專題02 一元二次方程的4種常見壓軸題型全攻略（解析版）

專題02一元二次方程的4種常見壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一元二次方程概念的辨析】 1【考點(diǎn)二一元二次方程根的意義的應(yīng)用】 2【考點(diǎn)三一元二次方程根的計算】 2【考點(diǎn)五一元二次方程根的拓展提高】 3【過關(guān)檢測】 4【典型例題】【考點(diǎn)一一元二次方程概念的辨析】【例題1】下列方程中：①．②．③．④，是一元二次方程的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①是一元二次方程；②是一元一次方程，不是一元二次方程；③不是整式方程，不是一元二次方程；④是一元二次方程；所以是一元二次方程的有2個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【變式1】把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式為求解即可．【詳解】解：由得：，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程方程的一般形式，熟記一元二次方程的一般形式結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵．【變式2】若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵．【變式3】關(guān)于的一元二次方程的一個根為0，則的值為（

）A． B． C．3 D．0【答案】A【分析】把代入方程，解得的值，注意方程中二次項系數(shù)不為0的情況，即可解答．【詳解】解：把代入，可得：，解得，當(dāng)時，，此時方程不為一元二次方程，與題意不符，故，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定義，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二一元二次方程根的意義的計算】【例題2】如果關(guān)于x的方程（）中，，那么方程必有一個根是（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意知，當(dāng)時，，由此可以判定是原方程的一個根．【詳解】解：，∴當(dāng)時，，是原方程的一個根．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．【變式1】已知m是方程的一個根，則代數(shù)式的值應(yīng)（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入已知方程，即可求得，然后將其代入所求的代數(shù)式，再估算出，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴代數(shù)式的值應(yīng)在3和4之間，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，無理數(shù)的估算．方程的根即方程的解，就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式2】如果關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．2021 C． D．2025【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的一個解是，得到即，代入計算即可．【詳解】∵一元二次方程的一個解是，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【變式3】若關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022【答案】D【分析】令代入原方程即可求出原式的值．【詳解】解：令代入∴∴原式故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點(diǎn)三一元二次方程根的計算】【例題3】若關(guān)于x的一元二次方程的解是，則的值是（）A．2022 B．2012 C．2019 D．2023【答案】D【分析】根據(jù)已知及一元二次方程解的概念可得，整體代入計算即可．【詳解】解：的一元二次方程的解是，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用整體代入的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式1】已知是方程的一個實(shí)數(shù)根，求的值為．【答案】【分析】由題意易得，然后整體代入求解即可．【詳解】解：由題意得：，即，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．【變式2】若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則方程必有一根為．【答案】【分析】把化為再結(jié)合題意得到解出即可．【詳解】解：，．令，則∵方程（）有一個根為，有一根為，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的含義，掌握利用整體未知數(shù)求解方程的根是解此題的關(guān)鍵．【變式3】已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數(shù)式÷（a+3﹣）的值．【答案】【分析】首先把原式化簡，再根據(jù)方差解得定義得到代數(shù)式a（a+4）=21，代入原式求解．【詳解】解：原式====∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，∴a2+4a=21，即a（a+4）=21，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查整式的化簡求值，注意整體代入思想的應(yīng)用．【考點(diǎn)四一元二次方程根的拓展提高】【例題4】已知方程的解是，，那么方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把方程看作關(guān)于的一元二次方程，則利用方程的解是，，得到或，然后解一次方程即可．【詳解】解：把方程看作關(guān)于的一元二次方程，∵方程的解是，，∴或，解得或，∴方程的解為，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1】若n是方程的一個根，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則，整體代入即可得到答案．【詳解】解：∵n是方程的一個根，∴，∴，則，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的定義、代數(shù)式的值，根據(jù)一元二次方程根的定義得到是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知m是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值等于．【答案】2022【分析】根據(jù)題意可得：把代入方程中得：，從而可得，然后利用整體的思想進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：把代入方程中得：，，，故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一．選擇題1.把一元二方程化成一般形式，則，，的值分別是(

