第二講磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用(原卷版+解析)

第二講磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用知識(shí)梳理一、洛倫茲力的大小和方向1．定義：運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力。2．大小(1)v∥B時(shí)，F(xiàn)＝0；(2)v⊥B時(shí)，F(xiàn)＝qvB；(3)v與B的夾角為θ時(shí)，F(xiàn)＝qvBsin_θ。3．方向(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v。即F垂直于B、v決定的平面。(注意B和v可以有任意夾角)二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．若v∥B，帶電粒子以入射速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。2．若v⊥B時(shí)，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式(1)向心力公式：qvB＝meq\f(v2,r)；(2)軌道半徑公式：r＝eq\f(mv,qB)；(3)周期公式：T＝eq\f(2πm,qB)。注意：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與速率無(wú)關(guān)?？键c(diǎn)一、洛倫茲力的理解和應(yīng)用1．洛倫茲力的特點(diǎn)(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向和磁場(chǎng)方向共同確定的平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做功。(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。(3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力的方向時(shí)，要注意使四指指向電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。2．洛倫茲力與靜電力的比較洛倫茲力靜電力產(chǎn)生條件≠0且v不與B平行電荷處在靜電場(chǎng)中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向與場(chǎng)方向的關(guān)系一定是F⊥B，F(xiàn)⊥v，且與電荷電性有關(guān)正電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，負(fù)電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反做功情況任何情況下都不做功可能做正功、負(fù)功，也可能不做功力為零時(shí)場(chǎng)的情況F為零，B不一定為零F為零，E一定為零作用效果只改變電荷運(yùn)動(dòng)的速度方向，不改變速度大小既可以改變電荷運(yùn)動(dòng)速度的大小，也可以改變電荷運(yùn)動(dòng)的方向例1、如圖所示，M、N為兩根垂直紙面的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，O為M、N連線中點(diǎn)，一電子沿過(guò)O點(diǎn)垂直紙面的直線向外射出，當(dāng)兩導(dǎo)線同時(shí)通有如圖方向電流時(shí)，該電子將()A．向上偏轉(zhuǎn) B．向下偏轉(zhuǎn)C．向左偏轉(zhuǎn) D．向右偏轉(zhuǎn)例2、(2022·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，光滑絕緣的圓弧軌道MON固定在豎直平面內(nèi)。O為其最低點(diǎn)，M、N等高，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與軌道平面垂直。將一個(gè)帶正電的小球自M點(diǎn)由靜止釋放，它在軌道上M、N間往復(fù)運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法中正確的是()A．小球在M點(diǎn)和N點(diǎn)時(shí)均處于平衡狀態(tài)B．小球由M到O所用的時(shí)間小于由N到O所用的時(shí)間C．小球每次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力均相等D．小球每次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)所受合外力均相等課堂隨練訓(xùn)練1、下列各圖中，運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是()訓(xùn)練2、如圖所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并處于方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m、電荷量為＋Q的小滑塊從斜面頂端由靜止下滑。在滑塊下滑的過(guò)程中，下列判斷正確的是()A．滑塊受到的摩擦力不變B．滑塊到達(dá)地面時(shí)的動(dòng)能與B的大小無(wú)關(guān)C．滑塊受到的洛倫茲力方向垂直斜面向下D．B很大時(shí)，滑塊可能靜止于斜面上考點(diǎn)二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．圓心、半徑和時(shí)間的確定基本思路圖例說(shuō)明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過(guò)圓心P、M點(diǎn)速度方向垂線的交點(diǎn)②弦的垂直平分線過(guò)圓心P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過(guò)圓心某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識(shí)求半徑常用解三角形法：左圖中，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ或軌跡長(zhǎng)度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(L,v)(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于eq\o(AB,\s\up8(︵))所對(duì)的圓心角θ(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ＜180°時(shí)，φ＝2α；φ＞180°時(shí)，φ＝360°－2α2．運(yùn)動(dòng)軌跡(1)直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖所示)。(2)平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)。(3)圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)。3．常用結(jié)論(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。(3)當(dāng)速度v變化時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。例1、(多選)(2021·湖北卷，9)一電中性微粒靜止在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在某一時(shí)刻突然分裂成a、b和c三個(gè)微粒，a和b在磁場(chǎng)中做半徑相等的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，環(huán)繞方向如圖所示，c未在圖中標(biāo)出。僅考慮磁場(chǎng)對(duì)帶電微粒的作用力，下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)帶負(fù)電荷 B．b帶正電荷C．c帶負(fù)電荷 D．a(chǎn)和b的動(dòng)量大小一定相等例2、(多選)(2022·山東省二模)如圖，虛線上方空間分布著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在紙面內(nèi)沿不同的方向從粒子源O先后發(fā)射速率均為v的質(zhì)子和α粒子，質(zhì)子和α粒子同時(shí)到達(dá)P點(diǎn)。已知OP＝l，α粒子沿與PO成30°角的方向發(fā)射，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，則下列說(shuō)法正確的是()A．質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為eq\f(1,2)lB．α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為eq\f(\r(3),2)lC．質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πl(wèi),2v)D．質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時(shí)間間隔為eq\f(7πl(wèi),6v)例3、(2021·北京高考)如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子在P點(diǎn)以與x軸正方向成60°的方向垂直磁場(chǎng)射入，并恰好垂直于y軸射出磁場(chǎng)。已知帶電粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，OP＝a。不計(jì)重力。根據(jù)上述信息可以得出()A．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡方程B．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率C．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間D．該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度例4、如圖所示，一個(gè)理想邊界為PQ、MN的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d，方向垂直紙面向里。