA中，ACRPC2+PA2=12+(26)2=；

在RtAPDB中，BD=、PD2+PB2=J2^+(V3)2=V?=B'D'；

在RtAPDA中，AD~PD2+PA2=22+(2V3)2=4=A'D'.

故所有可能的直角三角形斜邊的長為4,2,V7,V13.

9.【解析】（1）???第一個(gè)正方形的邊長為1,

.?.正方形的面積為1,

又...直角三角形一個(gè)角為30°,

，三角形的一條直角邊為:，另一條直角邊就是Ji2-Q）2q,

???三角形的面積為:X斗：24.?.S產(chǎn)1+9

⑵;第二個(gè)正方形的邊長為由,它的面積就是,也就是第一個(gè)正方形面積的2,

244

同理，第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的2,

,'"(I+T)*依此類推,S3=(1+/)?泊，即S3=(1+?(；)，

n-1

所以Sn=(1+￥)?g)(n為整數(shù)).

勾股定理

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.（,安順中考）如圖,有兩棵樹,一棵高10m,另一棵高4m,兩樹相距8m.一只鳥從

一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）

A.8nB.10mC.12mD.14ir.

2.如圖所示,一場(chǎng)暴雨過后,垂直于地面的一棵樹在距地面1m處折斷,樹尖B恰

好碰到地面,經(jīng)測(cè)量AB=2m,則樹高為（）

A.V5in-B.V3m

C.D.3m

3.如圖，圖.中有一.長、寬、高分別為5cm,4cm,3cm的木箱,在它里面放入一根細(xì)

木條（木條的粗細(xì)、變形忽略不計(jì)），要求木條不能露出木箱,請(qǐng)你算一算,能放入

的細(xì)木條的最大長度是（）

A.V41cmB.V34cmC.5/cmD.5V3cm

二、填空題（每小題4分，共12分）

4.如圖,在高為3m,斜坡長為5m的樓梯表面鋪地毯,則地毯的長度至少需要

叫若樓梯寬2m,每平方米地毯需30元，,那么這塊地毯需要花元.

5.如圖,要制作底邊BC的長為44cm,頂點(diǎn)A到BC的距離與BC長的比為1：4的

等腰三角形木衣架,則腰AB的長至少需要cm.（結(jié)果保留根號(hào)的形式）

6.一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng),其截面如圖所示.正

方形DEFH的邊長為2m,若NA=30°,ZB=900,BC=6m.當(dāng)

正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置,即當(dāng)AE=m時(shí),

有DC2=AE2+BC2.

三、解答題（共26分）

7.（8分）如圖,鐵路上A,B兩點(diǎn)相距25km,C,D為兩村莊,DA—?

±AB于A,CB±AB于B,已知DA=15km,CB=10J<m,現(xiàn)在要在鐵/

路AB附近建一個(gè)土特產(chǎn)收購站E,使得C,D兩村到E站的口

距離相等,則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？

8.（8分）在一棵樹的10m高處有兩只猴子,其中一只猴子爬下樹走到離樹20m的

池塘A處,另一只爬到樹頂后直接躍向池塘的A處,如果兩只猴子所經(jīng)過的路程

相等.，試問這棵樹有多高？

【拓展延伸】

9.（10分）小明家住在18層的高樓上.一天,他與媽媽去買竹竿.

如果電梯的長、寬、高分別是1.5m,1.5m,2.2m,那么能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大

長度大約是多少?你能估計(jì)出小明家買的竹竿至少是多少米嗎（精確到0.1）?

答案解析

1.【解析】選B.如圖，設(shè)大樹高為ABnOm,小樹高為CD=4m,

過C點(diǎn)作CELAB于E,則四邊形EBDC是長方形，連接AC,

???EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6(m),

在RtAAEC中，ACKAE2+EC^Wm.

2.【解析】選C.在Rt△ABC中,AC=1m,AB=2m,由勾股定理，得

BC=VAC24-AB2=V5m;

??.樹的高度為AC+BC=(V5+-1)m.

3.【解析】選3如圖，連接BC,BD,在RtAABC

D

中，AB=5cm,AC=4cm,根據(jù)勾股定理，得

BC=VAB2+AC2=V41cm,

在RtABCD中，CD=3cm,BC="fem,

BD=VBC2+CD2=5V2(cm)..

