第3章扭轉(zhuǎn)變形

第3章扭轉(zhuǎn)§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3-3純剪切§3-2外力偶矩的計(jì)算、扭矩及扭矩圖§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能§3-7矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論簡(jiǎn)介2024/9/19第1頁(yè)/共63頁(yè)工程實(shí)例：汽車傳動(dòng)軸

傳動(dòng)軸§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例傳動(dòng)軸受扭2024/9/19第2頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19工程實(shí)例：汽車方向盤第3頁(yè)/共63頁(yè)工程實(shí)例：齒輪傳動(dòng)軸

2024/9/19第4頁(yè)/共63頁(yè)工程實(shí)例：螺栓、螺母

第5頁(yè)/共63頁(yè)

本章研究桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，其它變形可忽略的情況，以圓截面(實(shí)心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對(duì)象。研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。2024/9/19第6頁(yè)/共63頁(yè)變形特點(diǎn)：1.桿件各橫截面繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；

2.桿表面的縱向線傾斜了一個(gè)角度

。受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到與桿軸線垂直平面內(nèi)的外力偶M作用。2024/9/19

MeMe

第7頁(yè)/共63頁(yè)§3-2外力偶矩的計(jì)算、扭矩及扭矩圖1.傳動(dòng)軸的外力偶矩

當(dāng)傳動(dòng)軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，外力偶在單位時(shí)間內(nèi)所作之功等于外力偶之矩M

與相應(yīng)角速度的乘積。2024/9/19主動(dòng)輪從動(dòng)輪從動(dòng)輪第8頁(yè)/共63頁(yè)

從動(dòng)輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。主動(dòng)輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，2024/9/19從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪注意轉(zhuǎn)向第9頁(yè)/共63頁(yè)2.扭矩及扭矩圖

傳動(dòng)軸橫截面上的扭矩T可利用截面法來計(jì)算。T=M2024/9/19保留左端保留右端第10頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向?yàn)檎?+),負(fù)(-)扭矩圖表示各橫截面上的扭矩沿軸線的變化情況的圖。第11頁(yè)/共63頁(yè)[例題3-1]

已知：,PA

=36KW，PB

=PC

=11KW，PD=14KW。試作軸的扭矩圖。

解：1.計(jì)算外力偶矩2024/9/19第12頁(yè)/共63頁(yè)2.計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi)：CA段內(nèi)：2024/9/19AD段內(nèi)：第13頁(yè)/共63頁(yè)2.計(jì)算各段的扭矩扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代數(shù)和。外力偶矩投影箭頭向上為正,外力偶矩投影箭頭向下為負(fù)。保留左端2024/9/19保留右端符號(hào)相反第14頁(yè)/共63頁(yè)3.作扭矩圖

由扭矩圖可見，傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為700N.m。2024/9/19第15頁(yè)/共63頁(yè)思考：如果將從動(dòng)輪D與C的位置對(duì)調(diào)，試作該傳動(dòng)軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理？2024/9/19第一種方案第二種方案第16頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19第二種方案第一種方案那個(gè)方案好?第17頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19aa2aMe2Me3MeABCD試求各段的扭矩，畫扭矩圖第18頁(yè)/共63頁(yè)§3-3純剪切試驗(yàn)中觀察到：(1)當(dāng)變形很小時(shí)，各圓周線的大小與間距不變，僅繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)；(2)各縱向線傾斜一角度，矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形。1.薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力2024/9/19第19頁(yè)/共63頁(yè)(1)只有與圓周相切的切應(yīng)力，且圓周上所有點(diǎn)處的切應(yīng)力相同，橫截面上無正應(yīng)力。(2)對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布。橫截面上的應(yīng)力：2024/9/19A放大第20頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/191.薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力第21頁(yè)/共63頁(yè)2.切應(yīng)力互等定理微小單元體上的力偶平衡,即結(jié)論：在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，方向則均指向或均離開該交線?！袘?yīng)力互等定理2024/9/19第22頁(yè)/共63頁(yè)純剪切的概念如果單元體的兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力，而在另一對(duì)平面上沒有任何應(yīng)力，則該單元體處于純剪切狀態(tài)。2024/9/19第23頁(yè)/共63頁(yè)3.剪切胡克定律

