2022年高考數(shù)學(xué)解題技巧及規(guī)范答題：三角函數(shù)大題

2022年高考數(shù)學(xué)解題技巧及規(guī)范答題

三角函數(shù)大題

【規(guī)律方法】

1、正弦定理、余弦定理:

正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情況下求解其余基本量，基本思想是方程思

想.正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角

函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.正弦定理、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，其

解題方法主要有：

(1)化邊為角：

通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，如：a=2RsinA,H+廿一02=2成cosC等，利用三角變換

得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時(shí)要注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如：

sinA=sinB<=>A=B,sin2A=sin230A=3或A+3=2等.

(2)化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sinA=f_，COSA=3±G;%等，通過代數(shù)

2R2bc

恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.

注意：(1)注意無(wú)論是化邊還是化角，在化簡(jiǎn)過程中出現(xiàn)公因式不要約掉，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可

能.

(2)在變形過程中要注意角A,B,。的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.

2、三角恒等變換綜合應(yīng)用的解題思路

(1)將1工)化為asinx+bcosx的形式；

(3)和角公式逆用，得f(x)=ylh2+b2sin(x+)(其中夕為輔助角);

(4)利用f(x)=&+.sin(x+)研究三角函數(shù)的性質(zhì)；

第1頁(yè)共“頁(yè)

(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.

【核心素養(yǎng)】

以三角形為載體，以正弦定理、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段考查解三角形問題是高考一

類熱點(diǎn)題型，考查的核心素養(yǎng)主要有"邏輯推理"、"數(shù)學(xué)運(yùn)算"、"數(shù)據(jù)分析”.

【典例】【2020年全國(guó)II卷】

ABC中，sin2A—sin2B—sin2C=sinBsinC.

(1)求4；

(2)若BC=3,求ABC周長(zhǎng)的最大值.

【分析】

(1)利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進(jìn)而求得A；

(2)利用余弦定理可得到(AC+ABy-ACAB=9,利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，

進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2^ACAB,

.?.cosA=Ad±ABr-BC5=-1,

2AC-AB2

/、

AG(0,),/.A=2c

(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2ACABCOSA=AC2+AB2+ACAB=9,

即(AC+AB)2-ACAB=9.

AC-AB<\^±^1|2(當(dāng)且僅當(dāng)AC=A3時(shí)取等號(hào))，

I2J

222

:.9=(AC+AB)-AC-AB>(AC+AB)-^\韭土位'p=-(AC+AB),

I2)4

解得：AC+AB<2^3(當(dāng)且僅當(dāng)AC=A3時(shí)取等號(hào))，

ABC周長(zhǎng)L=AC+A3+BC<3+20,/.ABC周長(zhǎng)的最大值為3+20.

【解題方法與步驟】

1、解三角形問題的技巧：

(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦

或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

①應(yīng)用正弦定理求角時(shí)容易出現(xiàn)增解或漏解的錯(cuò)誤，要根據(jù)條件和三角形的限制條件合理取舍；

②求角時(shí)易忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤，因此需要根據(jù)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的規(guī)則，畫圖進(jìn)行判斷.

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，

該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角規(guī)則進(jìn)行判斷.

2、三角恒等變換要遵循的“三看”原則：

一看"角"：通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分，從而正確使用公式；

二看"函數(shù)名稱"：看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；

三看"結(jié)構(gòu)特征”：分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有"遇到分式要通分""整式因式分解""二

次式配方"

等.

3、解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟：

第一步，轉(zhuǎn)化：正確分析題意，提煉相關(guān)等式，利用等式的邊角關(guān)系合理將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題；

第二步，用定理、公式、性質(zhì)：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、輔助角公式等進(jìn)行三角形中邊角

第3頁(yè)共11頁(yè)

關(guān)系的互化；

第三步，得結(jié)論：利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)求函數(shù)解析式、角、三角函數(shù)值，或

討論三角函數(shù)的基本性質(zhì)等.

【好題演練】

1.(2021?河南中原高三模擬)

在ABC中，a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,已知a+36cosA=3c.

(1)求sin3；

(2)若。=3,。為AC的中點(diǎn)；且BD=取,求ABC的面積.

【分析】

(1)根據(jù)題意,由正弦定理得出sinA+3sinBcosA=3sinC,再由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得

sinA=3sinAcosB,由于sinA>0,從而可求得cosB=~3,最后根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,

即可求出sinB；

(2)法1：在ABC中由余弦定理得出1=2±6二3,再分別在△A3。和△BCD中，由余弦定

36c

3+■-c23+廬-9

理得出cosADB=-4—和cosCDB='再由C0SZADB+COsZCDB=0'整理

d3bd3b

第4頁(yè)共11頁(yè)

化簡(jiǎn)的出c邊，最后根據(jù)三角形的面積公式SMBC=~2acsinB,即可求出結(jié)果.

f=lL+-)

法2:由平面向量的加法運(yùn)算法則得出BDlBABC\,兩邊平方并利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)

2U

算化簡(jiǎn)得3=14(c2+2c+9),從而可求出c邊，最后根據(jù)三角形的面積公式SAABC=_2acsinB,即

可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)因?yàn)閍+36cosA=3c,

由正弦定理得sinA+3sinBcosA=3sinC,

因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinA=3sinAcosB,

因?yàn)锳e(0,),所以sinA>0,所以cos8=13，

因?yàn)锽e(O,),所以sinB=Ji23=I(17.JI.