【歸納整合】應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題

(1)解決兩點(diǎn)間距離問題：正確畫出圖形，已知直角三角形兩邊，利用勾股定理求

第三邊.

⑵解決折疊問題：正確畫出折疊前.、后的圖形，運(yùn)用勾股定理及方程思想解題.

⑶解決梯子問題：梯子架到墻上，梯子、墻、地面可構(gòu)成直角三角形，利用勾股

定理等知識(shí)解題.

(4)解決側(cè)面展開問題：將立體圖形的側(cè)面展開成平面圖形，利用勾股定理解決

表面距離最短的問題.

4.【解析】在RtZ\ABC中，AC'+BCJAB：

所以AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16.所以AC=4(m).所以地卷長度為AC+BC二

4+3=7(m).

所以地毯總面積為7X2=14(m2).所以需花30X14=420(元).

答案：74.20

5.【解析】如圖，作AD_LBC于D,

VAD:BC=1：4,A

且BC二44cm,AD=11cm.

BDC

又?；AB=AC,

J在RtAABD中,AD=11cm,BD=-BC=22cm,

2

???AB2=AD2+BD2,AAB=V1124-222=11V5(cm),

AB的長至少為11V5cm.

答案:11、丐

6.【解析】TNA二30°,NB=90°,BC=6叫JAC=12m,

設(shè)AE=xm,可得EC=(12-x)m,

?.?正方形DEFH的邊長為2m,即DE=2m,

.\DC2=DE2+EC2=4+(12-x)2,HC

AE2+BC2=X2+36,

VDC2=AE2+BC2,

.\4+(12-X)2=X2+36,

解得.:x哼

答案:史

3

7.【解析】設(shè)AE=xkm,因?yàn)镃,D兩村至uE站的距離相等，所以DE=CE,即DEJCE;

由勾股定理，得152+x2=102+(25-x)2,x=10.

故E點(diǎn)應(yīng)建在距A站10km處.

8.【解析】如圖所示：

設(shè)BD=x,則CD=BD+BC=x+10.

.*.BC+CA=BD+AD=30,

/.AD=30-BD=30-x.

在RtAADCAD-CD2+AC2,

A(30-X)2=(X+10)2+20.2,解得x=5.

ACD=5+10=15(m).

答:這棵樹高15m.

9.【解析】VZADB=90°,

AAB2=AD2+BD2

=1.52+1.52=4.5.

VZABC=90°,

.\AC-AB2+BC2

=4.5+2.22=9.34.

而3.12=9.61,

所以能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長度大約是3m,

小明家買的竹竿至少是

3.1m.

勾股定理的逆定理

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.如圖,每個(gè)小正方形的邊長為1,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn),則NABC的度數(shù)為

（）

,A.90°B.60°C.45°D.30°

2.如圖所示，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB,CD,EF,GH四條線段，其中

能構(gòu)成直角三角形三邊的線段是（）

A.CD,EF,GH

B.AB,EF,GH

C.AB,CD,GH

D.AB,CD,EF

3,將直角三角形三條邊的長度都擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后得到的三角形（）

A.仍是直角三角形B.可能是銳角三角形

C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形

二、填空題（每小題4分，共12分）

4.把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a24-b2=c2"

的逆命題改寫成“如果……，那么……”的形式:.

5.觀察以下幾組勾股數(shù),并尋找規(guī)律：

①3,4,5;

②5,12,13;

③7,24,25;

@9,40,41;-

請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù):.

6.若a,b,c是直角三角形的三條邊長,斜邊c上的高的長是h,給出下列結(jié)論：

①以a；b[c?的長為邊的三條線段能組成一個(gè)三角形;②以「，傷，衣的長為邊

的三條線段能組成一個(gè)三角形;③以a+b,c+h,h的長為邊的三條線段能組成直角

三角形;④以；:」的長為邊的三條線段能組成直角三角形.

abc

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題（共26分）

7.（8分）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域,我海軍甲、乙兩

艘巡邏艇立即從相距13nmile的A,B兩個(gè)基地前去攔截,六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地

將其攔截.已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120nmile,乙巡邏艇每小時(shí)航行50nmile,航

向?yàn)楸逼?0°,問：甲巡邏艇的航向是多少？

8.（8分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1.求四邊形ABCD的面積和周長（精確到

0.1）.

