1.4.2用空間向量研究距離夾角問題（第2課時用空間向量研究夾角問題）課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

人教A版

數(shù)學

選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時用空間向量研究夾角問題自主預習新知導學一、直線與直線所成的角1.異面直線所成的角

若異面直線l1,l2所成的角為θ,其方向向量分別是u,v,則cosθ=|cos<u,v>|=.2.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(

)解析:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系Dxyz(圖略).設AB=1,答案:D二、直線與平面所成的角1.直線與平面所成的角直線與平面相交,設直線與平面所成的角為θ,直線的方向向量為u,平面的法向量為n,則sinθ=|cos<u,n>|=.2.已知向量m,n分別是直線l的方向向量、平面α的法向量,若cos<m,n>=-,則l與α所成的角為(

)A.30° B.60° C.150° D.120°解析:設l與α所成的角為θ,則sin

θ=|cos<m,n>|=,即θ=60°.故選B.答案:B三、平面與平面所成的角1.平面與平面所成的角(1)定義:平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.(2)若平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角.設平面α與平面β的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=.2.平面α的法向量為(1,0,-1),平面β的法向量為(0,-1,1),則平面α與平面β的夾角為

.

解析:設u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α與β的夾角為θ,合作探究釋疑解惑探究一求異面直線所成的角【例1】

如圖,在三棱錐V-ABC中,頂點C在空間直角坐標系的原點處,頂點A,B,V分別在x軸、y軸、z軸上,D是線段AB的中點,且AC=BC=2,∠VDC=θ.當θ=時,求異面直線AC與VD所成角的余弦值.反思感悟

求異面直線所成角的方法(1)幾何法:①作圖:選擇“特殊點”作異面直線的平行線,作出所求角;②證明:證明所作角符合定義;③計算:解三角形求解.(2)坐標法:①建系:建立空間直角坐標系;②找坐標:求出兩條異面直線的方向向量的坐標;③求夾角:利用向量夾角的公式計算兩直線方向向量的夾角;④下結(jié)論:結(jié)合異面直線所成角的范圍,得到異面直線所成的角.提醒:兩條異面直線所成角的取值范圍是

.【變式訓練1】

如圖所示,已知A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠ACB=90°,點D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,求BD1與AF1所成角的余弦值.解:以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設CB=CA=CC1=1,探究二求直線與平面所成的角【例2】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點.(1)求證:PB⊥DM;(2)求BD與平面ADMN所成的角.分析:(1)建系,用向量方法證明垂直.(2)先計算平面ADMN的法向量與直線BD的方向向量的夾角,再轉(zhuǎn)化為直線BD與平面ADMN所成的角.解:以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.設BC=1,則A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),反思感悟

求直線與平面所成的角的方法與步驟思路一:找直線在平面內(nèi)的射影,充分利用面面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值).思路二:利用向量法求直線與平面所成的角θ的基本步驟【變式訓練2】

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E,F分別為C1C,BC的中點.求直線A1B與平面AEF所成角的正弦值.解:以A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),探究三求平面與平面的夾角【例3】

在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中點,求平面EAC與平面ABCD的夾角的大小.分析:有兩種思路,思路一:根據(jù)二面角的定義找出平面EAC與平面ABCD的夾角,再求其大小;思路二:建立空間直角坐標系,求平面的法向量,利用法向量的夾角與平面間的夾角之間的關系求解.解法一:以A為原點,AC,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設PA=AB=a,AC=b,連接BD,與AC的交點為O,連接OE.取AD的中點F,連接OF,EF.解法二:建系如解法一.∵PA⊥平面ABCD,反思感悟

利用向量方法求平面與平面的夾角的大小時,多采用法向量法,具體求解步驟如下(1)建立空間直角坐標系.(2)分別求出兩個平面的法向量n1和n2.(3)設兩平面間的夾角為θ,則cos

θ=|cos<n1,n2>|.(4)根據(jù)余弦值,確定兩平面間的夾角的大小.【變式訓練3】

如圖,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=,PA=AC=1,求平面PAB與平面PBC的夾角的余弦值.解法一:建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz,解法二:建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.【規(guī)范解答】

利用空間向量解決空間幾何的綜合問題【典例】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點,AA1=AC=CB=AB.求平面A1CD與平面A1CE的夾角的正弦值.審題策略:建立空間直角坐標系,利用向量方法進行求解.答題模板:第1步:建立空間直角坐標系?第2步:設點,求出向量坐標?第3步:用待定系數(shù)法求法向量坐標?第4步:求兩個法向量的夾角的余弦值,進而求得正弦值.反思感悟

通過分析,得出規(guī)范解答本題的要點如下(1)利用三角形中的邊長關系找到垂直的條件,從而恰當?shù)亟⒖臻g直角坐標系.(2)利用中點公式正確地求出相關點的坐標.(3)用待定系數(shù)法求出平面的法向量.(4)利用三角函數(shù)的知識把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面夾角的正弦值.【變式訓練】

如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF.(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求直線DP與平面ABFD所成角的正弦值.(1)證明:由已知可