在切應(yīng)力的作用下,微體發(fā)生了直角改變，這種角變量稱為切應(yīng)變。

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)表明:當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí),切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比,引入比例系數(shù)G,則切變模量,其值隨材料而異剪切虎克定律鋼材的切變模量的約值為：G=80GPa2024/9/19第24頁(yè)/共63頁(yè)§3-4圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力一.橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變

關(guān)系(問題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計(jì)算公式(問題的靜力學(xué)方面)2024/9/19第25頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19第26頁(yè)/共63頁(yè)1.表面變形情況：各圓周線的大小、形狀和間距不變，僅繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；(b)縱向線傾斜了一個(gè)角度g

。平面假設(shè)——變形后橫截面仍保持為平面。推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。(1)變形幾何關(guān)系一.圓柱扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力2024/9/19第27頁(yè)/共63頁(yè)2.切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律2024/9/19根據(jù)變形后橫截面任為平面、半徑任為直線的假設(shè)，求矩圓心為處的切應(yīng)變：第28頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19第29頁(yè)/共63頁(yè)

式中——相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j沿桿長(zhǎng)的變化率，常用j'

來表示，對(duì)于給定的橫截面為常量。

可見，在橫截面的同一半徑r

的圓周上各點(diǎn)處的切應(yīng)變gr

均相同；gr與r

成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr2024/9/19第30頁(yè)/共63頁(yè)(2)物理關(guān)系由剪切胡克定律t=Gg

知此式表明：扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿截面徑向線性變化?？招膱A軸切應(yīng)力分布實(shí)心圓軸切應(yīng)力分布2024/9/19圓周上任一點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)第31頁(yè)/共63頁(yè)(3)靜力學(xué)方面其中稱為橫截面的極慣性矩Ip，它是橫截面的幾何性質(zhì)。切應(yīng)力計(jì)算公式以代入上式得：2024/9/19（3.8）第32頁(yè)/共63頁(yè)抗扭截面系數(shù)，單位為m3橫截面周邊上各點(diǎn)處(r=R)的最大切應(yīng)力為極慣性矩扭矩二.最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力2024/9/19第33頁(yè)/共63頁(yè)實(shí)心圓截面二.圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp2024/9/19第34頁(yè)/共63頁(yè)思考：對(duì)于空心圓截面，,其原因是什么？空心圓截面2024/9/19第35頁(yè)/共63頁(yè)解：（1）內(nèi)力分析

AB段:BC段:2024/9/192112[補(bǔ)充例題]

軸左段為實(shí)心圓截面，d=20mm，右段為空心圓截面，d=15mm、D=25mm。，

，試計(jì)算軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。

第36頁(yè)/共63頁(yè)（2）應(yīng)力分析2024/9/192211第37頁(yè)/共63頁(yè)低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口2024/9/19第38頁(yè)/共63頁(yè)鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口2024/9/19第39頁(yè)/共63頁(yè)

思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖a及圖b所示，試問為什么它們的斷口形式不同？2024/9/19第40頁(yè)/共63頁(yè)2024/9/19三、強(qiáng)度條件強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面確定許可載荷應(yīng)用第41頁(yè)/共63頁(yè)

[補(bǔ)充例題]

圖示階梯空心圓軸，MA=150N.m,MB=50N.m，MC=100N.m,[t

]=90MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。解：(1)求AB與BC段的扭矩AB段：T1=MA=150N·mBC段：T2=Mc=100N·m2024/9/19182418221122第42頁(yè)/共63頁(yè)(2)強(qiáng)度校核故該軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度符合要求。第43頁(yè)/共63頁(yè)

[例3.2題]

