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文檔簡(jiǎn)介

第3章扭轉(zhuǎn)§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3-3純剪切§3-2外力偶矩的計(jì)算、扭矩及扭矩圖§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能§3-7矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論簡(jiǎn)介2024/9/19第1頁(yè)/共63頁(yè)工程實(shí)例:汽車(chē)傳動(dòng)軸

傳動(dòng)軸§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例傳動(dòng)軸受扭2024/9/19第2頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19工程實(shí)例:汽車(chē)方向盤(pán)第3頁(yè)/共63頁(yè)工程實(shí)例:齒輪傳動(dòng)軸

2024/9/19第4頁(yè)/共63頁(yè)工程實(shí)例:螺栓、螺母

第5頁(yè)/共63頁(yè)

本章研究桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形,其它變形可忽略的情況,以圓截面(實(shí)心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對(duì)象。研究的問(wèn)題限于桿在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作的情況。2024/9/19第6頁(yè)/共63頁(yè)變形特點(diǎn):1.桿件各橫截面繞軸線(xiàn)作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng);

2.桿表面的縱向線(xiàn)傾斜了一個(gè)角度

。受力特點(diǎn):圓截面直桿受到與桿軸線(xiàn)垂直平面內(nèi)的外力偶M作用。2024/9/19

MeMe

第7頁(yè)/共63頁(yè)§3-2外力偶矩的計(jì)算、扭矩及扭矩圖1.傳動(dòng)軸的外力偶矩

當(dāng)傳動(dòng)軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),外力偶在單位時(shí)間內(nèi)所作之功等于外力偶之矩M

與相應(yīng)角速度的乘積。2024/9/19主動(dòng)輪從動(dòng)輪從動(dòng)輪第8頁(yè)/共63頁(yè)

從動(dòng)輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。主動(dòng)輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同,2024/9/19從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪注意轉(zhuǎn)向第9頁(yè)/共63頁(yè)2.扭矩及扭矩圖

傳動(dòng)軸橫截面上的扭矩T可利用截面法來(lái)計(jì)算。T=M2024/9/19保留左端保留右端第10頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線(xiàn)方向?yàn)檎?+),負(fù)(-)扭矩圖表示各橫截面上的扭矩沿軸線(xiàn)的變化情況的圖。第11頁(yè)/共63頁(yè)[例題3-1]

已知:,PA

=36KW,PB

=PC

=11KW,PD=14KW。試作軸的扭矩圖。

解:1.計(jì)算外力偶矩2024/9/19第12頁(yè)/共63頁(yè)2.計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi):CA段內(nèi):2024/9/19AD段內(nèi):第13頁(yè)/共63頁(yè)2.計(jì)算各段的扭矩扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代數(shù)和。外力偶矩投影箭頭向上為正,外力偶矩投影箭頭向下為負(fù)。保留左端2024/9/19保留右端符號(hào)相反第14頁(yè)/共63頁(yè)3.作扭矩圖

由扭矩圖可見(jiàn),傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi),其值為700N.m。2024/9/19第15頁(yè)/共63頁(yè)思考:如果將從動(dòng)輪D與C的位置對(duì)調(diào),試作該傳動(dòng)軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理?2024/9/19第一種方案第二種方案第16頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19第二種方案第一種方案那個(gè)方案好?第17頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19aa2aMe2Me3MeABCD試求各段的扭矩,畫(huà)扭矩圖第18頁(yè)/共63頁(yè)§3-3純剪切試驗(yàn)中觀察到:(1)當(dāng)變形很小時(shí),各圓周線(xiàn)的大小與間距不變,僅繞軸線(xiàn)作相對(duì)旋轉(zhuǎn);(2)各縱向線(xiàn)傾斜一角度,矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形。1.薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力2024/9/19第19頁(yè)/共63頁(yè)(1)只有與圓周相切的切應(yīng)力,且圓周上所有點(diǎn)處的切應(yīng)力相同,橫截面上無(wú)正應(yīng)力。(2)對(duì)于薄壁圓筒,可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布。橫截面上的應(yīng)力:2024/9/19A放大第20頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/191.薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力第21頁(yè)/共63頁(yè)2.切應(yīng)力互等定理微小單元體上的力偶平衡,即結(jié)論:在相互垂直的兩個(gè)平面上,切應(yīng)力必然成對(duì)存在,且數(shù)值相等,兩者都垂直于兩平面的交線(xiàn),方向則均指向或均離開(kāi)該交線(xiàn)?!袘?yīng)力互等定理2024/9/19第22頁(yè)/共63頁(yè)純剪切的概念如果單元體的兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力,而在另一對(duì)平面上沒(méi)有任何應(yīng)力,則該單元體處于純剪切狀態(tài)。2024/9/19第23頁(yè)/共63頁(yè)3.剪切胡克定律

