第3章扭轉(zhuǎn)變形

第3章扭轉(zhuǎn)§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實例§3-3純剪切§3-2外力偶矩的計算、扭矩及扭矩圖§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應變能§3-7矩形截面桿扭轉(zhuǎn)理論簡介2024/9/19第1頁/共63頁工程實例：汽車傳動軸

傳動軸§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念和實例傳動軸受扭2024/9/19第2頁/共63頁2024/9/19工程實例：汽車方向盤第3頁/共63頁工程實例：齒輪傳動軸

2024/9/19第4頁/共63頁工程實例：螺栓、螺母

第5頁/共63頁

本章研究桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，其它變形可忽略的情況，以圓截面(實心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對象。研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。2024/9/19第6頁/共63頁變形特點：1.桿件各橫截面繞軸線作相對轉(zhuǎn)動；

2.桿表面的縱向線傾斜了一個角度

。受力特點：圓截面直桿受到與桿軸線垂直平面內(nèi)的外力偶M作用。2024/9/19

MeMe

第7頁/共63頁§3-2外力偶矩的計算、扭矩及扭矩圖1.傳動軸的外力偶矩

當傳動軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時，外力偶在單位時間內(nèi)所作之功等于外力偶之矩M

與相應角速度的乘積。2024/9/19主動輪從動輪從動輪第8頁/共63頁

從動輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相反。主動輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相同，2024/9/19從動輪主動輪從動輪注意轉(zhuǎn)向第9頁/共63頁2.扭矩及扭矩圖

傳動軸橫截面上的扭矩T可利用截面法來計算。T=M2024/9/19保留左端保留右端第10頁/共63頁2024/9/19扭矩正負規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向為正(+),負(-)扭矩圖表示各橫截面上的扭矩沿軸線的變化情況的圖。第11頁/共63頁[例題3-1]

已知：,PA

=36KW，PB

=PC

=11KW，PD=14KW。試作軸的扭矩圖。

解：1.計算外力偶矩2024/9/19第12頁/共63頁2.計算各段的扭矩BC段內(nèi)：CA段內(nèi)：2024/9/19AD段內(nèi)：第13頁/共63頁2.計算各段的扭矩扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代數(shù)和。外力偶矩投影箭頭向上為正,外力偶矩投影箭頭向下為負。保留左端2024/9/19保留右端符號相反第14頁/共63頁3.作扭矩圖

由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為700N.m。2024/9/19第15頁/共63頁思考：如果將從動輪D與C的位置對調(diào)，試作該傳動軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理？2024/9/19第一種方案第二種方案第16頁/共63頁2024/9/19第二種方案第一種方案那個方案好?第17頁/共63頁2024/9/19aa2aMe2Me3MeABCD試求各段的扭矩，畫扭矩圖第18頁/共63頁§3-3純剪切試驗中觀察到：(1)當變形很小時，各圓周線的大小與間距不變，僅繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)；(2)各縱向線傾斜一角度，矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形。1.薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時的切應力2024/9/19第19頁/共63頁(1)只有與圓周相切的切應力，且圓周上所有點處的切應力相同，橫截面上無正應力。(2)對于薄壁圓筒，可認為切應力沿壁厚均勻分布。橫截面上的應力：2024/9/19A放大第20頁/共63頁2024/9/191.薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時的切應力第21頁/共63頁2.切應力互等定理微小單元體上的力偶平衡,即結(jié)論：在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，方向則均指向或均離開該交線?！袘サ榷ɡ?024/9/19第22頁/共63頁純剪切的概念如果單元體的兩對互相垂直的平面上只有切應力，而在另一對平面上沒有任何應力，則該單元體處于純剪切狀態(tài)。2024/9/19第23頁/共63頁3.剪切胡克定律

在切應力的作用下,微體發(fā)生了直角改變，這種角變量稱為切應變。

扭轉(zhuǎn)試驗表明:當切應力不超過材料的剪切比例極限時,切應力與切應變成正比,引入比例系數(shù)G,則切變模量,其值隨材料而異剪切虎克定律鋼材的切變模量的約值為：G=80GPa2024/9/19第24頁/共63頁§3-4圓桿扭轉(zhuǎn)的應力一.橫截面上的應力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應變的變化規(guī)律橫截面上應力變化規(guī)律應力-應變

關系(問題的物理方面)內(nèi)力與應力關系橫截面上應力的計算公式(問題的靜力學方面)2024/9/19第25頁/共63頁2024/9/19第26頁/共63頁1.表面變形情況：各圓周線的大小、形狀和間距不變，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動；(b)縱向線傾斜了一個角度g

。平面假設——變形后橫截面仍保持為平面。推知：桿的橫截面上只有切應力，且垂直于半徑。(1)變形幾何關系一.圓柱扭轉(zhuǎn)橫截面上的應力2024/9/19第27頁/共63頁2.切應變隨點的位置的變化規(guī)律2024/9/19根據(jù)變形后橫截面任為平面、半徑任為直線的假設，求矩圓心為處的切應變：第28頁/共63頁2024/9/19第29頁/共63頁

式中——相對扭轉(zhuǎn)角j沿桿長的變化率，常用j'

來表示，對于給定的橫截面為常量。

可見，在橫截面的同一半徑r

的圓周上各點處的切應變gr

均相同；gr與r

成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr2024/9/19第30頁/共63頁(2)物理關系由剪切胡克定律t=Gg