圖示傳動(dòng)軸，

材料為45鋼，。試根據(jù)強(qiáng)度要求確定軸的直徑。解:(1)求外力矩(2)作扭矩圖第44頁(yè)/共63頁(yè)(3)強(qiáng)度校核故有可見,按強(qiáng)度要求可取。第45頁(yè)/共63頁(yè)

[例3-3]汽車傳動(dòng)軸。T=1.5kN.m，[]=60MPa，無縫鋼管的D=90mm

,d=85mm,試校核軸的強(qiáng)度。若保持最大切應(yīng)力不變，將軸改為實(shí)心軸，試比較實(shí)心軸和空心軸的重量。解：(1)空心軸強(qiáng)度校核2024/9/19故軸滿足強(qiáng)度條件。第46頁(yè)/共63頁(yè)(2)確定實(shí)心與空心圓軸的重量比2024/9/19由此求出

可見：空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕。第47頁(yè)/共63頁(yè)§3-5圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形1.扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形

等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(相對(duì)角位移)j來度量。MeADBCMejg2024/9/19第48頁(yè)/共63頁(yè)

當(dāng)?shù)戎眻A桿相距l(xiāng)的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時(shí)有2024/9/19

由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率(亦稱單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角)為。可知，桿的相距的兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j為第49頁(yè)/共63頁(yè)2.剛度條件式中的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[]的常用單位是(°)/m。此時(shí)，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件表示為：對(duì)于精密機(jī)器的軸[

]≈0.15~0.30(°)/m；對(duì)于一般的傳動(dòng)軸[

]≈2

(°)/m。2024/9/19第50頁(yè)/共63頁(yè)

[例3-4]圖示例3.2鋼制實(shí)心圓截面軸。2024/9/19已知：試按剛度要求計(jì)算該軸的直徑及的總扭轉(zhuǎn)角。解：1、按剛度條件計(jì)算直徑選取第51頁(yè)/共63頁(yè)2、各段軸的兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：123BC2024/9/19第52頁(yè)/共63頁(yè)3、齒輪3

相對(duì)于齒輪1的扭轉(zhuǎn)角2024/9/19第53頁(yè)/共63頁(yè)§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能（選講）純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度計(jì)算外力所作功dW

使左側(cè)面不動(dòng)，右側(cè)面上的外力tdydz在相應(yīng)的位移gdx上作功。2024/9/19純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體第54頁(yè)/共63頁(yè)

當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)(t≤tp，見圖b)，有2024/9/19純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體第55頁(yè)/共63頁(yè)

單元體內(nèi)蓄積的應(yīng)變能dVε數(shù)值上等于單元體上外力所作功dW，即dVε=dW

。單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為

由剪切胡克定律t=Gg，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為2024/9/19第56頁(yè)/共63頁(yè)

在扭矩T為常量時(shí)，長(zhǎng)度為l的等直圓桿所蓄積的應(yīng)變能為

等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)積蓄的應(yīng)變能由

可知，亦有2024/9/19第57頁(yè)/共63頁(yè)

當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)，整個(gè)桿內(nèi)蓄積的應(yīng)變能為應(yīng)變能亦可如下求得：2024/9/19第58頁(yè)/共63頁(yè)

例題3-7圖示AB、CD為等直圓桿，扭轉(zhuǎn)剛度均為GIp，BC為剛性塊，D

截面處作用有外力偶矩Me。試求：（1）桿系內(nèi)的應(yīng)變能；（2）利用外力偶矩所作功在數(shù)值上等于桿系內(nèi)的應(yīng)變能求D截面的扭轉(zhuǎn)角

jD。ABCDMel/2l2024/9/19第59頁(yè)/共63頁(yè)T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.靜力平衡求扭矩2.桿系應(yīng)變能其轉(zhuǎn)向與Me相同。ABCDMe3.求D截面的扭轉(zhuǎn)角jD2024/9/19第60頁(yè)/共63頁(yè)§3-8等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形1.等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)