一電子從O點(diǎn)沿紙面垂直PQ以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)，若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為2d，O′在MN上，且OO′與MN垂直。下列判斷正確的是()A．電子將向右偏轉(zhuǎn)B．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為dC．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為eq\r(3)dD．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πd,3v0)例5、(2021·全國(guó)乙卷，16)如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從圓周上的M點(diǎn)沿直徑MON方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v1，離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)90°；若射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v2，離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)60°。不計(jì)重力。則eq\f(v1,v2)為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)課堂隨練訓(xùn)練1、一個(gè)帶電粒子沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子的一段軌跡如圖所示，軌跡上的每一小段都可近似看成圓?。捎趲щ娏Ｗ邮寡赝镜目諝怆婋x，粒子的能量逐漸減小(帶電荷量不變)，則從圖中情況可以確定()A．粒子從a到b，帶正電B．粒子從a到b，帶負(fù)電C．粒子從b到a，帶正電D．粒子從b到a，帶負(fù)電訓(xùn)練2、如圖所示，矩形虛線框MNPQ內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。a、b、c是三個(gè)質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子，它們從PQ邊上的中點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，圖中畫出了它們?cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。粒子重力不計(jì)。下列說(shuō)法正確的是()A．粒子a帶負(fù)電B．粒子c的動(dòng)能最大C．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)D．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力最大訓(xùn)練3、(多選)如圖所示，在坐標(biāo)系的y軸右側(cè)存在有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)的寬度為d，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，從原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)，速度方向與x軸正方向成30°角，粒子恰好不從右邊界射出，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從y軸的某點(diǎn)離開磁場(chǎng)。忽略粒子重力。關(guān)于該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是()A．它的軌跡半徑為eq\f(2,3)dB．它進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為eq\f(2qBd,3m)C．它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(2πm,3qB)D．它的運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\r(3)d訓(xùn)練4、如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為()A．eq\r(3)∶2 B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)訓(xùn)練5、(2019·全國(guó)卷Ⅲ·18)如圖，在坐標(biāo)系的第一和第二象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為eq\f(1,2)B和B、方向均垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子垂直于x軸射入第二象限，隨后垂直于y軸進(jìn)入第一象限，最后經(jīng)過(guò)x軸離開第一象限．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A．eq\f(5πm,6qB)B．eq\f(7πm,6qB)C．eq\f(11πm,6qB)D．eq\f(13πm,6qB)考點(diǎn)三、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題分析思路和方法兩種思路一是以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解二是直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過(guò)臨界條件求出臨界值兩種方法物理方法(1)利用臨界條件求極值；(2)利用邊界條件求極值；(3)利用矢量圖求極值數(shù)學(xué)方法(1)用三角函數(shù)求極值；(2)用二次方程的判別式求極值；(3)用不等式的性質(zhì)求極值；(4)圖像法等從關(guān)鍵詞找突破口許多臨界問(wèn)題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件例1、(多選)如圖所示，邊長(zhǎng)為eq\r(3)L的正三角形abc區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向發(fā)射相同的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q。粒子速度大小為v時(shí)，恰好沒有粒子穿出磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子的重力。下列說(shuō)法正確的是()A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(2mv,qL)B．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(4mv,qL)C．若發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為eq\f(πL,12v)D．若發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為eq\f(πL,6v)例2、（2020全國(guó)3）真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）A． B． C． D．例3、如圖所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)(含邊界)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ab＝l，Oa＝0.4l，大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ab邊成37°的方向以不同的初速度v0射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。(1)求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間；(2)若帶電粒子從ad邊離開磁場(chǎng)，求v0的取值范圍。課堂隨練訓(xùn)練1、如圖所示，平行邊界MN、PQ之間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，兩邊界間距為d。邊界MN上A點(diǎn)有一粒子源，可沿紙面內(nèi)任意方向射出完全相同的質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，粒子射出的速度大小均為v＝eq\f(2qBd,3m)。若不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為()A．1 B．2∶3C．eq\r(3)∶2 D．2eq\r(7)∶7訓(xùn)練2、如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長(zhǎng)ac＝L，一個(gè)粒子源在a點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子中，速度的最大值是()A．eq\f(qBL,2m) B．eq\f(\r(3)qBL,6m)C．eq\f(\r(3)qBL,4m) D．eq\f(qBL,4m)訓(xùn)練3、(2022·蘇錫常鎮(zhèn)四市5月調(diào)研)如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，y軸上P點(diǎn)處有一個(gè)粒子源，可沿－x到＋x方向向上180°范圍內(nèi)發(fā)射帶正電的粒子，粒子的比荷均為eq\f(q,m)＝5.0×106C/kg，速度大小介于0～3.0×105m/s。MN是一塊置于x軸上的粒子收集薄金屬板，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖，其中a＝0.3m?？梢酝ㄟ^(guò)施加電場(chǎng)或磁場(chǎng)的方式進(jìn)行粒子的收集。(1)若平面內(nèi)存在電場(chǎng)，且P和MN間電勢(shì)差U＝7.0×103V，求到達(dá)板上的粒子的速度最大值；(2)若在平面內(nèi)加一垂直于紙面向外的足夠大勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝0.1T，求能夠被板MN收集到的粒子的最小速度；(3)在第(2)問(wèn)的條件下，求能夠被板MN收集到的粒子的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間。