2024-2025學(xué)年東北三省六校聯(lián)考高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年東北三省六校聯(lián)考高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合、集合，則（

）A． B．C． D．2．“”是“且”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定4．不等式的最小整數(shù)解為（

）A． B． C． D．5．已知集合，，，則的值可以是（

）A． B． C． D．6．已知且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．關(guān)于的不等式的解集為，那么不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．設(shè)正實數(shù)、、滿足，則當(dāng)取得最小值時，的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中是真命題的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“，都有”的否定是“，使得”C．不等式成立的一個充分不必要條件是或D．當(dāng)時，方程組有無窮多解10．下列說法中，正確的有（

）A．的最小值是2B．的最小值是2C．若，，，則D．若，，，則11．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．若，則且B．若，則關(guān)于的不等式的解集也為C．若，則關(guān)于的不等式的解集為或D．若為常數(shù)，且，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．命題“若，則”的否定為.（用文字表達）13．若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為．14．已知：；：；：關(guān)于的不等式()，若是的必要不充分條件，且是的充分不必要條件，則的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知集合，集合（）.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)命題：；命題：，若命題是命題的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.16．已知命題，，命題，．(1)若命題和命題有且只有一個為假命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若命題和命題至少有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍．17．已知實數(shù)、滿足.(1)求和的最大值；(2)求的最小值和最大值.18．根據(jù)要求完成下列問題：(1)已知，集合、集合、集合，則同時滿足A且的實數(shù)、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由；(2)已知，命題：和是方程的兩個實根，不等式對任意實數(shù)恒成立；命題：不等式有解；若命題是真命題，命題是假命題，求實數(shù)的取值范圍.19．根據(jù)要求完成下列問題：(1)若、、①求證：；②求證：；③在（2）中的不等式中，能否找到一個代數(shù)式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數(shù)式；若不能，請說明理由.(2)設(shè)，求證：成立的充要條件是.