.【拓展延伸】

9.（10分）王偉準(zhǔn)備用一段長3.0米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈,用于飼養(yǎng)

家兔.已知第一條邊長為am,由于受地勢(shì)限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2

倍多2m.

（1）請(qǐng)用a表示第三條邊長.

（2）問第一條邊長可以為7m嗎?為什么？請(qǐng)說明理由，并求出a的取值范圍.

C3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀,且各邊長均為整數(shù)?若能,說出你的

圍法;若不能，請(qǐng)說明理由.

答案解析

1.【解析】選C.根據(jù)勾股定理可以得到：AC二BC75ABKn.

V（V5）2+（V5）2=（Vic）2,

.\AC2+BC2=AB2.AAABC是等腰直角三角形.

...NABC=450.

2.【解析】選B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,

所以AB2+EF2=GH2.

3?【解析】選A.設(shè)直角三角形的三邊分別為a,b,c,且滿足a'+b?二擴(kuò)大相同倍

數(shù)后各邊分別為na,nb,nc,

因?yàn)?na)2+(nb)2-n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,

所以擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后得到的三角形仍是直角三角形.

4.【解析】逆命題為：三角形三邊長a,b,c,滿足a2+b2=c2,這個(gè)三角形是直角三角

形，逆命題改寫成“如果……，那么……”的形.式:如果三角形三邊長a,b,c,滿足

a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

答案：如果三角形三邊長a,b,c,滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形

5.【解析】從上邊可以發(fā)現(xiàn).第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且逐步，遞增2,故第5組第一個(gè)數(shù)

是11,又發(fā)現(xiàn)第二、第三個(gè)數(shù)相差為1,故設(shè)第二個(gè)數(shù)為x,則第三個(gè)數(shù)為x+1,根

據(jù)勾股定理得：1/+乂2=(x+1)[

解得x=60,則得第⑤組勾股數(shù)是11,60061.

答案：11,60,61

6.【解析】①直角三角形的三條邊滿足勾股定理a2+b2=c2,因而以a?,b*c?的長為

邊的三條線段不能滿足兩邊之和大于第三邊，故不能組成一個(gè)三角形，故錯(cuò)誤；

②直角三角形的三邊有a+b>c(a,b,c中c最大)，而在Yb,\'c三個(gè)數(shù)中立最

大，如果能組成一個(gè)三角形，則有、石+&成立，即(v,a+>/b)2>(<c)2,即

a+b+2、0E>c(由a+b>c),則不等式成立，從而滿足兩邊之和大于第三邊，則以

\a,Vb,八的長為邊的三條線段能組成一個(gè)三角形，故正確；③a+b,c+h,h這三個(gè)

數(shù)一中c+h-(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,

又,；2ab=2ch;4s人孫???(a+b)2+h2=(c+h)：根據(jù)勾股定理的逆定理即以a+b,c+h,h

的長為邊的三條線段能組成直角三角形，故正確；④假設(shè)a,=3,b=4,c=5,則；工」的

abc

長為:以這三個(gè)數(shù)的長為邊的三條線段不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤.

345

答案:②③

7.【解析】AC=120X-^12(nmiIe),BC=50X-^=5(nmiIe),又因?yàn)锳B=13nmiIe,所

6060

以AC2+BC2=AB2,所以AABC是直角三角形，可知NCAB+NCBA=90°,由NCBA=50°,

知NCAB=40°,所?以甲巡邏艇的航向?yàn)楸逼珫|50°.

8.【解析】根據(jù)勾股定理得到：

AD=y72+12=V5C,

AB=722+42=V2C,

CD=V32+42=5；

BC=Vl2+22=V5,

???四邊形ABCD的周長是

AB+BC+CD+ADr公府5+國％8.8.

連接AC,BD,則AC=<424-32=5.

V(2V5)2+(V5)-52,52+52=(5V2)2,

AAB2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2.

