空間向量及其線性運(yùn)算課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)

新知引入1

這是一個(gè)做滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場景.可以想象,在滑翔過程中,飛行員會(huì)受到來自不同方向、大小各異的力.新知引入1思考:類比平面向量，你認(rèn)為本章我們需要研究空間向量哪些內(nèi)容?概念——運(yùn)算——基本定理——坐標(biāo)表示——應(yīng)用1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算新知探究2新知引入1教學(xué)目標(biāo):（1）經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程，了解空間向量的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；（2）掌握空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其表示；（3）掌握空間向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算律；（4）借助向量的線性運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn):空間向量的概念和線性運(yùn)算及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn):空間向量的線性運(yùn)算及其應(yīng)用新知探究2問題1平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？平面向量的概念空間向量的概念

平面內(nèi),既有大小又有方向的量,稱為平面向量,平面向量的大小叫做向量的長度或模,記作或|a|.空間中,既有大小又有方向的量,稱為空間向量,空間向量的大小叫做向量的長度或模,記作或|a|.一、空間向量的有關(guān)概念新知探究2問題2如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段(1)有向線段A(起點(diǎn))B(終點(diǎn))a(2)字母a,b,c,…(3)坐標(biāo)表示:a＝(x，y)(2)字母a,b,c,…(3)坐標(biāo)表示:a＝(x，y，z)一、空間向量的有關(guān)概念新知探究2問題3在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)，我們還學(xué)習(xí)了一些新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？平面向量的相關(guān)概念

零向量:單位向量:相等向量:相反向量:模為0的向量,記作0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個(gè)向量,記作a＝b；模相同,方向相反的兩個(gè)向量,記作a＝－b；空間向量的相關(guān)概念一、空間向量的有關(guān)概念新知探究2問題3在學(xué)習(xí)平面向量時(shí)，我們還學(xué)習(xí)了一些新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？平面向量的相關(guān)概念

空間向量的相關(guān)概念共線向量:方向相同或相反的兩個(gè)非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定,零向量和任意向量共線.共線向量:若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定,零向量和任意向量共線.一、空間向量的有關(guān)概念新知探究2

√√√××××一、空間向量的有關(guān)概念新知探究2ab.Oα

轉(zhuǎn)化平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算空間向量是自由的,所以對(duì)于空間中的任意兩個(gè)非零向量我們都可以通過平移使他們的起點(diǎn)重合.因?yàn)閮蓷l相交直線確定一個(gè)平面,所以起點(diǎn)重合的兩個(gè)不共線向量可以確定一個(gè)平面,也就是說任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi),成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.這樣任意兩個(gè)空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算,由此我們把平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間,定義空間向量的加法,減法以及數(shù)乘運(yùn)算.問題4空間向量的線性運(yùn)算如何進(jìn)行？二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律新知探究2(1)加減運(yùn)算三角形法則:

首尾相連平行四邊形法則: 共起點(diǎn)減法法則: 共起點(diǎn)， 連終點(diǎn)， 指被減問題4空間向量的線性運(yùn)算如何進(jìn)行？二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律新知探究2問題4空間向量的線性運(yùn)算有哪些？(1)加減運(yùn)算(2)數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與平面向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下:①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②若λ>0,λa與a的方向相同；若λ<0,λa與a的方向相反；若λ＝0,λa＝0.二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律新知探究2問題5空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律有哪些？平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算

①交換律:a+b＝b+a；②結(jié)合律:a+(b+c)＝(a+b)+c，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律:(λ+μ)a＝λa+μa，λ(a+b)＝λa+λb.由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量,任意兩個(gè)空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算.二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律新知探究2問題5空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律有哪些？平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算

①交換律:a+b＝b+a；②結(jié)合律:a+(b+c)＝(a+b)+c，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律:(λ+μ)a＝λa+μa，λ(a+b)＝λa+λb.你能證明這些運(yùn)算律嗎？證明結(jié)合律時(shí)，與證明平面向量的結(jié)合律有什么不同？二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律新知探究2

想一想：如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，分別標(biāo)出

,

表示的向量.從中你能體會(huì)向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn)，.一般地，對(duì)于三個(gè)不共面的向量

，

，

，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，

，

，

，為鄰邊作平行六面體，則

，

，

的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體對(duì)角線所表示的向量.二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律新知探究2二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律新知探究22.(多選)如圖，在正方體ABCD