同步訓(xùn)練1、(2022·浙江高三模擬)一根通電直導(dǎo)線水平放置，通過(guò)直導(dǎo)線的恒定電流方向如圖所示，現(xiàn)有一電子從直導(dǎo)線下方以水平向右的初速度v開始運(yùn)動(dòng)，不考慮電子重力，關(guān)于接下來(lái)電子的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．電子將向下偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變大B．電子將向上偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變小C．電子將向上偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變大D．電子將向下偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變小2、云室是借助過(guò)飽和水蒸氣在離子上凝結(jié)來(lái)顯示通過(guò)它的帶電粒子徑跡的裝置。如圖為一張?jiān)剖抑信臄z的照片。云室中加了垂直于紙面向里的磁場(chǎng)。圖中a、b、c、d、e是從O點(diǎn)發(fā)出的一些正電子或負(fù)電子的徑跡。有關(guān)a、b、c三條徑跡以下判斷正確的是()A．a(chǎn)、b、c都是正電子的徑跡B．a(chǎn)徑跡對(duì)應(yīng)的粒子動(dòng)量最大C．c徑跡對(duì)應(yīng)的粒子動(dòng)能最大D．c徑跡對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)3、某帶電粒子以速度v沿垂直于磁場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．粒子做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若粒子的速度為2v，則下列說(shuō)法正確的是()A．粒子運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)B．粒子運(yùn)動(dòng)的半徑仍為RC．粒子運(yùn)動(dòng)的加速度變?yōu)樵瓉?lái)的4倍D．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所包圍的磁通量變?yōu)樵瓉?lái)的4倍4、(多選)(2019·海南卷，9)如圖，虛線MN的右側(cè)有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩電荷量相同的粒子P、Q從磁場(chǎng)邊界的M點(diǎn)先后射入磁場(chǎng)，在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。射入磁場(chǎng)時(shí)，P的速度vP垂直于磁場(chǎng)邊界，Q的速度vQ與磁場(chǎng)邊界的夾角為45°。已知兩粒子均從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，且在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，則()A．P和Q的質(zhì)量之比為1∶2B．P和Q的質(zhì)量之比為eq\r(2)∶1C．P和Q速度大小之比為eq\r(2)∶1D．P和Q速度大小之比為2∶15、(2019·全國(guó)Ⅱ卷，17)如圖，邊長(zhǎng)為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()A．eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B．eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC．eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D．eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl6、(多選)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中x＞0空間內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(其他區(qū)域無(wú)磁場(chǎng))，在y軸上有到原點(diǎn)O的距離均為L(zhǎng)的C、D兩點(diǎn)。帶電粒子P(不計(jì)重力)從C點(diǎn)以速率v沿x軸正向射入磁場(chǎng)，并恰好從O點(diǎn)射出磁場(chǎng)；與粒子P相同的粒子Q從C點(diǎn)以速率4v沿紙面射入磁場(chǎng)，并恰好從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則()A．粒子P帶正電B．粒子P在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πL,2v)C．粒子Q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為eq\f(3πL,4v)D．粒子Q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程可能為eq\f(2πL,3)7、如圖所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒子源，源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速度大小相等的帶正電的粒子(重力不計(jì))，已知粒子的比荷為k，速度大小為2kBr。則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為()A．eq\f(π,kB) B．eq\f(π,2kB)C．eq\f(π,3kB) D．eq\f(π,4kB)8、(2022·丹東一模)如圖所示，坐標(biāo)平面內(nèi)有邊界過(guò)P(0，L)點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，方向垂直于坐標(biāo)平面，一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子(不計(jì)重力)，從P點(diǎn)以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，從x軸上的Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)區(qū)域，此時(shí)速度與x軸正方向的夾角為60°，下列說(shuō)法正確的是()A．磁場(chǎng)方向垂直于坐標(biāo)平面向外B．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝eq\f(mv0,2eL)C．圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為2LD．圓形磁場(chǎng)的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)L，\f(\r(3),2)L))9、如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)限定在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度大小為v的帶電粒子沿磁場(chǎng)區(qū)域的直徑方向從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，從Q點(diǎn)沿半徑方向射出磁場(chǎng)，粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與射入磁場(chǎng)時(shí)相比偏轉(zhuǎn)了θ角，忽略重力及粒子間的相互作用力，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．粒子帶正電B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為eq\f(mvθ,qB)C．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(mθ,qB)D．圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為eq\f(mv,qB)tanθ10、(2019·全國(guó)Ⅰ卷，24)如圖，在直角三角形OPN區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外。一帶正電的粒子從靜止開始經(jīng)電壓U加速后，沿平行于x軸的方向射入磁場(chǎng)；一段時(shí)間后，該粒子在OP邊上某點(diǎn)以垂直于x軸的方向射出。已知O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，N點(diǎn)在y軸上，OP與x軸的夾角為30°，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)與離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)之間的距離為d，不計(jì)重力。求：(1)帶電粒子的比荷；(2)帶電粒子從射入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至x軸的時(shí)間。11、(2022·浙江百校3月聯(lián)考)一簡(jiǎn)易的速度篩選器如圖所示，形狀為一等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2a。在該區(qū)域里，有一垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一束速度大小不同，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從中點(diǎn)O垂直AB射入該磁場(chǎng)區(qū)域，在BC邊放置一粒子收集器，長(zhǎng)度與BC等長(zhǎng)，粒子打到收集器上會(huì)被收集，從而把這些粒子篩選出來(lái)。其中粒子重力不計(jì)，也不計(jì)粒子間相互作用。(1)求能被收集粒子的最小速度；(2)求能被收集粒子的速度范圍；(3)討論能被收集粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度的關(guān)系；(4)如果入射點(diǎn)稍向下移，能被收集粒子的速度范圍會(huì)增大還是減?。?不需要寫出推導(dǎo)過(guò)程)第二講磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用知識(shí)梳理一、洛倫茲力的大小和方向1．定義：運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力。2．