2023年高考數(shù)學一輪復習（全國版文） 第8章 §86 幾何法求空間角

幾何法求空間角

【考試要求】以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點.理解異面直線所成角、直線

和平面所成角和二面角的定義，并會求值.

【知識梳理】

1.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線小b,經(jīng)過空間任一點。分別作直線優(yōu)〃小h1//b,把直線

與少所成的銀魚(或直角)叫做異面直線〃與8所成的角(或夾角).

(2)范圍：(0,］］.

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的

角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是幽；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它

們所成的角是0。.

(2)范圍：0,.

3.二面角

(I)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0￡/：

②OAUa,OBUB；

③OAJJ,OB11,則二面角。一/一夕的平面角是幺”.

(3)二面角的平面角Q的范圍：［0,汨.

L思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號口打“J”或“義”)

(1)若直線Ji,辦與同一個平面所成的角相等，則/i〃b(X)

(2)異面直線所成角的范圍為0,^.(X)

(3)如果平面a〃平面內(nèi)，平面4〃平面小，那么平面a與平面所成的二面角和平面佝與平

面小所成的二面角相等或互補.(V)

(4)線面角的范圍為0,,二面角的范圍為［0,兀］.(J)

【教材改編題】

1.如圖所示，在正方體488—4B］Ci。］中，E,尸分別是A&A。的中點，則異面直線

與所所成角的大小為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案C

解析連接囪。i,DC（圖略），則B\D\〃EF,故NDIC即為所求的角或其補角.又

o

=B}C=DiCt為等邊三角形，AZDiBiC=60.

2.如圖所示，A8是。。的直徑，以_1_。0所在的平面，C是圓上一點，且NA8C=30。，PA

=AB,則直線PC和平面48c所成角的正切值為.

答案2

解析因為以_L平面ABC,所以AC為斜線PC在平面A5c上的射影，所以NPC4即為PC

I1ps

和平面ABC所成的角.在RtZXBAC中，因為4。=與48=5%，所以3/尸。4=方=2.

乙L/IV

3.如圖，在正方體48?！?gt;一4'夕CD'中：

①二面角。'-AB一。的大小為.

②二面角A'一43—。的大小為.

答案①45。②90。

解析①在正方體ABCD-A'B'CD'中，48_1_平面ADD'A）,所以AB1AD',

48_LAO,因此/￡>'A￡>為二面角O'—A8-O的平面角.在RtZ\。'D4中，NO'AD=

45°,所以二面角?！籄8-Q的大小為45。.

②因為AB_L平面A。。'A',所以熊_LAD,ABLAA,,因此NA'AD為二面角A'—AB-O的平

面角，又NA'AO=90。，所以二面角A'—AB—O的大小為90。.

題型一異面直線所成的角

例I⑴在長方體48aMi81GG中，AB=BC=\,44=小，則異面直線AOi與OS所成

角的余弦值為（）

答案C

解析如圖，連接加力，交。用于。，取48的中點M,連接。M,OM.易知。為5。的中

點，所以ADi/ZOM,則NMO￡>為異面直線AD{與D&所成角或其補角.因為在長方體

ABCD-A閏GA中，A8=BC=1,AAt=y/3,

2

ADt=y/AD+DDr=2,

DB\=山原+心+§山=小

所以OM=；AOi=1,OO=：O8i=坐，

于是在△DMO中，由余弦定埋，

2Xlxf5

即異面直線4n與所成角的余弦值為坐.

延伸探究若將本例（1）中題干條件“44=小”變?yōu)椤爱惷嬷本€48與AG所成角的余弦值

9

為T5".試求的值.

解設A4i=f,,：AB=BC=\t

?"iG=啦，AiB=BC\=y[pn.

CQSZ.A\BC\=

2XA/XBG

產(chǎn)+1+產(chǎn)+1—29

-2X^//2+lX^//2+l-10,

解得f=3,則AAi=3.

（2）（2022?衡水檢測）如圖，在圓錐SO中，AB,CD為底面圓的兩條直徑，ABQCD=O,且

ABYCD,S0=0B=3,SE=$B,則異面直線SC與。七所成角的正切值為（）

A迤2c12口近

A.23J653

答案D

解析如圖，過點S作S/〃OE,交AB于點尸，連接。尸，則NCSA（或其補角）為異面直線SC

與OE所成的角.