???NABC和NACD是直角.

???四邊形ABCD的面積二直角△ABC的面積+直角△ACD的面積

』BC?AB+-AC?CD=17.5.

22

【歸納整合】勾股定理與其逆定理的聯(lián)系和區(qū)別

聯(lián)系：⑴兩者都與a?+b2=c2有關(guān).⑵兩者所討論的問題都是直角三角形.

區(qū)別：勾股定理是以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)直角三

角形三邊的數(shù)量關(guān)系，"aZ+b?=c?”；勾股定理的逆定理則是以“一個(gè)三角形的三

邊滿足a?+b2=c?”為條件，進(jìn)而得到“這個(gè)三角形是直角三角形”，是判別一個(gè)三

角形是否是直角三角形的一個(gè)方法.

9?【解析】⑴I第二條邊長為2a+2,

???第三條邊長為30-a-(2a+2)=28-3a.

(2)當(dāng)a=7時(shí),三邊長分別為7,16,7.

由于7+7<16,所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長不能為7m.

由［野+々+'>煦一熱可解得2a<欠即a的取值范圍是2a〈里

((2a+2)-a<28-3a,3232

⑶在⑵的條件下，a為整數(shù)時(shí),a只能取5或6.

當(dāng)a二5時(shí)，三角形的三邊長分別為5,12,13.

.由52+122=132知，恰好能構(gòu)成直角三角形.

當(dāng)a二6時(shí)，三角形的三邊長分別為6,14,10.

由62+1。2手14?知，此時(shí)不能構(gòu)成直角三角形.

綜上所述，能圍成滿足條件的小圈，它們的三邊長分別為5m,12m,13m.

矩形

一、選擇題(每小題4分，共12分)

1.（?包頭中考）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形，點(diǎn)B在EF邊上,

若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是SbS2,則SbS2的大小關(guān)系是（）

A.Si>S2B.S.=S2C.Sj<S2D.3s尸2s2

2.（?南充中考）如圖,把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落

在AD邊的B'處，若AE=2,DE=6,ZEFB=6.0°,則矩形ABCD

的面積是（）

A.12B.24C.12V3D.1673

3.如圖，ZM0N=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B分別在邊OM,ON

上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在OM上運(yùn)動(dòng),矩形ABCD

的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)0

的最大距離為（）

A.V2+1B.V5C.逗D.-

52

二、填空題（每小題4分，共12,分）

4.（?北京中考）如圖,0是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn),M是AD的中點(diǎn)，若

AB=5,AD=12,則四邊形ABOM的周長為

5.（?漳州中考）如圖，在RtAABC中，NACB=90°,點(diǎn)D

是斜邊AB的中點(diǎn),DE1AC,垂足為E,若DE=2,CD=2<5,

則BE的長為

6.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長線

上,連接DE交AB于點(diǎn)F,ZAED=2ZCED,點(diǎn)G是DF的

中點(diǎn)，若BE=1,AG=4,則AB的長為.

三、解答題（共26分）

7.（8分）（?湘西中考）如圖,在矩形ABCD中,E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，連接

AF,CE.

（1）求證：ABEC四△DFA.

⑵求證：四邊形AECF是平行四邊形.

8.（8分）已知：如圖,矩形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)0,AE平分NBAD,若NEA0二

15°,求NB0E的度數(shù).

【拓展延伸】

9.（10分）閱讀以下短文，然后解決下列問題：

如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角

形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上,則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩

形”.如圖①所示,矩形ABEF即為4ABC的“友好矩形”.顯然，當(dāng)4ABC是鈍角

三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè).

（1）仿照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”.

（2）如圖②,若4ABC為直角三角形,且NC=90°,在圖②中畫出4ABC的所有“友

好矩形”，并比較這些矩形面積的大小.

（3）若aABC是銳角三角形,且BOAOAB,在圖③中畫出aABC的所有“友好矩形”,

指出其中周長最小的矩形并加以證明.

A

答案解析

1.【解析】選B.矩形ABCD的面積S尸2s9眈，而Sc=-S,所以SFS.