)A．，，

B．，，

C．，，

D．，，【答案】D【分析】方程整理為一般形式，找出各項系數(shù)和常數(shù)項即可．【詳解】方程整理得：，則，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的一般形式．2．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m滿足（

）A． B． C． D．m為任意實(shí)數(shù)【答案】A【分析】只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義求解，即可得到答案．【詳解】解：是關(guān)于x的一元二次方程，，，，故選：A．3.已知是方程的一個解，則代數(shù)式的值為（）A．0 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義，將代入得到，整體代入代數(shù)式求值即可得到答案【詳解】解：∵是方程的一個解，，即，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及一元二次方程解的定義，熟練掌握整體代入法求代數(shù)式的值是解決問題的關(guān)鍵．4．已知t為一元二次方程的一個解，則值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次方程的解，可得出，再將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】解：為一元二次方程的一個解，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，牢記“能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解”是解題的關(guān)鍵．二.填空題5．關(guān)于的一元二次方程的一個根為零，則．【答案】【分析】先把代入方程得，然后解關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程的定義取舍即可．【詳解】解：把代入方程得，解得或，∵，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定義．6．已知是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為．【答案】【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，∴，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義：含有一個未知，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫作一元二次方程，正確把握定義是解題關(guān)鍵．7．若關(guān)于x的方程的一個解為，則．【答案】2022【分析】先把方程的解代入方程，得到，再求代數(shù)式的值．【詳解】解：把代入方程得，即，所以．故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和求代數(shù)式的值，“知解必代”是解題的關(guān)鍵．8．若是方程的解，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入已知方程，即可求得，然后將其代入所求的代數(shù)式并求值即可．【詳解】解：∵是方程的解，∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解和代數(shù)式求值，解本題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程解的定義．9．已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】把代入方程得出，把化成，代入求出即可．【詳解】解：是方程的一個根，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用，用了整體代入思想，即把當(dāng)作一個整體來代入．三．綜合題10．若是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且）特別要注意的條件，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵原方程是關(guān)于x的一元二次方程，則一定是此二次項．∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，要特別注意二次項系數(shù)這一條件，本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽視這一條件．11．已知m為方程的一個根，求的值．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則，然后利用降次的方法對原式進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了代數(shù)式的變形求值．12．方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是多少？【答案】2【分析】一元二次方程兩個條件：①二次項系數(shù)不為0；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2，由題意可以得到關(guān)于的方程和不等式，求解即可．【詳解】解：由題意可得：且，解得：．即的值是2．【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．13．已知a是一元二次方程的根．求代數(shù)式的值．【答案】6【分析】先根據(jù)平方差公式和單項式乘以多項式的法則計算原式，然后根據(jù)方程根的定義可得，再結(jié)合化簡后的式子整體代入求解即可．【詳解】解：，∵a是一元二次方程的根，∴，即，∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義、整式的乘法運(yùn)算和代數(shù)式求值，熟練掌握整式的運(yùn)算法則、掌握整體代入的方法是解題關(guān)鍵．14．已知：a是方程的一個根，求代數(shù)式的值．【答案】1【分析】先去括號，再合并同類項，然后把代入化簡后的式子進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：∵a是方程的一個根，∴∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，一元二次方程的解，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．15．已知方程和有共同的根是，求的值．【答案】【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程組，求出和的值即可．【詳解】解：將代入和，得：，①②，得：，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程及一元二次方程的解的定義即使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，代入公共根，解方程組求出待定系數(shù)的值．16．先化簡，再求值：，其中m是方程的根．【答案】；【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡，再根據(jù)一元二次方程解的定義，得出，再整體代入計算，即可得解．【詳解】解：，∵m是方程的根，∴，即；【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值、一元二次方程的解，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．注意整體代入思想的運(yùn)用．17．閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維