第七章 突破4 立體幾何中的翻折問題與探索性問題

第七章立體幾何與空間向量突破4立體幾何中的翻折問題與探索性問題命題點1

翻折問題例1

[全國卷Ⅲ]圖1是由矩形

ADEB

，Rt△

ABC

和菱形

BFGC

組成的一個平面圖形，

其中

AB

＝1，

BE

＝

BF

＝2，∠

FBC

＝60°.將其沿

AB

，

BC

折起使得

BE

與

BF

重

合，連接

DG

，如圖2.圖1

圖2訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4(1)證明：圖2中的

A

，

C

，

G

，

D

四點共面，且平面

ABC

⊥平面

BCGE

.

[解析]由已知得

AD

∥

BE

，

CG

∥

BE

，(位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置關系不變)所以

AD

∥

CG

，故

AD

，

CG

確定一個平面，從而

A

，

C

，

G

，

D

四點共面.由已知得

AB

⊥

BE

，

AB

⊥

BC

，(與“折痕”垂直的線段，翻折前后垂直關系不變)又

BC

∩

BE

＝

B

，

BC

，

BE

?平面

BCGE

，故

AB

⊥平面

BCGE

.

又

AB

?平面

ABC

，所以平面

ABC

⊥平面

BCGE

.

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4(2)求圖2中的二面角

B

－

CG

－

A

的大小.

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

由圖可知二面角

B

－

CG

－

A

為銳角，因此二面角

B

－

CG

－

A

的大小為30°.訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4方法技巧1.一般地，位于“折痕”同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于

“折痕”兩側的點、線、面之間的位置關系會發(fā)生變化.注意利用折疊前的平面圖計算長度.2.(1)與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關系不改變(常用于翻折后構成二面角的平

面角)；(2)與折痕平行的線段，翻折前后平行關系不改變.訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

A.存在某個位置，使得直線BD與直線A'C垂直B.存在某個位置，使得直線A'B與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線BC與直線A'D垂直D.對任意位置，三對直線“A'C與BD”“CD與A'B”“A'D與BC”均不相互垂直B訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4[解析]翻折前、后的圖形如圖1、圖2所示.在圖1中，過點

A

作

AE

⊥

BD

，垂足為

E

，過點

C

作

CF

⊥

BD

，垂足為

F

，由邊

AB

，

BC

不相等可知點

E

，

F

不重合.在圖

2中，連接

CE

.

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4對于選項A，若

A

'

C

⊥

BD

，因為

BD

⊥

A

'

E

，

A

'

E

∩

A

'

C

＝

A

'，所以

BD

⊥平面

A

'

CE

.

因為

CE

?平面

A

'

CE

，所以

BD

⊥

CE

，與點

E

，

F

不重合相矛盾，故選項A錯誤.對于選項B，若

A

'

B

⊥

CD

，因為

A

'

B

⊥

A

'

D

，

A

'

D

∩

CD

＝

D

，所以

A

'

B

⊥平

面

A

'

DC

.

因為

A

'

C

?平面

A

'

DC

，所以

A

'

B

⊥

A

'

C

，由

A

'

B

＜

BC

可知存在這樣的

三角形，使得直線

A

'

B

與直線

CD

垂直，此時

A

'

B

＝

A

'

C

＝2，故選項B正確.對于選

項C，若

A

'

D

⊥

BC

，因為

DC

⊥

BC

，

A

'

D

∩

DC

＝

D

，所以

BC

⊥平面

A

'

DC

.

因

為

A

'

C

?平面

A

'

DC

，所以

BC

⊥

A

'

C

，又

BC

＞

A

'

B

，所以不存在這樣的直角三角

形，故選項C錯誤.由以上分析可知選項D錯誤.故選B.訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

(1)證明：

PB

⊥

AE

.

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4圖1圖2[解析]如圖，取

AE

的中點

O

，連接

PO

，

BO

，

BE

.