大小(1)v∥B時(shí)，F(xiàn)＝0；(2)v⊥B時(shí)，F(xiàn)＝qvB；(3)v與B的夾角為θ時(shí)，F(xiàn)＝qvBsin_θ。3．方向(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v。即F垂直于B、v決定的平面。(注意B和v可以有任意夾角)二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．若v∥B，帶電粒子以入射速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。2．若v⊥B時(shí)，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式(1)向心力公式：qvB＝meq\f(v2,r)；(2)軌道半徑公式：r＝eq\f(mv,qB)；(3)周期公式：T＝eq\f(2πm,qB)。注意：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與速率無(wú)關(guān)?？键c(diǎn)一、洛倫茲力的理解和應(yīng)用1．洛倫茲力的特點(diǎn)(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向和磁場(chǎng)方向共同確定的平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做功。(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。(3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力的方向時(shí)，要注意使四指指向電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。2．洛倫茲力與靜電力的比較洛倫茲力靜電力產(chǎn)生條件≠0且v不與B平行電荷處在靜電場(chǎng)中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向與場(chǎng)方向的關(guān)系一定是F⊥B，F(xiàn)⊥v，且與電荷電性有關(guān)正電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，負(fù)電荷受力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反做功情況任何情況下都不做功可能做正功、負(fù)功，也可能不做功力為零時(shí)場(chǎng)的情況F為零，B不一定為零F為零，E一定為零作用效果只改變電荷運(yùn)動(dòng)的速度方向，不改變速度大小既可以改變電荷運(yùn)動(dòng)速度的大小，也可以改變電荷運(yùn)動(dòng)的方向例1、如圖所示，M、N為兩根垂直紙面的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，O為M、N連線中點(diǎn)，一電子沿過(guò)O點(diǎn)垂直紙面的直線向外射出，當(dāng)兩導(dǎo)線同時(shí)通有如圖方向電流時(shí)，該電子將()A．向上偏轉(zhuǎn) B．向下偏轉(zhuǎn)C．向左偏轉(zhuǎn) D．向右偏轉(zhuǎn)【答案】D【解析】根據(jù)右手螺旋定則可知，M、N兩導(dǎo)線在O點(diǎn)形成的磁場(chǎng)方向都是向上的，故O點(diǎn)處合磁場(chǎng)方向向上，電子沿過(guò)O點(diǎn)垂直紙面的直線向外射出時(shí)，由左手定則可知，電子受洛倫茲力向右．例2、(2022·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，光滑絕緣的圓弧軌道MON固定在豎直平面內(nèi)。O為其最低點(diǎn)，M、N等高，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與軌道平面垂直。將一個(gè)帶正電的小球自M點(diǎn)由靜止釋放，它在軌道上M、N間往復(fù)運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法中正確的是()A．小球在M點(diǎn)和N點(diǎn)時(shí)均處于平衡狀態(tài)B．小球由M到O所用的時(shí)間小于由N到O所用的時(shí)間C．小球每次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力均相等D．小球每次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)所受合外力均相等【答案】D【解析】平衡狀態(tài)的加速度為零，故A錯(cuò)誤；由于洛倫茲力總是與運(yùn)動(dòng)方向垂直，又沒有摩擦力，故對(duì)其速度大小有影響的只有重力，故小球無(wú)論從哪邊滾下，時(shí)間都是一樣的，故B錯(cuò)誤；根據(jù)機(jī)械能守恒定律，小球每次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)的速度大小相同，由F合＝meq\f(v2,r)可知，F(xiàn)合大小相等，故D正確；小球在最低點(diǎn)時(shí)受重力、支持力和洛倫茲力，從N到M時(shí)，洛倫茲力向下，故有F1－mg－F洛＝meq\f(v2,r)，故此時(shí)小球?qū)壍赖膲毫镕1＝mg＋F洛＋meq\f(v2,r)，小球從M到N時(shí)，洛倫茲力向上，故有F2＋F洛－mg＝meq\f(v2,r)，故此時(shí)小球?qū)壍赖膲毫镕2＝mg－F洛＋meq\f(v2,r)，所以小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小不相等，故C錯(cuò)誤。課堂隨練訓(xùn)練1、下列各圖中，運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是()【答案】B【解析】根據(jù)左手定則判斷，A項(xiàng)中洛倫茲力方向豎直向上；B項(xiàng)中洛倫茲力方向豎直向下；C項(xiàng)、D項(xiàng)電荷不受洛倫茲力；故選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤。訓(xùn)練2、如圖所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并處于方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m、電荷量為＋Q的小滑塊從斜面頂端由靜止下滑。在滑塊下滑的過(guò)程中，下列判斷正確的是()A．滑塊受到的摩擦力不變B．滑塊到達(dá)地面時(shí)的動(dòng)能與B的大小無(wú)關(guān)C．滑塊受到的洛倫茲力方向垂直斜面向下D．B很大時(shí)，滑塊可能靜止于斜面上【答案】C【解析】根據(jù)左手定則可知，滑塊下滑過(guò)程中，受到垂直斜面向下的洛倫茲力，故C正確；隨著滑塊速度的變化，洛倫茲力大小變化，它對(duì)斜面的壓力大小發(fā)生變化，故滑塊受到的摩擦力大小變化，故A錯(cuò)誤；B越大，滑塊下滑過(guò)程中受到的洛倫茲力越大，受到的摩擦力也越大，摩擦力做功越多，據(jù)動(dòng)能定理，滑塊到達(dá)地面時(shí)的動(dòng)能就越小，故B錯(cuò)誤；由于開始滑塊不受洛倫茲力時(shí)能下滑，說(shuō)明重力沿斜面方向的分力大于摩擦力，B很大時(shí)，若滑塊速度很小，則摩擦力小于重力沿斜面的分力，滑塊不會(huì)靜止在斜面上，故D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．圓心、半徑和時(shí)間的確定基本思路圖例說(shuō)明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過(guò)圓心P、M點(diǎn)速度方向垂線的交點(diǎn)②弦的垂直平分線過(guò)圓心P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過(guò)圓心某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識(shí)求半徑常用解三角形法：左圖中，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ或軌跡長(zhǎng)度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(L,v)(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于eq\o(AB,\s\up8(︵))所對(duì)的圓心角θ(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ＜180°時(shí)，φ＝2α；φ＞180°時(shí)，φ＝360°－2α2．運(yùn)動(dòng)軌跡(1)直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖所示)。(2)平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)。(3)圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)。3．常用結(jié)論(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。(3)當(dāng)速度v變化時(shí)，圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。例1、(多選)(2021·湖北卷，9)一電中性微粒靜止在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在某一時(shí)刻突然分裂成a、b和c三個(gè)微粒，a和b在磁場(chǎng)中做半徑相等的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，環(huán)繞方向如圖所示，c未在圖中標(biāo)出。僅考慮磁場(chǎng)對(duì)帶電微粒的作用力，下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)帶負(fù)電荷 B．b帶正電荷C．c帶負(fù)電荷 D．a(chǎn)和b的動(dòng)量大小一定相等【答案】BC【解析】由左手定則可知，粒子a、粒子b均帶正電，電中性的微粒分裂的過(guò)程中，總的電荷量應(yīng)保持不變，則粒子c應(yīng)帶負(fù)電，A錯(cuò)誤，B、C正確；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，即qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,qB)，由于a粒子與粒子b的電荷量大小關(guān)系未知，則粒子a與粒子b的動(dòng)量大小關(guān)系不確定，D錯(cuò)誤。