；SE=；SB,;?SE=&BE.

又08=3,：.OF=\()B=\.

???SO_LOC,SO=OC=3t

:,SC=3版

?:SO1OF,:.SF=?SG+0F2=?.

*：OCA-OF,ACF=ViO.

???在等腰ASC尸中，

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟蹤訓練1(1)(2021?全國乙卷)在正方體ABCO-AiSG。中，P為8。的中點，則直線PB

與AG所成的角為()

，兀c兀一兀c兀

A，2B.§C.JD.g

答案D

解析方法一如圖，連接GP,因為ABCO—48iG。是正方體，且P為SA的中點，所

以GP_LB|Oi,又GP_LB31,所以GP_L平面8]P.又8PU平面S8P,所以GP_L8P.連接

BCi,則AD\〃BC\,所以NP6G為直線PB與所成的角.設正方體ABCD-A\B\C\D\

的棱長為2,則在RlZ^GPB中，CF=/iD產(chǎn)地,BCi=2小,sinNPBG=痣==

所以/尸

方法二

如圖所示，連接5G,A],4P,PCi,則易知AG〃BG,所以直線PB與A。所成的角等

于直線尸8與8G所成的角.根據(jù)P為正方形ABiGOi的對角線Bi。：的中點，易知4,P,

G三點共線，且P為4G的中點.易知4B=BG=4G,所以△4BG為等邊三角形，所

以乙4此]=冬又P為4G的中點，所以可得NPBG=￡NAI8G弋.

(2)如圖，已知圓柱的軸截面A884是正方形，C是圓柱下底面弧43的中點，G是圓柱上底

面弧4所的中點，那么異面直線AG與BC所成角的正切值為.

答案冊

解析如圖，取圓柱下底面瓠AB的另一中點O,連接GO,AD,

因為C是圓柱下底面瓠48的中點，

所以4O〃BC,

所以直線4G與AD所成的角等于異面直線AG與BC所成的角.

因為G是圓柱上底面弧43]的中點，

所以GDJ_圓柱下底面，所以GfLLAD

因為圓柱的軸截面ABB\A\是正方形，

所以CiD=y[2AD,

所以直線AG與A。所成角的正切值為啦，

所以異面直線AG與8c所成角的正切值為也.

題型二直線與平面所成的角

例2如圖，在長方體A8CO—A向中，E,尸分別為BC,CG的中點，AB=AO=2,

AA\=3.

(1)證明:E尸〃平面4ADD；

⑵求直線AC,與平面MADDx所成角的正弦值.

⑴證明如圖，連接BG,AOi,由E,尸分別為8CCG的中點，可得E尸〃BG,

在長方體ABC。-4囪GO］中，

AB//C\D\tAB=CQ,

因此四邊形ABG。為平行四邊形，

所以BCiZ/AD^

所以￡7*4。1,

又￡7過平面AAODi,ADC平面小A。。，

所以E尸〃平面AiA。。］.

(2)解在長方體468—481Go中，

因為。1。|_1_平面44。。1,

所以AG在平面4Ao。中的射影為ADi,

所以NGAQ|(或其補角)為直線ACi與平面AiADDi所成的角，

由題意知AG=啦4再孕=行,

在RtZXADiG中，sinRGAG=17，

即直線AG與平面44。。所成角的正弦值為a伊.

【教師備選】

如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CO為正方形，PD=BC=1,二面角P-CO-A為直

二面角.

(1)若E為線段尸。的中點，求證：DELPB；

(2)若PC=，5,求PC與平面以8所成角的正弦值.

(1)證明???PD=DC=1,且E為PC的中點，

：.DEA.PC.

又.??二面角P-CD-A為直二面角，

???平面PCO_L平面ABCD,

VBC1CD,平面PCZ)n平面ABCD=CD,

???8CJ■平面PCD,

：.BCVDE.

：BCu平面PBC,PCu平面PBC,BCHPC=Ct

，OEJ_平面PBC,

又???P8u平面PBC,

:?DESB.

⑵解若PC=小,

由余弦定理可求得NPOC=120。，

過點尸作尸”_LCO的延長線于，，如圖，

可得尸平面ABCD,

在R3HD中，

PH=PD$in60。=苧，

過”點作，G〃D4,且”G與B4的延長線交于G點.