AAB222

2.【解析】選D.由兩直?線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，

知NDEF=NEFB二60°,AZAEF=ZA'EF=120°,

???ZA'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'二2禽，

AAB=2\<3,矩形ABCD的面積為S=2Vl義8=16JI

【歸納整合】解決矩形中折疊問題的兩個(gè)思路

⑴運(yùn)用矩形的對(duì)邊相等、對(duì)角線相等、四個(gè)角是直角等性質(zhì).

⑵運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，找出折疊.前后相等的角、線段.

3.【解析】選A.取AB的中點(diǎn)E,連接OE,DE,OD,

貝U0E=;AB=1,AE=1,，DE=VZ當(dāng)D,E,0三點(diǎn)共線時(shí)，0D=OE+DE,否貝|OD<OE+DE,

AOD長的最大值是遮+1.

4.【解析】由勾股定理得AC=13,

VBO為直角三角形斜邊上的中線,

AB0=6.5,

由三角形中位線定理得MO=2.5,

...四邊形ABOM的周長為：6.5+2.5+6+5=20.

答案：20

5.【解析】YNACB=90°,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE_LAC,???BC=2DE=4.

AAB=2CD=4V5,

JACrABZ-BgJ(4V5)2-42=8.

.'?CE二二4,BE=VBC2+CE2=V424-42=4V2.

答案：4位

6.【解析】???四邊形ABCD是矩形，

???AD〃BC.JNCED二NADE.

四邊形ABCD是矩形,.,?NBAD=90°.

???點(diǎn)G是DF的.中點(diǎn),

JAG二KF=DG.???ZAGE=2ZADE=2ZCED.

2

又*NAED=2NCED,???NAGE=NAED,

AAE=AG=4.

在RtAABE中AB=VAE2-BE^V^2-12=VT!.

答案:限

7.【證明,】⑴:四邊形ABCD是矩形，

AAB=CD,AD=BC.

又TE,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn)，

???BE=DF,

V^ABEC^ADFA中，

(BC=DA,

ZB=ZD,AABEC^ADFA(SAS).

(BE=DF,

⑵由⑴得，CE=AF,又CF二AE,

故可得四邊形AECF是平行四邊形.

8.【解析】VAD/7BC,

??.NDAE;NAEB.

VAE平分NDAB,JZDAE=ZBAE.

/.ZBAEFZAEB,AAB=BE.

VZBAD=90°,ZBAE=ZEAD,AZBAE=45°.

VZEA0=15°,AZBA0=45°+15°=60°.

V0A=0B,AAAOB是等邊三角形，JBO=AB.

VAB=BE,.\BO=BE.,ANBOE二NBEO.

VZABE=90°,ZAB0=60°,AZ0BE=30°.

在ABOE中，；ZB0E+ZBE0+Z0BE=180°,

AZB0E=-(180°-ZOBE)=75°.

2

9.【解析】(1)如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平

行四邊形的一邊重合，三角,形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱

這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四.邊形”.

(2)此時(shí)共有2個(gè)“友好矩形”，如圖，矩形BCAD,矩形ABEF.

易知，矩形BCAD,矩形ABEF的面積都等于aABC面積的20A

倍,B*

?二△ABC的“友好矩形”的面積相等.E

（3）此時(shí)共有3個(gè)“友好矩形”，如，圖中矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK,其中

矩形ABHK的周長最小.

證明如下：易知，這三個(gè)矩形的面積相等，令.其為S.設(shè)矩形BCDE,矩形CAFG及矩

形ABHK的周長分別為LbL2,L3,△ABC的邊長BC=a,CA二b,AB=c,則

L=32a,L2二至+2b,L3二%2c.

abc

.\L-L2=(y+2axm+2b>2(a-b)X絮，而ab>S,a>b,AL-L2>0,即L>L2.

同理可得，l_2>L3,

???1_3最小，即矩形ABHK的周長最小.