在切應(yīng)力的作用下,微體發(fā)生了直角改變,這種角變量稱(chēng)為切應(yīng)變。

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)表明:當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí),切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比,引入比例系數(shù)G,則切變模量,其值隨材料而異剪切虎克定律鋼材的切變模量的約值為:G=80GPa2024/9/19第24頁(yè)/共63頁(yè)§3-4圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力一.橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問(wèn)題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變

關(guān)系(問(wèn)題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計(jì)算公式(問(wèn)題的靜力學(xué)方面)2024/9/19第25頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19第26頁(yè)/共63頁(yè)1.表面變形情況:各圓周線(xiàn)的大小、形狀和間距不變,僅繞軸線(xiàn)作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng);(b)縱向線(xiàn)傾斜了一個(gè)角度g

。平面假設(shè)——變形后橫截面仍保持為平面。推知:桿的橫截面上只有切應(yīng)力,且垂直于半徑。(1)變形幾何關(guān)系一.圓柱扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力2024/9/19第27頁(yè)/共63頁(yè)2.切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律2024/9/19根據(jù)變形后橫截面任為平面、半徑任為直線(xiàn)的假設(shè),求矩圓心為處的切應(yīng)變:第28頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19第29頁(yè)/共63頁(yè)

式中——相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j沿桿長(zhǎng)的變化率,常用j'

來(lái)表示,對(duì)于給定的橫截面為常量。

可見(jiàn),在橫截面的同一半徑r

的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變gr

均相同;gr與r

成正比,且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr2024/9/19第30頁(yè)/共63頁(yè)(2)物理關(guān)系由剪切胡克定律t=Gg

知此式表明:扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿截面徑向線(xiàn)性變化??招膱A軸切應(yīng)力分布實(shí)心圓軸切應(yīng)力分布2024/9/19圓周上任一點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)第31頁(yè)/共63頁(yè)(3)靜力學(xué)方面其中稱(chēng)為橫截面的極慣性矩Ip,它是橫截面的幾何性質(zhì)。切應(yīng)力計(jì)算公式以代入上式得:2024/9/19(3.8)第32頁(yè)/共63頁(yè)抗扭截面系數(shù),單位為m3橫截面周邊上各點(diǎn)處(r=R)的最大切應(yīng)力為極慣性矩扭矩二.最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力2024/9/19第33頁(yè)/共63頁(yè)實(shí)心圓截面二.圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp2024/9/19第34頁(yè)/共63頁(yè)思考:對(duì)于空心圓截面,,其原因是什么?空心圓截面2024/9/19第35頁(yè)/共63頁(yè)解:(1)內(nèi)力分析

AB段:BC段:2024/9/192112[補(bǔ)充例題]

軸左段為實(shí)心圓截面,d=20mm,右段為空心圓截面,d=15mm、D=25mm。,

,試計(jì)算軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。

第36頁(yè)/共63頁(yè)(2)應(yīng)力分析2024/9/192211第37頁(yè)/共63頁(yè)低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口2024/9/19第38頁(yè)/共63頁(yè)鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口2024/9/19第39頁(yè)/共63頁(yè)

思考:低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖a及圖b所示,試問(wèn)為什么它們的斷口形式不同?2024/9/19第40頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19三、強(qiáng)度條件強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面確定許可載荷應(yīng)用第41頁(yè)/共63頁(yè)

[補(bǔ)充例題]

圖示階梯空心圓軸,MA=150N.m,MB=50N.m,MC=100N.m,[t

]=90MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。解:(1)求AB與BC段的扭矩AB段:T1=MA=150N·mBC段:T2=Mc=100N·m2024/9/19182418221122第42頁(yè)/共63頁(yè)(2)強(qiáng)度校核故該軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度符合要求。第43頁(yè)/共63頁(yè)