由題意及題圖1知，

DA

＝

DE

＝

AB

＝

BE

，又

PA

＝

DA

，

PE

＝

DE

，所以

PA

＝

PE

.

所以

PO

⊥

AE

，

BO

⊥

AE

，又

PO

∩

BO

＝

O

，所以

AE

⊥平面

POB

.

因為

PB

?平面

POB

，所以

AE

⊥

PB

，即

PB

⊥

AE

.

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

(2)當二面角

P

－

AE

－

B

等于90°時，求

PA

與平面

PEC

所成角的正弦值.訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4命題點2

探索性問題例2

[2021全國卷甲]如圖，已知直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，側面

AA

1

B

1

B

為正方形，

AB

＝

BC

＝2，

E

，

F

分別為

AC

和

CC

1的中點，

D

為棱

A

1

B

1上的點，

BF

⊥

A

1

B

1.(1)證明：

BF

⊥

DE

.

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4(2)當

B

1

D

為何值時，平面

BB

1

C

1

C

與平面

DFE

所成的二面角的正弦值最小？

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4方法技巧1.對于存在判斷型問題的求解，一般先假設存在，把要成立的結論當作條件，據(jù)此

列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“方程(在規(guī)定范圍內(nèi))是否有解”的

問題.2.借助空間直角坐標系，引進參數(shù)，將幾何問題代數(shù)化是解決探索性問題的常

見方法.訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4訓練3

[多選/2023重慶名校聯(lián)盟聯(lián)考]在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

，

Q

分別

為

AD

1，

B

1

C

上的動點，且滿足

AP

＝

B

1

Q

，則(

ACD

)A.存在PQ的某一位置，使AB∥PQB.△BPQ的面積為定值C.當PA＞0時，直線PB1與直線AQ一定異面D.無論P，Q運動到何位置，均有BC⊥PQACD訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

(1)求證：

CD

⊥平面

PAD

.

[解析]因為

PA

⊥平面

ABCD

，

CD

?平面

ABCD

，所以

PA

⊥

CD

.

又

AD

⊥

CD

，

AD

∩

PA

＝

A

，

AD

，

PA

?平面

PAD

，所以

CD

⊥平面

PAD

.

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4[解析]過點

A

作

AD

的垂線交

BC

于點

M

.

因為

PA

⊥平面

ABCD

，所以

PA

⊥

AM

，

PA

⊥

AD

.

以點

A

為坐標原點，分別以

AM

，

AD

，

AP

所在直線為

x

軸、

y

軸、

z

軸，建立如圖

所示的空間直角坐標系，則

A

(0，0，0)，

B

(2，－1，0)，

C

(2，2，0)，

D

(0，2，0)，

P

(0，0，2).(2)求二面角

F

－

AE

－

P

的余弦值.因為

E

為

PD

的中點，所以

E

(0，1，1).訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

設平面

AEF

的法向量為

n

＝(

x

，

y

，

z

)，

令

z

＝1，則

y

＝－1，

x

＝－1.于是

n

＝(－1，－1，1)為平面

AEF

的一個法向量.易得平面

PAD

的一個法向量為

p

＝(1，0，0)，

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3訓練4

A.BM∥平面A1DEB.點M在某個圓上運動C.存在某個位置，使DE⊥A1CABD12345678

12345678

12345678

123456782.[多選/2024貴陽市模擬]一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四個以

O

為頂點的全等

的等腰三角形(如圖1)，將這4個等腰三角形裁下來，然后將余下的四塊陰影部分沿

虛線折疊，使得

A

，A'重合，

B

，B'重合，

C

，C'重合，

D

，D'重合，

P

1，

P

2，

P

3，

P

4重合為點

P

，得到正四棱錐

O

－

ABCD

(如圖2).則在正四棱錐

O

－

ABCD

中，

以下結論正確的是(

ABD

)圖1

圖2ABDA.平面OAC⊥平面OBDB.AD∥平面OBCD.當正四棱錐的體積取到最大值時，AP＝4cm12345678[解析]如圖，對于選項A，連接

OP

，∵在正四棱錐

O

－

ABCD

中，

AC

⊥

BD

，

OP

⊥平面

ABCD

，∴

OP

⊥

AC

.