矩形

一、選擇題（每小題4分，共12分）

L在判斷“一個(gè)四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組的

4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是（）

A.測(cè)量對(duì)角線是否相等

B.測(cè)量兩組對(duì)邊是否分別相等

C.測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角

D.測(cè)量其中三個(gè)角是否都為直角

2.口ABCD中,AC交BD于點(diǎn)0,再添加一個(gè)條件,仍不能判定四邊形ABCD是矩形的

是（）

A.AB=ADB.OA=OB

C.AC=BDD.DC±BC

3.如圖，AABC中,AC的垂直平分線分別交A￡,AB于點(diǎn)D,F,BE±DF交DF的延長

線于點(diǎn)E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,則四邊形BCDE的面積是（）

A.2V3B.V3C.4D.3V3

二、填空題（每小題4分，共12分）

4.如圖,在AABC中,AB=AC,將2XABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到

△FEC,連接AE,BF.當(dāng)NACB為度時(shí)，四.邊形ABFE

為矩形.

5.（好和浩特中考）如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC±BD,

垂足為0,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AD,AB?BC,CD的中點(diǎn).若AC=8,BD=6,則四邊形

EFGH的面積為

6.如圖,將矩形紙ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊形

EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,則邊AD的長是cm.

三、解答題（共26分）

7.（8分）已知:如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)

0,BE±AC于E,DF±AC于F,點(diǎn)0既是AC的中點(diǎn)，又是EF

的中點(diǎn).一

（1）求證：ZiBOE烏ZiDOF.

⑵若OA^BD,則四邊形ABCD是什么特殊四邊形?說明理由.

2

8.（8分）（?新疆中考）如圖,oABCD中，點(diǎn)0是AC與BD的

交點(diǎn),過點(diǎn)0的直線與BA,DC的延長線分別交于點(diǎn)E,F.

（1）求證：ZXAOE且△COF.

⑵請(qǐng)連接EC,AF,則EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF

是矩形，并說明理由.

【拓展延伸】

9.（10分）如圖,在aABC中.，點(diǎn)0是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)0作直

線MN〃BC.設(shè)MN交NBCA的平分線于點(diǎn)E,交NBCA的鄰補(bǔ)角的平分線于點(diǎn)F,連

接AE,AF.那么當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

答案解析

1.4解析】選D.根據(jù)矩形的判定，三個(gè)角都為直角的四邊形是矩形.故選D.

2.【解析】選A.根據(jù)矩形的判定定理（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）可

得：DC_LBC可證四邊形ABCD是矩形.故D選項(xiàng)能判定四邊形ABCD為矩形；矩形的

對(duì)角線相等且相互平分,0A=OB,AC二BD可證四邊形ABCD為矩形，故B,C選項(xiàng)能判

定四邊形ABCD為矩形；AB二AD時(shí)，可證四邊形ABCD的四條邊都相等，不能證四邊

形ABCD為矩形.

3.【解析】選A.〈DE是AC的垂直平分線，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，

.\DF#BC,AZC=90°,又易知NCDE=NBED二90°,

???四邊形BCDE是矩形.

VZA=30°,ZC=90°,BC=2,.\AB=4,

.?.AC=V42-22=2V3.ADC=V3.

J四邊形BCDE的面積為2X佰2/3.

4.【解析】如果四邊形ABFE為矩形，

根據(jù)矩形的性質(zhì)，那么AF=BE,AC=BC,

又因?yàn)锳C=AB,那么三角形ABC是等邊三角形，

所以NACB=60°一

答案：60

5.［解析】???點(diǎn)E,F分別為四邊形ABCD的邊AD,AB的中點(diǎn)，，EF//BD,且EF=-BD=3.

2

同理求得GH〃BD,且GH」BD=3,EH〃AC〃GF,且EH二GF』AC=4,

22

...四邊形EFGH為平行四邊形.

5CVAC±BD,AEFXFG.

???四邊形EFGH是矩形.

???四邊形EFGH的面積:EF?EH=3X4=12,.

即四邊形EFGH的面積是12.

答案：12

6.【解析】???NHEM二NAEH,NBEF二NFEM,

AZHEF=ZHEM+ZFEM=-X1800=90°,

2

同理可得：NEHG二NHGF二NEFG二90°,

.??四邊形EFGH為矩形.

AEH=FG,HG=EF,ZEHA=ZGFC,

又NA二NC二90°,

AAAEH^ACGF,.\AH=CF,ABF=HD.

TAD=AH+HD=HM+MF=HF,.

HF=VEH24-EF2=V32+42=5,；.AD=5cm