例2、(多選)(2022·山東省二模)如圖，虛線上方空間分布著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在紙面內(nèi)沿不同的方向從粒子源O先后發(fā)射速率均為v的質(zhì)子和α粒子，質(zhì)子和α粒子同時(shí)到達(dá)P點(diǎn)。已知OP＝l，α粒子沿與PO成30°角的方向發(fā)射，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，則下列說(shuō)法正確的是()A．質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為eq\f(1,2)lB．α粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為eq\f(\r(3),2)lC．質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πl(wèi),2v)D．質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時(shí)間間隔為eq\f(7πl(wèi),6v)【答案】ACD【解析】根據(jù)題意作出α粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)可知，α粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r＝l，因?yàn)榱Ｗ幼鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq\f(mv,qB)，質(zhì)子與α粒子的比荷為2∶1，所以其半徑之比為1∶2，質(zhì)子半徑為eq\f(1,2)l，故A正確，B錯(cuò)誤；α粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πl(wèi),v)，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ1＝300°，則α粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝eq\f(5,6)T＝eq\f(5πl(wèi),3v)，質(zhì)子從O點(diǎn)射入，P點(diǎn)射出，半徑為eq\f(1,2)l，可知從O點(diǎn)射入的速度方向必與OP邊界垂直，θ2＝180°，故t2＝eq\f(1,2)T′＝eq\f(πl(wèi),2v)，所以質(zhì)子和α粒子發(fā)射的時(shí)間間隔為t1－t2＝eq\f(7πl(wèi),6v)，故C、D正確。例3、(2021·北京高考)如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子在P點(diǎn)以與x軸正方向成60°的方向垂直磁場(chǎng)射入，并恰好垂直于y軸射出磁場(chǎng)。已知帶電粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，OP＝a。不計(jì)重力。根據(jù)上述信息可以得出()A．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡方程B．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率C．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間D．該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度【答案】A【解析】粒子恰好垂直于y軸射出磁場(chǎng)，作出軌跡如圖所示，O1為軌跡圓心，由幾何關(guān)系可知OO1＝atan30°＝eq\f(\r(3),3)a，軌跡半徑R＝eq\f(a,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)a，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),3)a))2＝eq\f(4,3)a2，故A正確；由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)，解得帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率為v＝eq\f(qBR,m)，軌跡圓的半徑R可求出，但磁感應(yīng)強(qiáng)度B未知且不可求出，則無(wú)法求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率，故B、D錯(cuò)誤；帶電粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為eq\f(2,3)π，周期為T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(\f(2,3)π,2π)T＝eq\f(2πm,3qB)，因磁感應(yīng)強(qiáng)度B未知且不可求出，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)法求出，故C錯(cuò)誤。例4、如圖所示，一個(gè)理想邊界為PQ、MN的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d，方向垂直紙面向里。一電子從O點(diǎn)沿紙面垂直PQ以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)，若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為2d，O′在MN上，且OO′與MN垂直。下列判斷正確的是()A．電子將向右偏轉(zhuǎn)B．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為dC．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為eq\r(3)dD．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πd,3v0)【答案】D【解析】電子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則判斷可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏轉(zhuǎn)，如圖所示，故A錯(cuò)誤；設(shè)電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為x，則由幾何知識(shí)得x＝r－eq\r(r2－d2)＝2d－＝(2－eq\r(3))d，故B、C錯(cuò)誤；設(shè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，由幾何知識(shí)得sinθ＝eq\f(d,2d)＝0.5，得θ＝eq\f(π,6)，則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(θr,v0)＝eq\f(πd,3v0)，故D正確。例5、(2021·全國(guó)乙卷，16)如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從圓周上的M點(diǎn)沿直徑MON方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v1，離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)90°；若射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v2，離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)60°。不計(jì)重力。則eq\f(v1,v2)為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)【答案】B【解析】設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，帶電粒子以v1射入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r1＝R，帶電粒子以v2射入磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r2＝Rtan60°＝eq\r(3)R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，可得r＝eq\f(mv,qB)，則r1＝eq\f(mv1,qB)，r2＝eq\f(mv2,qB)，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(3),3)，B正確。課堂隨練訓(xùn)練1、一個(gè)帶電粒子沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子的一段軌跡如圖所示，軌跡上的每一小段都可近似看成圓?。捎趲щ娏Ｗ邮寡赝镜目諝怆婋x，粒子的能量逐漸減小(帶電荷量不變)，則從圖中情況可以確定()A．粒子從a到b，帶正電B．粒子從a到b，帶負(fù)電C．粒子從b到a，帶正電D．粒子從b到a，帶負(fù)電【答案】C【解析】由于帶電粒子使沿途的空氣電離，粒子的能量逐漸減小，則速度逐漸減小，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式r＝eq\f(mv,qB)可知，粒子的半徑逐漸減小，所以粒子的運(yùn)動(dòng)方向是從b到a，再根據(jù)左手定則可知，粒子帶正電，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．訓(xùn)練2、如圖所示，矩形虛線框MNPQ內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。a、b、c是三個(gè)質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子，它們從PQ邊上的中點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，圖中畫出了它們?cè)诖艌?chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。粒子重力不計(jì)。下列說(shuō)法正確的是()A．粒子a帶負(fù)電B．粒子c的動(dòng)能最大C．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)D．粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力最大【答案】D【解析】由左手定則可知，a粒子帶正電，故A錯(cuò)誤；由qvB＝meq\f(v2,r)，可得r＝eq\f(mv,qB)，由題圖可知粒子c的軌跡半徑最小，粒子b的軌跡半徑最大，又m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大，由Ek＝eq\f(1,2)mv2，知粒子c的動(dòng)能最小，故B錯(cuò)誤；根據(jù)洛倫茲力提供向心力有F向＝qvB，則可知粒子b的向心力最大，故D正確；由T＝eq\f(2πm,qB)，可知粒子a、b、c的周期相同，但是粒子b的軌跡所對(duì)的圓心角最小，則粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T最短，故C錯(cuò)誤。訓(xùn)練3、(多選)如圖所示，在坐標(biāo)系的y軸右側(cè)存在有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)的寬度為d，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為－q(q>0)的帶電粒子，從原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)，速度方向與x軸正方向成30°角，粒子恰好不從右邊界射出，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從y軸的某點(diǎn)離開磁場(chǎng)。忽略粒子重力。關(guān)于該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是()A．它的軌跡半徑為eq\f(2,3)dB．它進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為eq\f(2qBd,3m)C．它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(2πm,3qB)D．它的運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\r(3)d【答案】AB【解析】粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r，由幾何關(guān)系有r＋rsin30°＝d，解得r＝eq\f(2,3)d，A正確；由洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，解得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(2qBd,3m)，B正確；由T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(2πm,qB)，如圖由幾何關(guān)系知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為240°，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(240°,360°)T＝eq\f(2,3)T＝eq\f(4πm,3qB)，C錯(cuò)誤；粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝－2rcos30°＝－eq\f(2\r(3),3)d，D錯(cuò)誤。訓(xùn)練4、如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為()A．eq\r(3)∶2 B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)【答案】C【解析】由于是相同的粒子，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相同，由qvB＝meq\f(v2,R)可知，R＝eq\f(mv,qB)，即粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同。若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，如圖所示，通過(guò)旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則AP＝2R1；同樣，若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v2，粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)B離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則BP＝2R2，由幾何關(guān)系可知，R1＝eq\f(R,2)，R2＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，則eq\f(v2,v1)＝eq\f(R2,R1)＝eq\r(3)，C項(xiàng)正確。訓(xùn)練5、(2019·全國(guó)卷Ⅲ·18)如圖，在坐標(biāo)系的第一和第二象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為eq\f(1,2)B和B、方向均垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子垂直于x軸射入第二象限，隨后垂直于y軸進(jìn)入第一象限，最后經(jīng)過(guò)x軸離開第一象限．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A．eq\f(5πm,6qB)B．eq\f(7πm,6qB)C．eq\f(11πm,6qB)D．eq\f(13πm,6qB)【答案】B【解析】設(shè)帶電粒子進(jìn)入第二象限的速度為v，在第二象限和第一象限中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，對(duì)應(yīng)的軌跡半徑分別為R1和R2，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)、T＝eq\f(2πR,v)，可得R1＝eq\f(mv,qB)、R2＝eq\f(2mv,qB)、T1＝eq\f(2πm,qB)、T2＝eq\f(4πm,qB)，帶電粒子在第二象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝eq\f(T1,4)，在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2＝eq\f(θ,2π)T2，又由幾何關(guān)系有cosθ＝eq\f(R2－R1,R2)＝eq\f(1,2)，可得t2＝eq\f(T2,6)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝t1＋t2，聯(lián)立以上各式解得t＝eq\f(7πm,6qB)，選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤．考點(diǎn)三、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的臨界極值問(wèn)題分析思路和方法兩種思路一是以定理、定律為依據(jù)，首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式，然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解二是直接分析、討論臨界狀態(tài)，找出臨界條件，從而通過(guò)臨界條件求出臨界值兩種方法物理方法(1)利用臨界條件求極值；(2)利用邊界條件求極值；(3)利用矢量圖求極值數(shù)學(xué)方法(1)用三角函數(shù)求極值；(2)用二次方程的判別式求極值；(3)用不等式的性質(zhì)求極值；(4)圖像法等從關(guān)鍵詞找突破口許多臨界問(wèn)題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件例1、(多選)如圖所示，邊長(zhǎng)為eq\r(3)L的正三角形abc區(qū)域內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向發(fā)射相同的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q。粒子速度大小為v時(shí)，恰好沒有粒子穿出磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子的重力。下列說(shuō)法正確的是()A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(2mv,qL)B．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(4mv,qL)C．若發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為eq\f(πL,12v)D．若發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為eq\f(πL,6v)【答案】BC【解析】磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子恰好沒有穿出磁場(chǎng)區(qū)域，因此帶電粒子的軌跡圓的直徑等于過(guò)O點(diǎn)垂直于cb的線段長(zhǎng)度，設(shè)垂足為d，由幾何關(guān)系得Od＝eq\f(1,2)L，則粒子軌跡圓的半徑為r＝eq\f(1,4)L，由洛倫茲力提供向心力qvB＝meq\f(v2,r)，得B＝eq\f(4mv,qL)，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)發(fā)射粒子速度為2v時(shí)，由2qvB＝meq\f(（2v）2,r)，得r′＝eq\f(2mv,qB)＝eq\f(L,2)，求最短時(shí)間，也就是求粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)最小的角度，當(dāng)粒子從垂足d穿出時(shí)，時(shí)間最短，由幾何關(guān)系知，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ＝60°，T＝eq\f(2πm,qB)＝eq\f(πL,2v)，即最短時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T＝eq\f(πL,12v)，C正確，D錯(cuò)誤。