可得"G_LA8,從而PGJLAB.

在RtAPHG中,PG=NP序+”G2=亭,

:.VP-ABC=|SAABCP//=|X|X^=^,

設點C到平面以8的距離為從

則三棱錐。一心8的體積

V=|sAABr/i=|><2X當%=*，

解得人=畜，設與平面％8所成的角為仇

.Ah亞

sin夕=定=亍，

即PC與平面以8所成角的正弦值為坐.

思維升華求線面角的三個步驟

一作（找）角，二證明，三計算，其中作（找）角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作

垂線，找垂足.然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.

跟蹤訓練2（1）如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，。為4C的中點.若A8=8C=38,NABC

=會則CG與平面BGD所成角的正弦值為.

答案坐

解析過點。作C”J_G。于點兒如圖，

???三棱柱ABC—4SG為直三棱欄，

???CG_L平面A3C.

平面ABC,

：.CCs±BD.

???A3=BC,。為AC的中點，

???BO_L4C,

XCCiC\AC=C,CCi,ACU平面ACG,

.??8￡)_L平面ACG,

???CHU平面ACG,

：.BDVCH.

又CHA_C\D,CiDRBD=D,G",8DU平面BCQ,

，CaJ_平面BCiD,

:.ZCGD為CC與平面BGD所成的角，

設AB=2a,

則CD=W，CiD=?a,

??CDga小

?,sin/CGO-a。一曬-3.

?貴溪市實臉中學模擬)如圖，在長方體向中,

(2)(2022A8CD-ACDAB=AD=ltAAi=2,

點P為。G的中點.

①求證：直線8。1〃平面附C；

②求直線BDy與平面ABCD所成角的正切值.

①證明如圖，設AC和50交于點0,則。為3。的中點，

連接P0,又丁尸是。。1的中點，故尸?！?3”

又???P0u平面力C,BON平面B4C,

???直線35〃平面附C.

②解在長方體A8CD-ABiGd中，

「DO」平面A8CD,

???/。8。是直線BDi與平面4BCD所成的角，

11

?.?￡)￡>1=2,BD=^AB-\-AI)=^21

2

lox\X.D\BD=—^2,

???直線BDi與平面ABCD所成角的正切值為啦.

題型三二面角

例3(2022.上海市延安中學模擬)如圖，在多面體A6CDE/中，四邊形ABCO是邊長為2的

菱形，NBAZ)=60。，四邊形尸是正方形，平面BDE凡L平面ABCD.

(1)證明：平面ACE_L平面8DEB

(2)若點M是線段8b上的一點，且滿足OM_L平面ACE,求二面角4一。加一3的正切值.

⑴證明???四邊形ABCD是菱形，

???AC_LB。，

由四邊形8DE尸是正方形有DELBD,

又平面BOEHL平面ABCD,平面BDEFC平面ABCD=BD,QEU平面BDEF,

平面ABCD,

又ACU平面ABCD,

：.DE±ACt

又BDCDE=D,且8。，DEU平面BDEF,

???AC_L平面B。"，由ACU平面ACE,

J平面ACE_L平面BDEF.

⑵解設。是AC,5。的交點，連接?！杲?。M于G,連接AG,如圖.

由。M_L平面ACE,AG,OEU平面ACE,

???AG_LOM,OELDM,

:.NAGO是二面角4一?！耙?的平面角，

由射影定理知，ON=OGOE,0D=\yDE=2,

則0E=小，0G=乎.

,tanNAGO=,

J二面角A—OM—B的正切值為、「冷.

【教師備選】

如圖，在正方體ABCO-AibGd中，點E在線段CG上，CE=2EDi，點戶為線段48上的

動點，AFGFB,且E/〃平面ADD4.

⑴求2的值；

(2)求二面角E—OF—C的余弦值.

解(1)過E作EG_L。。于G,連接G4,如圖.

則EG〃CO,而CO〃必，所以EG〃以.

因為EF〃平面AOOiAi,EFu平面￡7%G,

平面EGAFA平面AOO|4=G4,所以所〃G4,

所以四邊形EGA尸是平行四邊形，所以GE=AF.

因為CE=2E。，

保D\E1

所以反一萬下一子

4F1Ap11

所以第=點即器=點所以4+

(2)過E作E”_LCO于”，過“作"M_L。尸于M,連接EM,如圖.