[例3.2題]

圖示傳動(dòng)軸,

材料為45鋼,。試根據(jù)強(qiáng)度要求確定軸的直徑。解:(1)求外力矩(2)作扭矩圖第44頁(yè)/共63頁(yè)(3)強(qiáng)度校核故有可見(jiàn),按強(qiáng)度要求可取。第45頁(yè)/共63頁(yè)

[例3-3]汽車(chē)傳動(dòng)軸。T=1.5kN.m,[]=60MPa,無(wú)縫鋼管的D=90mm

,d=85mm,試校核軸的強(qiáng)度。若保持最大切應(yīng)力不變,將軸改為實(shí)心軸,試比較實(shí)心軸和空心軸的重量。解:(1)空心軸強(qiáng)度校核2024/9/19故軸滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。第46頁(yè)/共63頁(yè)(2)確定實(shí)心與空心圓軸的重量比2024/9/19由此求出

可見(jiàn):空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕。第47頁(yè)/共63頁(yè)§3-5圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形1.扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形

等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(相對(duì)角位移)j來(lái)度量。MeADBCMejg2024/9/19第48頁(yè)/共63頁(yè)

當(dāng)?shù)戎眻A桿相距l(xiāng)的兩橫截面之間,扭矩T及材料的切變模量G為常量時(shí)有2024/9/19

由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率(亦稱(chēng)單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角)為。可知,桿的相距的兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j為第49頁(yè)/共63頁(yè)2.剛度條件式中的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[]的常用單位是(°)/m。此時(shí),等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件表示為:對(duì)于精密機(jī)器的軸[

]≈0.15~0.30(°)/m;對(duì)于一般的傳動(dòng)軸[

]≈2

(°)/m。2024/9/19第50頁(yè)/共63頁(yè)

[例3-4]圖示例3.2鋼制實(shí)心圓截面軸。2024/9/19已知:試按剛度要求計(jì)算該軸的直徑及的總扭轉(zhuǎn)角。解:1、按剛度條件計(jì)算直徑選取第51頁(yè)/共63頁(yè)2、各段軸的兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角:123BC2024/9/19第52頁(yè)/共63頁(yè)3、齒輪3

相對(duì)于齒輪1的扭轉(zhuǎn)角2024/9/19第53頁(yè)/共63頁(yè)§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能(選講)純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度計(jì)算外力所作功dW

使左側(cè)面不動(dòng),右側(cè)面上的外力tdydz在相應(yīng)的位移gdx上作功。2024/9/19純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體第54頁(yè)/共63頁(yè)

當(dāng)材料在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)工作時(shí)(t≤tp,見(jiàn)圖b),有2024/9/19純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體第55頁(yè)/共63頁(yè)

單元體內(nèi)蓄積的應(yīng)變能dVε數(shù)值上等于單元體上外力所作功dW,即dVε=dW

。單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能,亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為

由剪切胡克定律t=Gg,該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫(xiě)為2024/9/19第56頁(yè)/共63頁(yè)

在扭矩T為常量時(shí),長(zhǎng)度為l的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為

等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能由

可知,亦有2024/9/19第57頁(yè)/共63頁(yè)

當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí),整個(gè)桿內(nèi)蓄積的應(yīng)變能為應(yīng)變能亦可如下求得:2024/9/19第58頁(yè)/共63頁(yè)

例題3-7圖示AB、CD為等直圓桿,扭轉(zhuǎn)剛度均為GIp,BC為剛性塊,D

截面處作用有外力偶矩Me。試求:(1)桿系內(nèi)的應(yīng)變能;(2)利用外力偶矩所作功在數(shù)值上等于桿系內(nèi)的應(yīng)變能求D截面的扭轉(zhuǎn)角

jD。ABCDMel/2l2024/9/19第59頁(yè)/共63頁(yè)T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.靜力平衡求扭矩2.桿系應(yīng)變能其轉(zhuǎn)向與Me相同。ABCDMe3.求D截面的扭轉(zhuǎn)角jD2024/9/19第60頁(yè)/共63頁(yè)§3-8等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形1.等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)

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