例2、（2020全國(guó)3）真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】為了使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，則其運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示A點(diǎn)為電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，r為半徑，由圖可知為直角三角形，則由幾何關(guān)系可得解得；由洛倫茲力提供向心力解得，故C正確，ABD錯(cuò)誤。故選C。例3、如圖所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)(含邊界)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ab＝l，Oa＝0.4l，大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ab邊成37°的方向以不同的初速度v0射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。(1)求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間；(2)若帶電粒子從ad邊離開磁場(chǎng)，求v0的取值范圍?！敬鸢浮?1)eq\f(143πm,90qB)(2)eq\f(qBl,4m)<v0≤eq\f(5qBl,9m)【解析】(1)粒子從ab邊離開磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖1所示，有qBv0＝eq\f(mv\o\al(2,0),R)又T＝eq\f(2πR,v0)解得T＝eq\f(2πm,Bq)又由幾何關(guān)系得θ＝74°，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t＝eq\f(360°－θ,360°)T＝eq\f(143πm,90qB)。(2)當(dāng)粒子軌跡與ad邊相切時(shí)，如圖2所示，設(shè)此時(shí)初速度為v01，軌道半徑為R1，由幾何關(guān)系可得R1＋R1sin37°＝0.4l又qBv01＝eq\f(mv\o\al(2,01),R1)解得v01＝eq\f(qBl,4m)；當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與cd邊相切時(shí)，如圖3所示，設(shè)此時(shí)初速度為v02，軌道半徑為R2，由幾何關(guān)系可得R2＋R2cos37°＝l又qBv02＝eq\f(mv\o\al(2,02),R2)解得v02＝eq\f(5qBl,9m)綜上可得eq\f(qBl,4m)<v0≤eq\f(5qBl,9m)。課堂隨練訓(xùn)練1、如圖所示，平行邊界MN、PQ之間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，兩邊界間距為d。邊界MN上A點(diǎn)有一粒子源，可沿紙面內(nèi)任意方向射出完全相同的質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，粒子射出的速度大小均為v＝eq\f(2qBd,3m)。若不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為()A．1 B．2∶3C．eq\r(3)∶2 D．2eq\r(7)∶7【答案】C【解析】由v＝eq\f(2qBd,3m)可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(2,3)d，則粒子能打到PQ上的區(qū)域長(zhǎng)度為2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)d))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)d))2)＝eq\f(2\r(3),3)d；粒子能打到MN上的區(qū)域的長(zhǎng)度為2r＝eq\f(4,3)d，故粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度與能從MN邊界射出的區(qū)域長(zhǎng)度之比為eq\f(\r(3),2)，故選C。訓(xùn)練2、如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長(zhǎng)ac＝L，一個(gè)粒子源在a點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子中，速度的最大值是()A．eq\f(qBL,2m) B．eq\f(\r(3)qBL,6m)C．eq\f(\r(3)qBL,4m) D．eq\f(qBL,4m)【答案】A【解析】粒子沿ab邊射入磁場(chǎng)且從ac邊射出磁場(chǎng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，粒子速度最大時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡與bc相切，如圖所示，由題意和幾何關(guān)系可知ab＝eq\f(1,2)L，四邊形abdO是正方形，粒子軌道半徑r＝eq\f(1,2)L，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvmB＝eq\f(mv\o\al(2,m),\f(1,2)L)，解得粒子的最大速度vm＝eq\f(qBL,2m)，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。訓(xùn)練3、(2022·蘇錫常鎮(zhèn)四市5月調(diào)研)如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，y軸上P點(diǎn)處有一個(gè)粒子源，可沿－x到＋x方向向上180°范圍內(nèi)發(fā)射帶正電的粒子，粒子的比荷均為eq\f(q,m)＝5.0×106C/kg，速度大小介于0～3.0×105m/s。MN是一塊置于x軸上的粒子收集薄金屬板，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖，其中a＝0.3m?？梢酝ㄟ^(guò)施加電場(chǎng)或磁場(chǎng)的方式進(jìn)行粒子的收集。(1)若平面內(nèi)存在電場(chǎng)，且P和MN間電勢(shì)差U＝7.0×103V，求到達(dá)板上的粒子的速度最大值；(2)若在平面內(nèi)加一垂直于紙面向外的足夠大勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝0.1T，求能夠被板MN收集到的粒子的最小速度；(3)在第(2)問(wèn)的條件下，求能夠被板MN收集到的粒子的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間?！敬鸢浮?1)4×105m/s(2)1.25×105m/s(3)eq\f(π,3)×10－5s【解析】(1)由動(dòng)能定理可得qU＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0m)可解得最大速度vm＝4×105m/s。(2)由幾何關(guān)系可知，最小速度的粒子的軌跡應(yīng)該是以PM為直徑的圓，如圖甲所示，所以r1＝eq\f(PM,2)＝0.25m由向心力公式可得qv1B＝meq\f(veq\o\al(2,1),r1)可得v1＝1.25×105m/s。(3)粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的應(yīng)該是速度最大即為vm的粒子，其軌跡如圖乙所示，軌跡圓與MN相切由qv0mB＝meq\f(veq\o\al(2,0m),r2)可得r2＝0.6m由幾何關(guān)系可得cosθ＝eq\f(r2－a,r2)所以θ＝eq\f(π,3)由圓周運(yùn)動(dòng)可知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(（2π－θ）r2,v0m)可得t＝eq\f(π,3)×10－5s。同步訓(xùn)練1、(2022·浙江高三模擬)一根通電直導(dǎo)線水平放置，通過(guò)直導(dǎo)線的恒定電流方向如圖所示，現(xiàn)有一電子從直導(dǎo)線下方以水平向右的初速度v開始運(yùn)動(dòng)，不考慮電子重力，關(guān)于接下來(lái)電子的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．電子將向下偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變大B．電子將向上偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變小C．電子將向上偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變大D．電子將向下偏轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸變小【答案】B【解析】水平導(dǎo)線中通有恒定電流I，根據(jù)安培定則判斷可知，導(dǎo)線上方的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，導(dǎo)線下方的磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，由左手定則判斷可知，導(dǎo)線下方的電子所受的洛倫茲力方向向上，則電子將向上偏轉(zhuǎn)，其速率v不變，而離導(dǎo)線越近，磁場(chǎng)越強(qiáng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B越大，由公式r＝eq\f(mv,qB)，可知電子的軌跡半徑逐漸變小，故選B.2、云室是借助過(guò)飽和水蒸氣在離子上凝結(jié)來(lái)顯示通過(guò)它的帶電粒子徑跡的裝置。如圖為一張?jiān)剖抑信臄z的照片。云室中加了垂直于紙面向里的磁場(chǎng)。圖中a、b、c、d、e是從O點(diǎn)發(fā)出的一些正電子或負(fù)電子的徑跡。有關(guān)a、b、c三條徑跡以下判斷正確的是()A．a(chǎn)、b、c都是正電子的徑跡B．a(chǎn)徑跡對(duì)應(yīng)的粒子動(dòng)量最大C．c徑跡對(duì)應(yīng)的粒子動(dòng)能最大D．