因為平面CZ)DiG_L平面ABC。，EHVCD,

所以EH_L平面ABCD.

因為。尸u平面ABCD,所以EHVDF.

又“M_L￡＞尸，HMREH=H,

HM,EHu平面EMH,

所以。凡L平面EMH.

因為EMu平面EMH,所以DFYEM.

所以是二面角E一。/一C的平面角.

設正方體的棱長為3a,則EH=2a

在RtZ\O〃/中，DH=a,HF=3a,DF=?a,

DHHF_a義3a_3

所以HM=DF_@禮_機產(chǎn)

在中，求得EM=NEH?+府=京。,

所以cos4EMH=喘/

所以二面角七一。尸一。的余弦值為方.

思維升華作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平

面的垂線，再過垂足作二面角的枝的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可

得二面角的平面角.

跟蹤訓練3如圖，在四棱錐P-A5CO中，四邊形ABCO是邊長為2的正方形，4PBC為

正三角形，M,N分別為PZ),BC的中點，PN1AB.

(1)求三棱錐P—AMN的體積；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(1)?；PB=PC,

???PN_LBC,

義,：PNLAB,ABQBC=Bt

AB,BCu平面ABC。，

???PN_L平面ABC。，

?:AB=BC=PB=PC=2,

?"N=小，

=

M為PD的中點，Vp-AMNVD-AMN=VM-ADN>

**?Vp-AMN=^Vp-ADN=^Vp-ABCD=^^4X小=坐

(2)如圖，取ON的中點E,連接ME,

?:M,七分別為P。，ON的中點，

:?ME〃PN,

???PN_L平面48c。，

，ME_L平面ABC。，

過E作EQ_LAN,連接MQ,

又ME_LAN,EQC}ME=E,E。，MEu平面M￡Q,

，AN_L平面MEQ,

???ANJ_MQ,

NMQE即為二面角M—AN—。的平面角，

ME

,,tanZMQE=~Q^,

???PN=小，

?A加-亞

??ME—29

■；AN=DN=幣,AD=2t

.CF2小

??QU59

；?tanNMQE=^^.

即該二面角的正切值為45

課時精練

1.（2020?新高考全國I）日展是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直的唇針投射到

卷面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為0）,地球上一點A的緯度是指OA與

地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置

一個日唇，若禪面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40。，則唇針與點A處的水平

面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案B

解析如圖所示，。0為赤道平面，為A點處的日署面所在的平面，

由點A處的緯度為北緯40?？芍狽040i=40。，

又點4處的水平面與。4垂直，懸針AC與。Oi所在的面垂直，

則馨針4C與水平面所成角為40°.

2.如圖，以，圓。所在平面，A8是圓。的直徑，C是圓周上一點，其中AC=3,雨=4,BC

=5,則P5與平面布C所成角的正弦值為（）

A乎

答案A

解析根據(jù)題意，A5是圓0的直徑，C是圓周上一點，則3C_LAC,

又由附_L圓。所在平面，則附J_BC,

因為%nAC=A,朋，ACU平面以C,

則5C_L平面以C,故NBPC是P8與平面心。所成的角，在AACB中，4C=3,BC=5,AC_LBC,

則AB=y/Ad+BC2=用,

在△%8中，48=取，B4=4,

則P8=N陰2+4#=5啦,

在RtZ\PC8中，8c=5,PB=56

則sinNBPC=^=乎.

3.（2022?哈爾濱模擬）已知在直三棱柱4BC—4由?中，NABC=12（r,AB=2,BC=CCi=

1,則異面直線ABi與BG所成角的余弦值為（）

迎

,5

答案C

解析如圖所示，補成直四棱柱4BCQ-4由Cid,

則所求角為N8G。，

■:BC\=3,BD=^22+1-2X2X1Xcos60°=^3,GD=ABT=&易得0。2=83+8。彳,

即BGLBD,

BCi_^/2_Vl0

因此cos/BGO=殺=布=5-

4.在正四面體P—A8C中，點M是棱8c上的動點（包含端點），記異面直線PM與AB所成

的角為a,直線PM與平面ABC所成的角為￡,貝lj（）

A.a>pB.a<p

C.a*D.a&0

答案C

解析根據(jù)題意，如圖，作PO_L底面ABC,連接OM,

則NPMO是直線PM與平面ABC所成的角，

即NPMO=A

過點M作/平行于A8,過點P作PN_U,與/交于點N,NPMN是直線PM與A8所成的角,

即NPMN=a,在RtZXPOM和RtzXPMN中，有PN2P0,則sina2sin6，則。2及

在長方體中，則二面角一一。為（）

5.ABCQ—4BiGDi4B=2,AD=AA\=\fC144

，兀「2冗

A-3BT

C岑D.f

答案D

解析由圖可知GBJLA8,CB1AB,

所以NG8C是二面角G—A8—C的平面角，

tanZCiBC=^F=l,所以NG8C=9.

￡>C4

6.在正方體A8CO—A61Goi中，下列說法不正確的是()

A.AiCilBD

B.AyCLBD

C.8c與3。所成的角為60。

D.AG與平面48co所成的角為45。

答案D

解析對于A,如圖，

由正方體性質(zhì)可知

B\D\_LA|C|,

又因為

且

BB\=DD\y

所以四邊形8用GO為平行四邊形，

所以B\D\〃BD,

所以4iG_L8Q,故選項A正確；

對于B,如圖，

由正方體ABCO—ABiGG可得CG_L平面ABCD,

B￡)u平面A8CZ),

所以CCi±BD,

由選項A可知4GJ_BD,又4GCICG=G,

AiCi,CGu平面4CC,

所以3Q_L平面4GC,因為4CU平面4CC,

所以BO_LAiC,故選項B正確；

對于C,如圖，

由選項A可知

所以為直線3c與直線8。所成的角,

由正方體性質(zhì)可知△BCG為正三角形,

所以NC8iG=60。，故選項C正確;

對于D,如圖,

由CG~L平面A8CQ,

所以NGAC為直線AG與平面ABCD所成的角,

在正方體ABCO—48iGU中，AC=y[2CCi,

tanZCACi=^7=^,

所以NCA0W45。,

故選項D錯誤.

4

7.在正四棱錐P-ABCO中，底面邊長為2,四棱錐的體積為小則二面角P—AB—C的大小

為.

答案45°

解析如圖，連接AC,BD交于點E,

依題意，PE_L平面ABCD,

取48的中點尸，連接PE,FP,易知AB±PF,

則NPFE為二面角尸一48一。的平面角,

I4

又VP-ABCD=^2X2XPE=y

故PE=1,；?PE=EF=1,

???△PE尸為等腰直角三角形，

:.ZPFE=45°.

8.在三棱錐S-A8C中，ZXABC是邊長為2的正三角形，SAJ_平面/48C,且SA=2,則AB

與平面SBC所成角的正弦值為.

拄口案術7

解析如圖，取8C的中點O,連接AO,SD,過A作40_LS。，交SD于點0,連接。3,

???在三棱錐S—A8C中，△ABC是邊長為2的正三角形，

SA_L平面ABC,且SA=2,

：.AD±BC,SDIBC,SALAD,

???Aonso=。，ADtSOu平面SA。，

???BC_L平面SADt

???8C_LA。，

4￡>=、4_]=小,S￡>=、4+4—l=幣,

*：^XSAXAD=^XSDXAO,

?"。=普=率，

\77

???AOJ_S￡),SDC\BC=D,SD,8Cu平面SBC,

，AOJ_平面SBC,

???NABO是AB與平面SBC所成的角，

：.AB與平面SBC所成角的正弦值為

2匹

…八_也__Z__直

sinABOAB27?

9.如圖，已知在三棱錐A—88中，平面A3。_L平面ABC,ABLAD,8C_LAC,30=3,AD

=1,AC=BC,M為線段AB的中點.

(1)求證：BC_L平面4c。；

(2)求異面直線MD與8c所成角的余弦值；

(3)求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.

⑴證明???平面ABD_L平面ABC,平面ABOCI平面ABC=AB,AO_LA8,AOu平面ABO,

???AO_L平面ABC,???AO_LBC,

又AC_L3C,AODAC=A,AD,4Cu平面ACO,

.?.8C_L平面ACD

⑵解如圖，取AC的中點N,連接MN,DN,

???M是A8的中點,

:.MN//BC,

:.NMW。(或其補角)為異面直線MO與BC所成的角，

由(1)知BC_L平面ACO,

???MN_L平面ACO,MNLND,

"：BD=3,AQ=1,ABLAD,

?"B=2加,

又???AC=BC,AC_LBC,：.AC=BC=2t

在RtAMND中，MN=/c=1,

MD=ylAD2+AM2=y{3,

MNS

???cos/NMO=^=早

即異面直線MO與8c所成角的余弦值為唱.

⑶解由(2)知NA/ON為直線與平面ACO所成的角，

在RlAMND中，ND=7MA-Ml^=?

??cos/MON-MO-小-3'

即直線MD與平面ACD所成角的余弦值為孝.

10.如圖，在三棱錐A-6CO中，AABD為等邊三角形,BC=BD,平面4BO_L平面BCD且

BA1BC.

⑴求證:BCLAD；

(2)求二面角A-CD-B的正切值.

⑴證明如圖，取8。的中點反連接人七，

則AE_L3O,因為平面AB。_L平面BCD,平面ABOA平面88=5。，AE<=平面4BZ),

則AE_L平面BCD,

所以4E_LBC,

又因為

AB_L8C,ABQAE=Ai

AB,AEU平面AB。，

則BC_L平面A4Q,因為AOU平面A5O,

則BCLAD.

⑵解如圖，過點E作E/LLCO交CO于點尸，連接A凡

由(1)知4E_LCO,AEQEF=E,4E,EA平面

所以CO_L平面AEF,

因為4尸u平面AEF,

則CD_L”，

所以NA在為二面角A-CO-B的平面角.

因為△ABD為等邊三角形，設BO=2,

5

則AE=W，EF=2^

則1211/4正芯=而=罡=加.

2

所以二面角A-CD-B的正切值為求.

11.在長方體A8CO—48Ci。］中，底面ABCO是正方形，異面直線A8與4。所成角的大

小為志則該長方體的側面積與表面積的比值是()

4一6

B.4

8—2節(jié)4.6

C.7D.§

答案C

解析如圖，連接囪C,

因為

所以NB4C是異面直線AB與4c所成的角，

即N8[AiC=$

設4B=x,AA]=yt

在△48C中，Bid=f+V，4。2=*+產(chǎn),

x2+Zt2+y2-(x2+y2)1

則cosZB|AiC=

2￥、*+），2T

整理得丁=曲,

從而該長方體的側面積S=4町，=4叱,

該長方體的表面積

S2=4x），+2^=（4啦+2*,

」,Si4應v28-2小

政法=（4媳+2）/=7-

12.某幾何體的三視圖如圖所示，記底面的中心為E,則PE與底面所成的角為（）

A匹71

A.?B-4

答案A

解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，

ZPEA為PE與底面所成的角.

???勿=佩AE=巾,

tanZPEA=緇=小,

???NPEA=$

13.已知正四面體A-8C。的棱長為2,點￡是A。的中點，點尸在線段BC上，則下面四

個命題中：

?3FGSC,EF//AC；

②PFGBC,EFW小;

③m尸WBC,E/與AO不垂直；

④V/EbC,直線EF與平面8CQ夾角正弦的最大值為坐.

所有不正確的命題序號為.

答案①③

解析如圖，

對▼尸￡8C,EF與4c異面或相交，故①錯誤；

當點尸為BC的中點時，￡尸為異面直線AO和BC的公垂線段，此時EV取得最小值，當F

與B,C重合時，E尸取得最大值巾，故②正確；

因為AD±C￡,BECCE=E,所以AO_L平面BEC,故ADLEF,故③錯誤；

因為上到平面8CO的距離為定值乩設直線Er與平面BCO的夾角為仇則sin?=g,當F

為BC的中點時，易知七尸為異面直線A。和BC的公垂線段，此時所取得最小值，sin0=4^

Lr

有最大值，此時。尸=小，OE=1,故EF=?3-1=巾,在RlZXEFD中，EFDE=DFd,解

得〃=幸，所以sinO=S=半，故④正確.

JtLr3

14.如圖，在矩形A8CO中，AB=2,BC=1,E是CO的中點，將△AOE沿AE折起，使折

起后平面AOE_L平面A8CE,則異面直線4E和CD所成角的余弦值為.