答案1．【正確答案】B【分析】化簡集合，結(jié)合并集運算即可求解.【詳解】∵，，∴.故選B.2．【正確答案】A【分析】通過特例說明充分性不成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)說明必要性是成立的.【詳解】可令，，，則滿足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分條件；根據(jù)不等式的性質(zhì)：由且，可得.所以“”是“且”的必要條件.故選A.3．【正確答案】A【分析】利用作差法解出的結(jié)果，然后與0進行比較，即可得到答案【詳解】因為，，所以，所以.故選A.4．【正確答案】C【分析】分段去絕對值符號求出的取值范圍即可得解.【詳解】原不等式可化為或或，解得，所以所求最小整數(shù)解是.故選C.5．【正確答案】D【分析】求得集合，得到，結(jié)合和選項，即可求解.【詳解】由題意，集合，或，所以或，因為，結(jié)合選項可得.故選D.6．【正確答案】D【分析】由且得，令，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可.【詳解】因為且，所以，，所以，所以，則令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值為，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng),時取最小值.故選D.7．【正確答案】C【分析】由題可得，可得解之即求.【詳解】∵關(guān)于的不等式的解集為，∴，∴可化為，即∴，∴，解得.故選C.8．【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出取最小值時的關(guān)系，再利用二次函數(shù)求出最大值.【詳解】依題意，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最大值.故選D.9．【正確答案】ACD【分析】利用充要條件的定義與全稱命題的否定結(jié)合一元二次不等式和分式不等式得解法逐項判斷即可.【詳解】對A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對B，命題“，都有”的否定是“，使得”，故B錯誤；對C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一個充分不必要條件是或，故C正確；對D，當(dāng)時，方程組等價于，即兩條直線重合，所以方程組有無窮多解，故D正確.故選ACD.10．【正確答案】CD【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式逐項分析即得.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，顯然不可能，故B錯誤；對于C，由，可得，即，故C正確；對于D，由，，，可知，所以，故D正確.故選CD.11．【正確答案】ACD【分析】A項，利用二次函數(shù)的圖象可知A正確；B項，令，當(dāng)時，不等式的解集不為，B不正確；C項，根據(jù)求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正確；D項，根據(jù)得到且，將代入，然后換元利用基本不等式可求出最小值可得.【詳解】A選項，若，即一元二次不等式無解，則一元二次不等式恒成立，且，故A正確；B選項，令（），則，，，∴可化為，當(dāng)時，可化為，其解集不等于，故B錯誤；C選項，若，則，且和是一元二次方程的兩根，，且，，，關(guān)于的不等式可化為，可化為，，，解得或，即不等式的解集為或，故C正確；D選項，為常數(shù)，且，，，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，則，且為正數(shù)時，等號成立，的最小值為，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】若，則或.【分析】運用命題的否定的定義（原命題的形式為“若則”，則命題的否定的形式為“若則”）求解即可.【詳解】由題意知，命題的否定為：若，則或.故若，則或.13．【正確答案】不等式可轉(zhuǎn)化為不等式，然后結(jié)合題中條件可得，且，解得a即可.【詳解】不等式即等價于不等式，即，令，解得，，，因為不等式的解集為，所以，且，解得.故答案為.【思路導(dǎo)引】本題考查分式不等式的解法，考查邏輯思維能力和計算能力，考查轉(zhuǎn)化思想.14．【正確答案】首先求出命題為真時的的范圍，再分類討論解不等式，同時根據(jù)充分必要條件確定關(guān)于的不等關(guān)系，得出的范圍．【詳解】由解得：，由解得：，（1）當(dāng)，由解得：，若是的必要不充分條件，則，則①，且是的充分不必要條件，則，則②，由①②得：；（2）當(dāng)時，由解得：，若是的必要不充分條件，不成立，也不成立，不存在值，（3）當(dāng)時，由解得：為，不成立，不存在值，綜上，為所求．故答案為.【方法總結(jié)】本題考查由充分必要條件求參數(shù)取值范圍，解題方法是：利用充分必要條件確定集合的包含關(guān)系，然后得出結(jié)論．15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）分、討論，根據(jù)交集的運算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解；（2）根據(jù)充分不必要條件分、討論，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，又，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，或，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（2）因為命題是命題的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，（等號不能同時成立），解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.16．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）首先求出命題、為真時參數(shù)的取值范圍，再分類討論，分別計算可得；（2）首先求出命題和命題都為假命題時參數(shù)的取值范圍，再取其補集即可得解.【詳解】（1）若命題為真命題，即命，，所以，所以，若命題為真命題，即，，所以，解得，因為命題和命題有且只有一個為假命題，當(dāng)命題為假，命題為真時，解得；當(dāng)命題為真，命題為假時，所以；所以；（2）若命題和命題都為假命題，則，即；因為命題和命題至少有一個為真命題，所以或，即.17．【正確答案】(1)；(2)最小值為，最大值為.【分析】（1）使用基本不等式根據(jù)所求解的目標(biāo)代數(shù)式進行合理的配湊計算求解；（2）使用基本不等式，注意根據(jù)所求解的目標(biāo)代數(shù)式進行合理的配湊計算求解.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時等號成立，∴的最大值為，∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，∴的最大值為；（2）∵，∴，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時等號成立，∴的最小值為，又，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時等號成立，∴的最大值為.18．【正確答案】(1)存在，、或、；(2).【分析】（1）由題意可得：，根據(jù)真子集關(guān)系求實數(shù)的取值范圍，根據(jù)子集關(guān)系求實數(shù)的取值范圍，進而得解；（2）對于命題：根據(jù)韋達定理求得，進而結(jié)合恒成立問題求實數(shù)的取值范圍；對于命題：根據(jù)二次不等式分類討論求解，進而得解.【詳解】（1）因為，因為A，則或或，若，則，此時的值不存在；若，則，解得；若，則，無解；綜上所述：；因為，則或或或，若，則，解得；若，則，無解；若，則，無解；若，則，解得；綜上所述，或；所以存在，的值，當(dāng)、或，時，滿足A、（2）因為、是方程的兩個實根，則，可得，當(dāng)時，，由不等式對任意實數(shù)恒成立可得：，即，解得或，所以命題為真命題時，，命題：不等式有解，當(dāng)時，原不等式一定有解，當(dāng)時，只需，解得，不等式有解時，又命題是假命題，則，所以命題是真命題且命題是假命題時，實數(shù)的取值范圍為.19．【正確答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；③能找到，；(2)證明見解析.【分析】（1）①根據(jù)的符號去絕對值即可證不等式成立；②根據(jù)同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性質(zhì)可證明不等式成立；③在的兩邊同時乘以得，在的兩邊同時乘以得，即可證明.（2）證明充分性：如果，則有和兩種情況，分別證明即可；證明