又

BD

∩

OP

＝

P

，∴

AC

⊥平面

OBD

.

又

AC

?平面

OAC

，∴平面

OAC

⊥平面

OBD

.

故選項A正確.對于選項B，∵

AD

∥

BC

，

AD

?平面

OBC

，

BC

?平面

OBC

，∴

AD

∥平面

OBC

，

故選項B正確.12345678

12345678

12345678

9π

12345678

12345678

123456784.[2023成都七中模擬]如圖，在直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

BA

⊥

BC

.

(1)若

BA

＝

BB

1，求證：

AB

1⊥平面

A

1

BC

.

[解析]在直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

BB

1⊥平面

ABC

，所以

BB

1⊥

BC

，

BB

1⊥

BA

.

因為

BA

⊥

BC

，

BA

∩

BB

1＝

B

，所以

BC

⊥平面

BAA

1

B

1，所以

BC

⊥

AB

1.因為

BB

1⊥

BA

，

BA

＝

BB

1，所以四邊形

BAA

1

B

1為正方形，所以

AB

1⊥

A

1

B

.

因為

A

1

B

∩

BC

＝

B

，

A

1

B

，

BC

?平面

A

1

BC

，所以

AB

1⊥平面

A

1

BC

.

12345678

12345678解法二由(1)知，直線

BA

，

BB

1，

BC

兩兩垂直.以

B

為坐標原點，直線

BA

，

BB

1，

BC

分別為

x

軸、

y

軸、

z

軸建立空間直角坐標系，如圖.因為

BA

＝

BC

＝

BB

1＝2，所以

B

(0，0，0)，

A

1(2，2，0)，

B

1(0，2，0)，

C

(0，0，2)，

12345678

12345678

圖1

圖2(1)當

EN

∥平面

MBD

時，求λ的值.12345678[解析]

如圖1，取

MB

的中點

P

，連接

DP

，

PN

.

圖1

又

DE

∥

BC

，所以

NP

∥

DE

，即

N

，

E

，

D

，

P

四點共面，圖1又

EN

∥平面

MBD

，

EN

?平面

NEDP

，平面

NEDP

∩平面

MBD

＝

DP

，所以

EN

∥

PD

，即四邊形

NEDP

為平行四邊形，

12345678(2)隨著λ值的變化，二面角

B

－

MD

－

E

的大小是否改變？如果改變，請說明理由；

如果不改變，請求出二面角

B

－

MD

－

E

的正弦值.[解析]

取

DE

的中點

O

，連接

MO

，則

MO

⊥

DE

.

因為平面

MDE

⊥平面

DECB

，平面

MDE

∩平面

DECB

＝

DE

，且

MO

⊥

DE

，所以

MO

⊥平面

DECB

.

圖2

12345678

又平面

EMD

的一個法向量為

n

＝(0，1，0)，即隨著λ值的變化，二面角

B

－

MD

－

E

的大小不變，

123456786.[2024浙江名校聯(lián)考]如圖，已知四棱錐

E

－

ABCD

中，四邊形

ABCD

為等腰梯形，

AB

∥

DC

，

AB

＝4，

AD

＝

DC

＝2，

BE

＝4，△

ADE

為等邊三角形.(1)求證：平面

ADE

⊥平面

ABCD

.

12345678

12345678

12345678

12345678解法二存在點

F

滿足題意.證明如下：以點

D

為坐標原點，

DA

所在直線為

x

軸，

DB

所在直線為

y

軸，建立如圖2所示的空

間直角坐標系，

設平面

BDE

的法向量為

n

＝(

x

，

y

，

z

)，12345678

12345678