c徑跡對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)【答案】C【解析】正、負(fù)電子在垂直于紙面向里的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可知，a、b、c都是負(fù)電子的徑跡，A錯(cuò)誤；負(fù)電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有evB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,eB)，由圖可知，Ra<Rb<Rc，所以va<vb<vc，根據(jù)p＝mv可知，pa<pb<pc，根據(jù)Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，Eka<Ekb<Ekc，B錯(cuò)誤，C正確；負(fù)電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有evB＝meq\f(v2,R)，T＝eq\f(2πR,v)，則T＝eq\f(2πm,eB)，所以Ta＝Tb＝Tc，負(fù)電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(α,2π)T，其中α為負(fù)電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧所對(duì)的圓心角，由圖可知a徑跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，則a徑跡對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，D錯(cuò)誤。3、某帶電粒子以速度v沿垂直于磁場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．粒子做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若粒子的速度為2v，則下列說(shuō)法正確的是()A．粒子運(yùn)動(dòng)的周期變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)B．粒子運(yùn)動(dòng)的半徑仍為RC．粒子運(yùn)動(dòng)的加速度變?yōu)樵瓉?lái)的4倍D．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡所包圍的磁通量變?yōu)樵瓉?lái)的4倍【答案】D【解析】由題意得，a＝eq\f(qvB,m)，R＝eq\f(mv,qB)，Φ＝BS＝Bπ(eq\f(mv,qB))2，T＝eq\f(2πR,v)＝eq\f(2πm,qB)，當(dāng)粒子的速度變?yōu)?v時(shí)，a變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，R變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，Φ變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，T不變，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確．4、(多選)(2019·海南卷，9)如圖，虛線MN的右側(cè)有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩電荷量相同的粒子P、Q從磁場(chǎng)邊界的M點(diǎn)先后射入磁場(chǎng)，在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。射入磁場(chǎng)時(shí)，P的速度vP垂直于磁場(chǎng)邊界，Q的速度vQ與磁場(chǎng)邊界的夾角為45°。已知兩粒子均從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，且在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，則()A．P和Q的質(zhì)量之比為1∶2B．P和Q的質(zhì)量之比為eq\r(2)∶1C．P和Q速度大小之比為eq\r(2)∶1D．P和Q速度大小之比為2∶1【答案】AC【解析】設(shè)MN＝2R，則粒子P做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓半徑R＝eq\f(mPvP,qB)；粒子Q做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓半徑為eq\r(2)R，有eq\r(2)R＝eq\f(mQvQ,qB)；又兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，則tP＝eq\f(πmP,qB)，tQ＝eq\f(1,4)TQ＝eq\f(πmQ,2qB)，即eq\f(πmP,qB)＝eq\f(πmQ,2qB)，解得mQ＝2mP，vP＝eq\r(2)vQ，故A、C正確，B、D錯(cuò)誤。5、(2019·全國(guó)Ⅱ卷，17)如圖，邊長(zhǎng)為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()A．eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B．eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC．eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D．eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl【答案】B【解析】若電子從a點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線①，ra＝eq\f(l,4)由qvaB＝meq\f(veq\o\al(2,a),ra)得va＝eq\f(qBra,m)＝eq\f(qBl,4m)＝eq\f(kBl,4)若電子從d點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線②由幾何關(guān)系得req\o\al(2,d)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(rd－\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋l2整理得rd＝eq\f(5,4)l由qvdB＝meq\f(veq\o\al(2,d),rd)得vd＝eq\f(qBrd,m)＝eq\f(5qBl,4m)＝eq\f(5kBl,4)，選項(xiàng)B正確。6、(多選)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中x＞0空間內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(其他區(qū)域無(wú)磁場(chǎng))，在y軸上有到原點(diǎn)O的距離均為L(zhǎng)的C、D兩點(diǎn)。帶電粒子P(不計(jì)重力)從C點(diǎn)以速率v沿x軸正向射入磁場(chǎng)，并恰好從O點(diǎn)射出磁場(chǎng)；與粒子P相同的粒子Q從C點(diǎn)以速率4v沿紙面射入磁場(chǎng)，并恰好從D點(diǎn)射出磁場(chǎng)，則()A．粒子P帶正電B．粒子P在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πL,2v)C．粒子Q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為eq\f(3πL,4v)D．粒子Q在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程可能為eq\f(2πL,3)【答案】ABD【解析】粒子P從C點(diǎn)沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，受洛倫茲力而向上偏轉(zhuǎn)過(guò)O點(diǎn)，由左手定則知帶正電，故A正確；據(jù)題意可知P粒子在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，則半徑為R1＝eq\f(L,2)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1＝eq\f(πR1,v)＝eq\f(πL,2v)，故B正確；Q粒子與P粒子的比荷相同，而速度為4v，由R＝eq\f(mv,qB)可知R2＝4R1＝2L，而CD距離為2L，故Q粒子不可能沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)。設(shè)與y軸的夾角為θ，分別有兩種情況從C點(diǎn)進(jìn)過(guò)D出，軌跡如圖所示：由幾何關(guān)系可知θ＝30°，兩種軌跡的圓心角為60°和300°，則粒子Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝eq\f(\f(π,3)·2L,4v)＝eq\f(πL,6v)或t2＝eq\f(\f(5π,3)·2L,4v)＝eq\f(5πL,6v)，而圓周的弧長(zhǎng)為s＝eq\f(π,3)·2L＝eq\f(2πL,3)或s＝eq\f(5π,3)·2L＝eq\f(10πL,3)，故C錯(cuò)誤，D正確。7、如圖所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒子源，源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速度大小相等的帶正電的粒子(重力不計(jì))，已知粒子的比荷為k，速度大小為2kBr。則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為()A．eq\f(π,kB) B．eq\f(π,2kB)C．eq\f(π,3kB) D．eq\f(π,4kB)【答案】C【解析】粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(2kBr,Bk)＝2r；當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，此時(shí)弦長(zhǎng)最大，其最大值為圓磁場(chǎng)的直徑2r，故t＝eq\f(T,6)＝eq\f(πm,3qB)＝eq\f(π,3kB)，故選項(xiàng)C正確。8、(2022·丹東一模)如圖所示，坐標(biāo)平面內(nèi)有邊界過(guò)P(0，L)點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，方向垂直于坐標(biāo)平面，一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子(不計(jì)重力)，從P點(diǎn)以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，從x軸上的Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)區(qū)域，此時(shí)速度與x軸正方向的夾角為60°，下列說(shuō)法正確的是()A．磁場(chǎng)方向垂直于坐標(biāo)平面向外B．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝eq\f(mv0,2