蘇科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊1.18 構(gòu)造三角形全等方法-作公共邊、公共角、垂直（專項練習(xí)）（含答案）

專題1.18構(gòu)造三角形全等方法——作公共邊、公共角、垂直（專項練習(xí)）1．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是邊CD上一點，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．求證：（1）AE⊥BE；（2）E是線段CD的中點．2．如圖，∠B=∠C=90°，M是BC上一點，且∠AMD=90°，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB3．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，，，，、分別是、的中點，求證：．4．（22-23八年級上·湖北十堰·階段練習(xí)）已知：如圖，，，

（1）在圖①中，求證：，；（2）在圖②中，點是中點，點是中點，試探究與的關(guān)系，并證明．5．（23-24八年級上·山西大同·期中）如圖，在等腰中，，，直線經(jīng)過點C，且點A，B在直線的同側(cè)，過點A作于D．

（1）求證：；（2）點E在的延長線上，將線段繞點C逆時旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交直線于H．①依題意補全圖形；②由作圖過程猜想線段與的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）．6．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，交于，交于平分平分，直線經(jīng)過點并與分別交于點．

（1）如圖①，求證：；（2）如圖②，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，直接寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系．7．（17-18八年級上·湖北襄陽·期中）在中，，，點D為上一動點．

（1）如圖1，點E、點F均是射線BD上的點并且滿足，．求證：；（2）在（1）的條件下，求證：；（3）由（1）我們知道，如圖2，當(dāng)點D的位置發(fā)生變化時，過點C作于F，連接AF．那么的度數(shù)是否發(fā)生變化？請證明你的結(jié)論．8．（23-24八年級上·河南駐馬店·期中）學(xué)習(xí)了全等三角形的判定方法后，我們知道“已知兩邊和一角分別相等的兩個三角形不一定全等”，但下列兩種情形還是成立的．

（1）第一種情形（如圖）在和中，，，，則根據(jù)______，得出，并寫出推理過程；（2）第二種情形（如圖）在和中，（和均為鈍角），，，求證：．（提示：分別過點A、點D添加一條輔助線，構(gòu)造全等）9．（23-24八年級上·江蘇南京·期中）如圖，點、、在一條直線上，，，求證：.小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：，，

第一步又，，≌，

第二步．

第三步（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第一步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程.10．（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，在中，，、是的角平分線，與相交于點F，交的延長線于G，交于H．

（1）求證：；（2）求證：；（3）若則．11．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：中，，，點為內(nèi)一點，連接，，，過點作，交的延長線于點．1）如圖，求證：；（2）如圖，點為的中點，分別連接，，求的度數(shù)．12．在中，，，點D在的延長線上，M是的中點，E是射線CA上一動點，且，連接，作，交延長線于點F．（1）如圖1，當(dāng)點E在上時，填空：________（填“”、“”或“”）．（2）如圖2，當(dāng)點E在的延長線上時，請根據(jù)題意將圖形補全，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．13．（23-24八年級上·河南許昌·期末）【教材呈現(xiàn)】活動2

用全等三角形研究：“箏形”如圖2，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．請你自己畫一個箏形，用測量、折紙等方法猜想箏形的角、對角線有什么性質(zhì)、然后用全等三角形的知識證明你的猜想．請結(jié)合教材內(nèi)容，解決下面問題：【概念理解】（1）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C是網(wǎng)格線交點，請在網(wǎng)格中畫出箏形．【性質(zhì)探究】（2）小文得到箏形角的性質(zhì)是“箏形有一組對角相等”，請你幫他將證明過程補充完整．已知：如圖2，在箏形中，，．求證：．證明：（3）如圖3，連結(jié)箏形的對角線，交于點O．請用文字語言寫出箏形對角線的一條性質(zhì)，并給出證明．【拓展應(yīng)用】（4）如圖4，在中，，，點D、E分別是邊，上的動點，當(dāng)四邊形為箏形時，請直接與出的度數(shù)．14．（22-23八年級上·廣西南寧·期末）綜合與實踐：【問題情境】在綜合與實踐課上，老師對各學(xué)習(xí)小組出示了一個問題：如圖1，，，，垂足分別為點．請證明：．【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，，，點是上一動點，連接，作且，連接交于點．若，請證明：點為的中點．【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問題：如圖3，，，點是射線上一動點，連接，作且，連接交射線于點．若，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．15．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法之后，我們知道：“有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等”，讓我們結(jié)合圖形，對此進(jìn)行探究：（1）如圖1，在和中，，，，若為直角，則根據(jù)______，可以判定；（2）如圖2，在和中，，，，若為鈍角，試判斷和是否全等，若全等，請說明理由；（3）在和中，，，，為銳角，則和不一定全等，請用尺規(guī)作圖在圖3中作出，使和不全等（不寫作法，保留作圖痕跡）.16．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈現(xiàn)】以下是某數(shù)學(xué)教材某頁的部分內(nèi)容（請?zhí)顚憴M線中的依據(jù)）：例4、如圖，在中，D是邊的中點，過點C畫直線，使，交的延長線于點E，求證：．

證明：∵（已知），∴，．∵D為邊中點，∴．在與中，∵，∴（）∴（）

（2）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是．（3）【猜想證明】如圖②，在四邊形中，，點E是的中點，若是的平分線，試猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

17．（22-23七年級下·廣東深圳·期末）【材料閱讀】小明在學(xué)習(xí)完全等三角形后，為了進(jìn)一步探究，他嘗試用三種不同方式擺放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相應(yīng)的問題．【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將兩個三角板互不重疊地擺放在一起，當(dāng)頂點擺放在線段上時，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，①請在圖1找出一對全等三角形，在橫線上填出推理所得結(jié)論；，，∵，，，，，，∵，__________；②，，則__________；【類比】（2）如圖2，將兩個三角板疊放在一起，當(dāng)頂點B在線段上且頂點A在線段上時，過點作，垂足為點P，猜想，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展】（3）如圖3，將兩個三角板疊放在一起，當(dāng)頂點A在線段上且頂點B在線段上時，若，，連接CE，則的面積為__________．18．（22-23八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖在中，為銳角，點D在射線上，以為一邊在右側(cè)作正方形．

（1）如果，，①當(dāng)點D在線段（不含端點）上時，如圖1，則線段與的位置關(guān)系是_____②當(dāng)點D在線段的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．如果，是銳角，點D在線段（不含端點）上，如圖3．當(dāng)滿足什么條件時，？并說明理由．參考答案：1．（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，可得出，即可得結(jié)論；（2）延長，交于，繼而證明，得出后，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1），，又、分別平分、，，，（2）如圖，延長，交于，，，，，，且，，，∴E是線段CD的中點．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．2．見解析【分析】延長AM、DC交于點E，利用ASA即可證出△ADM≌△EDM，從而得出∠DAM=∠E，然后根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)可證∠E=∠BAM，從而得出∠DAM=∠BAM，即可證出結(jié)論．【詳解】解：延長AM、DC交于點E∵∠AMD=90°∴∠EMD=180°－∠AMD=90°=∠AMD∵DM平分∠ADC，∴∠ADM=∠EDM∴在△ADM和△EDM中∴△ADM≌△EDM∴∠DAM=∠E∵∠B=∠C=90°∴∠B＋∠C=180°∴DC∥AB∴∠E=∠BAM∴∠DAM=∠BAM∴AM平分∠DAB．【點撥】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．見解析【分析】連接，由，，，證明，得到，根據(jù)、分別是、的中點，再證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：連接，，在和中，點、分別是、的中點，∴在和中，，．【點撥】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等判定定理是解題的關(guān)鍵．4．(1)見解析(2)，，證明見解析【分析】（1）延長，與交于E，證明，得到，，利用三角形內(nèi)角和定理，等量代換可得，即，即可證明；（2）證明，得到，，根據(jù)中點的定義得出，證明，得到，，進(jìn)一步證明，即，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，延長，與交于E，

∵，即，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2），，理由是：∵，，，∴，在和中，，∴，∴，，∵點是中點，點是中點，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）求出，，根據(jù)同角的余角相等得出結(jié)論；（2）①作，且，連接交于H，即可補全圖形；②過點B作于S，在上截取，連接，先證，可得，再證，可得，，最后再證即可．【詳解】（1）證明：∵是平角，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①補全圖形如圖所示：

②；證明：過點B作于S，在上截取，連接，

∵，，∴，由（1）知，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點撥】本題考查了同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析；(2)（1）中結(jié)論不成立，；【分析】（1）在上截取，連，根據(jù)題意證明，得到，，再由證明，由平角定義得到，則有，再證明，得到，則；（2）延長交于點H，根據(jù)題意證明，得到，，再由平分，證明，得到，則．【詳解】（1）證明：如圖，在上截取，連，

∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵∴，即，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴．（2）（1）中的結(jié)論不成立，；理由：延長交于點H，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及全等三角形的性質(zhì)和判定，解答過程中，根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)，不變化，理由見解析【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．（1）根據(jù)，得出，即可根據(jù)證明；（2）易得，根據(jù)，得出，則，進(jìn)而得出，則，即可求證；（3）過點A作的垂線交于點E，易得，，即可得出，通過求證得出，則是等腰直角三角形，即可求出．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，∴；（2）解：∵，∴，由（1）得，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：，不變化，理由如下：

過點A作的垂線交于點E∵∴∴同理∵∴同（1）理得在和中，∴∴∴是等腰直角三角形∴．8．(1)（斜邊直角邊），理由見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定．（1）“”定理只能用來證明兩個直角三角形全等；（2）通過證明可得到中的一組直角邊相等，再證明，推出，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：（斜邊直角邊），推理過程如下：，和都是直角三角形，在和中，，；（2）證明：如圖，過A作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，

，在和中，，，．在和中，，，．在和中，，．9．(1)二(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形全等的判定定理求解即可；（2）過點分別作交的延長線于點，交的延長線于點，利用證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，利用證明≌，從而得出．【詳解】（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，故答案為：二；（2）證明：如圖：過點分別作交的延長線于點，交的延長線于點，，，，，，，，在和中，，≌，，，，在和中，，≌，．10．(1)見詳解(2)見詳解(3)3【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行列式，即可作答；（2）先根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余及角平分線的定義證，進(jìn)而得，再證，據(jù)此可依據(jù)“”判定和全等，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論：；（3）延長交與T，先證和全等得，再證和全等得，據(jù)此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，即；（2）證明：∵，∴，∵、是的角平分線，∴，，∴，∴，∵，則，∴，∴，在和中，，∴，∴．（3）解：延長交與T，如圖：

是的角平分線，∴，∴，則，在和中，，∴，∴，由（2）可知：，∴，，∴，∵是的角平分線，∴，在和中，∴，∴，∴．∵∴即∵∴【點撥】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的兩個銳角互余，全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．11．(1)證明見解析；(2)．【分析】（）根據(jù)全等三角形的判定得出，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出即可；（）根據(jù)全等三角形的判定得出，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴，∴，在與中，∴，∴；（2）如圖，連接，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，在與中，∴，∴，，∴即，∴．12．(1)，詳見解析；(2)，詳見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識；（1）連接，先證，得，再證，得，即可得出結(jié)論；（2）連接，先證，得，再證，得，即可得出結(jié)論．證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1），理由如下：連接，如圖1所示：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）根據(jù)題意將圖形補全，如圖2所示：與的數(shù)量關(guān)系：，證明如下：連接，∵，點D在的延長線上，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵M(jìn)是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴．13．【教材呈現(xiàn)】，垂直平分，平分和，證明見解析〖概念理解〗（1）見解析〖性質(zhì)探究〗（2）見解析（3）有一條對角線平分一組對角(答案不唯一)，證明見解析〖拓展應(yīng)用〗（4）或【分析】〖教材呈現(xiàn)〗利用證明，即可得出結(jié)論；（1）取格點B的關(guān)于對稱格點D，連接、即可；（2）連接，利用證明，即可得出結(jié)論；（3）利用證明，即可得出結(jié)論；（4）分兩種情況：①當(dāng)箏形中，時，②當(dāng)箏形中，時，分別求解即可．【詳解】解：〖教材呈現(xiàn)〗如圖，猜想箏形的角、對角線有的性質(zhì)：，垂直平分，平分和，證明：∵，，，∴，∴，，，即平分和，∴垂直平分．〖概念理解〗（1）如圖1，四邊形即為所求；〖性質(zhì)探究〗（2）如圖2，連接，在與中，，∴，∴；（3）有一條對角線平分一組對角(答案不唯一)，證明∶在與中，，∴，∴，，即平分、．〖拓展應(yīng)用〗（4）分兩種情況：①當(dāng)箏形中，時，如圖4-1，∴；②當(dāng)箏形中，時，如圖4-2，∵∴∴綜上，當(dāng)四邊形為箏形時，的度數(shù)為或．【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，網(wǎng)格作圖，三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．14．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】本題考查了全等三角形的綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用證得，即可求證結(jié)論；（2）過作于，由（1）得，進(jìn)而可得，再利用可證，則可證，根據(jù)數(shù)量關(guān)系可得，，進(jìn)而可求證結(jié)論；（3）過點作于，由（2）得，，，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求解；【詳解】解：（1）證明：，，，，，在和中，，，；（2）證明：過作于，如圖：由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，，，，是的中點；（3），理由如下：過點作于，如圖：由（2）得：，，，，，，，，，．15．(1)(2)和全等；理由見解析(3)見解析【分析】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠熟練運用全等三角形判定的原理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)判斷全等即可；（2）過點B作交的延長線于G，過點E作交的延長線于H，利用角角邊判定即可；（3）通過邊邊角畫出反例即可．【詳解】（1）解：在和中，，，，若為直角，則根據(jù)，可以判定；（2）證明：如圖，過點B作交的延長線于G，過點E作交的延長線于H，∵，且都是鈍角，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴；（3）解：如圖，在和中，，和不全等；16．（1），全等三角形的對應(yīng)邊相等；（2）；（3），證明見解析【分析】本題是“倍長中線”模型綜合應(yīng)用，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識點；（1）根據(jù)前后邏輯關(guān)系填空即可；（2）延長到，使，連接，證，推出，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出，代入求出即可．（3）結(jié)論：．延長，交于點，證明，推出，再證明即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵（已知），∴，．∵D為邊中點，∴．在與中，∵，∴∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）;故答案為：，全