－A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為

的是()二、空間向量的線性運(yùn)算和運(yùn)算律3.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)_x001A_??????_x001B_＝a，_x001A_????_x001B_＝b，_x001A_????_x001B_＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量:(1)_x001A_????_x001B_；(2)_x001A_??????_x001B_；(3)_x001A_????_x001B_＋_x001A_??????_x001B_.(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn),所以_x001A_????_x001B_＝_x001A_????_x001B_＋_x001A_????_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_??1??_x001B_＋_x001A_????_x001B_=－_x001A_1_x001B_2_x001B_a＋（a+_x001A_1_x001B_2_x001B_b+c)＝_x001A_1_x001B_2_x001B_a＋_x001A_1_x001B_2_x001B_b＋c,又_x001A_????1_x001B_＝_x001A_????_x001B_＋_x001A_????1_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_????_x001B_＋_x001A_????1_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_????_x001B_＋_x001A_????1_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B_c＋a,所以_x001A_????_x001B_＋_x001A_????1_x001B_＝(_x001A_1_x001B_2_x001B_a＋_x001A_1_x001B_2_x001B_b＋c)＋(_x001A_1_x001B_2_x001B_c＋a)＝_x001A_3_x001B_2_x001B_a＋_x001A_1_x001B_2_x001B_b＋_x001A_3_x001B_2_x001B_c.新知探究2新知探究2思考：對(duì)任意兩個(gè)空間向量

與

，如果

，

與

有什么位置關(guān)系？反過來，

與

有什么位置關(guān)系時(shí)，

？平面向量共線的充要條件

對(duì)任意兩個(gè)平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a＝λb.對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a＝λb.三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用空間向量共線的充要條件新知探究2共線定理:對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.

三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用新知探究2如圖,O是直線l上一點(diǎn),在直線l上取非零向量a,則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P,由數(shù)乘的定義及向量共線的充要條件可知,存在實(shí)數(shù)λ,使得.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定.注意:(1)方向向量一定是非零向量(2)一條直線的所有方向向量都互相平行三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用新知探究2如圖,如果表示向量的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合,那么稱向量平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi),那么稱向量平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用新知探究2問題6任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，任意三個(gè)向量是否共面呢？

abαcp可能共面,也可能不共面.O三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用新知探究2問題6如何判斷三個(gè)向量是否共面？ 若向量a，b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則α內(nèi)任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得:p＝xa+yb.向量a、b、p什么關(guān)系？平面向量基本定理:三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用新知探究2問題6如何判斷三個(gè)向量是否共面？ 若向量a，b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則α內(nèi)任意一個(gè)向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得:p＝xa+yb.平面向量基本定理:空間向量共面的充要條件:兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得:p＝xa+yb.三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用新知探究2共面向量定理推論:OACBP①空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使②P、A、B.C四點(diǎn)共面的充要條件是對(duì)空間任意一點(diǎn)O，三、共線定理、共面定理及其應(yīng)用課堂練習(xí)34.若非零空間向量_x001A_??_x001B_??_x001B_,_x001A_??_x001B_??_x001B_不共線,則使_x001A_2????_x001B_??_x001B_?_x001A_??_x001B_??_x001B_與_x001A_??_x001B_??_x001B_+2(??+1)_x001A_??_x001B_??_x001B_共線的??值為________.課堂練習(xí)3例1如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點(diǎn)O作射線OA,OB,OC,OD,在四條射線上分別取點(diǎn)E,F,G,H,使求證:E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面課堂練習(xí)3證明:·追問：最終的結(jié)果你還有沒有其他的表示方法？能得到什么結(jié)論？課堂練習(xí)35.在下列條件中，使M與A、B.C一定共面的是（）A．_x001A_????_x001B_=2_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_ B．_x001A_????_x001B_=_x001A_1_x001B_5_x001B__x001A_????_x001B_+_x001A_1_x001B_3_x001B__x001A_????_x001B_+_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_????_x001B_C．_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_=_x001A_0_x001B_

D．_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_+_x001A_????_x001B_=_x001A_0_x001B_【解析】空間的四點(diǎn)M、A、B.C四點(diǎn)共面，只需滿足_x001A_????_x001B_=??_x001A_????_x001B_+??_x001A_????_x001B_+??_x001A_????_x001B_，且??+??+??=1即可，對(duì)于A，_x001A_????_x001B_=2_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_?_x001A_????_x001B_中??+??+??=0，故此時(shí)四點(diǎn)M、A、B.C四點(diǎn)不共面；對(duì)于B，_x001A_????_x001B_=_x001A_1_x001B_5_x001B__x001A_????_x001B_+_