知此式表明：扭轉(zhuǎn)切應力沿截面徑向線性變化?？招膱A軸切應力分布實心圓軸切應力分布2024/9/19圓周上任一點都是危險點第31頁/共63頁(3)靜力學方面其中稱為橫截面的極慣性矩Ip，它是橫截面的幾何性質(zhì)。切應力計算公式以代入上式得：2024/9/19（3.8）第32頁/共63頁抗扭截面系數(shù)，單位為m3橫截面周邊上各點處(r=R)的最大切應力為極慣性矩扭矩二.最大扭轉(zhuǎn)切應力2024/9/19第33頁/共63頁實心圓截面二.圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp2024/9/19第34頁/共63頁思考：對于空心圓截面，,其原因是什么？空心圓截面2024/9/19第35頁/共63頁解：（1）內(nèi)力分析

AB段:BC段:2024/9/192112[補充例題]

軸左段為實心圓截面，d=20mm，右段為空心圓截面，d=15mm、D=25mm。，

，試計算軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應力。

第36頁/共63頁（2）應力分析2024/9/192211第37頁/共63頁低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口2024/9/19第38頁/共63頁鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口2024/9/19第39頁/共63頁

思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖a及圖b所示，試問為什么它們的斷口形式不同？2024/9/19第40頁/共63頁2024/9/19三、強度條件強度校核設計截面確定許可載荷應用第41頁/共63頁

[補充例題]

圖示階梯空心圓軸，MA=150N.m,MB=50N.m，MC=100N.m,[t

]=90MPa。試校核該軸的強度。解：(1)求AB與BC段的扭矩AB段：T1=MA=150N·mBC段：T2=Mc=100N·m2024/9/19182418221122第42頁/共63頁(2)強度校核故該軸的扭轉(zhuǎn)強度符合要求。第43頁/共63頁

[例3.2題]

圖示傳動軸，

材料為45鋼，。試根據(jù)強度要求確定軸的直徑。解:(1)求外力矩(2)作扭矩圖第44頁/共63頁(3)強度校核故有可見,按強度要求可取。第45頁/共63頁

[例3-3]汽車傳動軸。T=1.5kN.m，[]=60MPa，無縫鋼管的D=90mm

,d=85mm,試校核軸的強度。若保持最大切應力不變，將軸改為實心軸，試比較實心軸和空心軸的重量。解：(1)空心軸強度校核2024/9/19故軸滿足強度條件。第46頁/共63頁(2)確定實心與空心圓軸的重量比2024/9/19由此求出

可見：空心軸遠比實心軸輕。第47頁/共63頁§3-5圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形1.扭轉(zhuǎn)時的變形

等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角(相對角位移)j來度量。MeADBCMejg2024/9/19第48頁/共63頁

當?shù)戎眻A桿相距l(xiāng)的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時有2024/9/19

由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率(亦稱單位長度扭轉(zhuǎn)角)為。可知，桿的相距的兩橫截面之間的相對扭轉(zhuǎn)角j為第49頁/共63頁2.剛度條件式中的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[]的常用單位是(°)/m。此時，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件表示為：對于精密機器的軸[

]≈0.15~0.30(°)/m；對于一般的傳動軸[

]≈2

(°)/m。2024/9/19第50頁/共63頁

[例3-4]圖示例3.2鋼制實心圓截面軸。2024/9/19已知：試按剛度要求計算該軸的直徑及的總扭轉(zhuǎn)角。解：1、按剛度條件計算直徑選取第51頁/共63頁2、各段軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角：123BC2024/9/19第52頁/共63頁3、齒輪3

相對于齒輪1的扭轉(zhuǎn)角2024/9/19第53頁/共63頁§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應變能（選講）純剪切應力狀態(tài)下的應變能密度計算外力所作功dW

使左側(cè)面不動，右側(cè)面上的外力tdydz在相應的位移gdx上作功。2024/9/19純剪切應力狀態(tài)的單元體第54頁/共63頁

當材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(t≤tp，見圖b)，有2024/9/19純剪切應力狀態(tài)的單元體第55頁/共63頁

單元體內(nèi)蓄積的應變能dVε數(shù)值上等于單元體上外力所作功dW，即dVε=dW

。單元體單位體積內(nèi)的應變能，亦即純剪切應力狀態(tài)下的應變能密度為

由剪切胡克定律t=Gg，該應變能密度的表達式可寫為2024/9/19第56頁/共63頁

在扭矩T為常量時，長度為l的等直圓桿所蓄積的應變能為

等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時積蓄的應變能由

可知，亦有2024/9/19第57頁/共63頁

當?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時，整個桿內(nèi)蓄積的應變能為應變能亦可如下求得：2024/9/19第58頁/共63頁

例題3-7圖示AB、CD為等直圓桿，扭轉(zhuǎn)剛度均為GIp，BC為剛性塊，D

截面處作用有外力偶矩Me。試求：（1）桿系內(nèi)的應變能；（2）利用外力偶矩所作功在數(shù)值上等于桿系內(nèi)的應變能求D截面的扭轉(zhuǎn)角

jD。ABCDMel/2l2024/9/19第59頁/共63頁T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.靜力平衡求扭矩2.桿系應變能其轉(zhuǎn)向與Me相同。ABCDMe3.求D截面的扭轉(zhuǎn)角jD2024/9/19第60頁/共63頁§3-8等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形1.等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特點