N⑺3

(2)法1：在ABC中，由余弦定理得cos3=cr+r-b1,

2ac

即』=2士丫=8,

36c

2

b2

在△ABO中，由余弦定理得cosADB=3+4，

^3b

b2

3+4—9,

在△BCD中，由余弦定理得cosCDB=~Jjh

3-c23+￡-9

因?yàn)镹AOB+NCD8=TI,所以4+不=0,

第5頁(yè)共11頁(yè)

即廬=6+2c2,

所以」=9+d-）2=9+C2-（6+2C2）,

36c6c

整理得J+2c—3=0,解得：。=1或c=—3（舍去），

所以S^ABC=~2acsinB=~2x3x1x3^=、/2.

T1）

法2：因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以30=~\BA+BC\,

21）

2/22、

->1?'

兩邊平方得BD=-\BA+2BA-BC+BCI，

即3=—4（c?+2c+9）,即C2+2c—3=0,解得c=1或c=—3

2c2/

（舍），所以S/viBC=-2a。sinlx3=、/2.

2.記ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=\分7=3cosB+bsinA.

(1)求A；

(2)點(diǎn)A,D位于直線BC異側(cè)，BDLBC,8。=1.求A。的最大值.

【分析】

(1)由已知條件可得=\Q3acosB+Z?sinA,利用正弦定理化邊為角結(jié)合

sinC=sin(A+B)利用兩角和的正弦公式展開整理可求得tanA的值，即可得角A；

(2)結(jié)合(1)卬3sinC不hsinAcosB+sinBsinA化角為邊可得

Fc=出acosB+asinB，即c=sin8+FcosB,在△ABD中由余弦定理求AD2,利用三角恒等

式變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.

第6頁(yè)共11頁(yè)

【詳解】

(1)因?yàn)?3cos5+Z?sinA,a^~\l3

所以03c氣cosB+Z?sinA.

由正弦定理得：?3sinCsinAcosB+sinBsinA.

因?yàn)锳+B+C=7i,A,B,CG(0,7i),

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以?3sinAcosB求hcosAsinBQ/3sinAcosB+sinBsinA,

所以05cosAsinB=sinBsinA,又因?yàn)閟in5w0,所以x?3cosA=sinA,

可得：tanA=^73,因?yàn)?<A<7i,所以4=兀3；

(2)由(1)知sinsinAcos5+sin5sinA,

由正弦定理可得?萬(wàn)。413acosB+asinB,

a

BPc=tzcosB+厚」=sinB+小cosB,

由余弦定理得

AD2=c2+BD1-2cBDcosZABD

=(sinB-N(73COSB^1+1-2(sinBJ^-\/3cosB)(-sinB)

=sin2B+3cos2B+A^73sin2B+1+2sin2B4^3sin2B

=4+sin2B,

所以當(dāng)且僅當(dāng)3="4時(shí)，AD取得最大值4M/3J(、/3

+1)2,所以AO取得裹大值、/3+1.

3.在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為4,瓦c,且滿足2bsinAcos8=（2c-＞）sin8.

(1)求A；

第7頁(yè)共11頁(yè)

(2)若a=26,求周長(zhǎng)/的取值范圍.

【分析】

(1)由正弦定理得2sinBsinAcosB=(2sinC-sinB)sinB，化簡(jiǎn)得cosA=12,

利用A的范圍可得答案；

(2)由正弦定理得b=4sinB,c=4sinC,1=4(sinB+sinC)+2如利用B的范圍和三角函數(shù)的

性質(zhì)可得答案.

【詳解】

(1)由正弦定理得2sinBsinAcosB=(2sinC-sinB)sinB,

因?yàn)?<3<,所以sin3/0,

所以2sinAcosB=2sinC-sinB,

即2sinAcosB=2sinAcosB+2sinBcosA-sinB,

解得cosA=』2，

因?yàn)?<A<,所以A=3.

(2)由正弦定理得‘^=一竺=」一=4,

sinAsinBsinC

所以b=4sinB,c=4sinC,

所以/=4(5m8+5布。)+2^=4|匚+5缶\—-)1+2乃

L13JJ

(3.Q、廠廠(01、廠

—41-sinB+cosB\+2-\/3=4\/3I--sinBH—cos3I+2J3

122JI22)

(2(5

因?yàn)锽el0,-I,所以B+—e|—I

I3)6166J

第8頁(yè)共11頁(yè)

ffl1

所以sinIB+—Ie|—,11，

I6j12J

所以/e

4.(2021.天津高考)

在ABC,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sinA:sinB:sinC=2:1:b=J2J-

(I)求。的值;

(II)求cosC的值;

(in)求si」2C——'?的值.

I6J

【分析】

(I)由正弦定理可得a:b:c=2:1閃2,即可求出；

(II)由余弦定理即可計(jì)算；

(III)利用二倍角公式求出2c的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】

(I)因?yàn)閟inA:sin5:sinC=2:1點(diǎn)力，由正弦定理可得a:b:c=2,

b=\ITJ7:,a==2；

—d8+2—43

(II)由余弦定理可得cosC=巴士~-=U廠=-；

2ab2x2J2xV24

(III)cosC=sinC=Vl-cos2C=

j33"91

/.sin2C=2sinCcosC=2x4x4=8,cos2C=2cosC-l=2x16-1=8,

所以sinI(2C—-Vsin2Ccos—疝—1

-cos2Csin—=_3_7_7Xx出_—_1_

6J66828216

第9頁(yè)共11頁(yè)

5.(2021.南京市中華中學(xué))

在ABC中，b,c分別為內(nèi)角4,8,C的對(duì)邊，且滿足2=c：B+l.

a'3sinA

(1)求B的大?。?/p>

3—一這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決問

4

題.

問題：已知,,若A3C存在，求ABC的面積，若A3C不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【分析】

(1)由正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)運(yùn)算，可求出角的范圍.

(2)若選擇條件①②，由余弦定理可計(jì)算°、c