第十章 第6講 離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)了解離散型隨機(jī)

變量的概念，理

解離散型隨機(jī)變

量分布列及其數(shù)

字特征(均值、

方差).離散型隨機(jī)變

量分布列的性

質(zhì)本講是高考的命題熱點(diǎn)，常以實(shí)際

問(wèn)題為情境，與計(jì)數(shù)原理、古典概

型等知識(shí)綜合命題，考查離散型隨

機(jī)變量的分布列、均值與方差，以

解答題為主，有時(shí)也以選擇題、填

空題的形式進(jìn)行考查，難度中等.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)了解離散型隨機(jī)變

量的概念，理解離

散型隨機(jī)變量分布

列及其數(shù)字特征

(均值、方差).離散型隨機(jī)變量

的分布列及數(shù)字

特征2022全國(guó)卷甲T19；

2021新高考卷ⅠT18；

2021新高考卷ⅡT21；

2019全國(guó)卷ⅠT21預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)

著重考查本講知識(shí)

的實(shí)際應(yīng)用.利用均值與方差

進(jìn)行決策2021新高考卷ⅠT18

學(xué)生用書(shū)P2391.離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有①

?

與之對(duì)應(yīng)，我們稱

X

為隨機(jī)變量.可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱

為離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量一般用大寫(xiě)英文字母表示，例如

X

，

Y

，

Z

.

隨機(jī)變量的取值一般用小寫(xiě)英

文字母表示，例如

x

，

y

，

z

.唯一的實(shí)數(shù)

X

(ω)

2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量

X

的可能取值為

x

1，

x

2，…，

xn

，我們稱

X

取每一個(gè)值

xi

的概率

P

(

X

＝

xi

)＝

pi

，

i

＝1，2，…，

n

為

X

的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.離散型

隨機(jī)變量的分布列可以用表格或圖形表示.3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)

pi

②

0，

i

＝1，2，…，

n

；(2)

p

1＋

p

2＋…＋

pn

＝③

?.≥

1

4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量

X

的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn

x

1

p

1＋

x

2

p

2＋…＋

xnpn

標(biāo)準(zhǔn)差

偏離程度

5.均值與方差的性質(zhì)若

Y

＝

aX

＋

b

，其中

a

，

b

是常數(shù)，

X

，

X

1，

X

2是隨機(jī)變量，則(1)

E

(

aX

＋

b

)＝⑧

，

D

(

aX

＋

b

)＝⑨

?；(2)

E

(

X

1＋

X

2)＝

E

(

X

1)＋

E

(

X

2)，

D

(

X

)＝

E

(

X

2)－[

E

(

X

)]2.aE

(

X

)＋

b

a

2

D

(

X

)

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

(

B

)A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量B.離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1C.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的D.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)

準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小B123452.設(shè)

X

是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X－101P1－qq－q2則

q

等于(

D

)A.1

D123453.一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品

可獲利30元，生產(chǎn)一件次品要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品

的概率分別為0.6，0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利(

B

)A.36元B.37元C.38元D.39元[解析]設(shè)這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利

X

元，則

X

可能取的數(shù)值為50，30，－

20，所以

P

(

X

＝50)＝0.6，

P

(

X

＝30)＝0.3，

P

(

X

＝－20)＝0.1，所以這臺(tái)機(jī)器每生

產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利為

E

(

X

)＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)，故選B.B123454.[多選]設(shè)離散型隨機(jī)變量

X

的分布列為X01234P

q0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量

Y

滿足

Y

＝2

X

＋1，則下列結(jié)果正確的有(

ACD

)A.q＝0.1B.E(X)＝2，D(X)＝1.4C.E(X)＝2，D(X)＝1.8D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.2ACD12345[解析]因?yàn)?/p>

q

＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以

q

＝0.1，故A正確；又

E

(

X

)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，

D

(

X

)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

Y

＝2

X

＋1，所以

E

(

Y

)＝2

E

(

X

)＋1＝5，

D

(

Y

)＝4

D

(

X

)＝7.2，故D正確.故選ACD.123455.若隨機(jī)變量

X

滿足

P

(

X

＝

c

)＝1，其中

c

為常數(shù)，則

D

(

X

)的值為

?.[解析]

∵

P

(

X

＝

c

)＝1，∴

E

(

X

)＝

c

×1＝

c

，∴

D

(

X

)＝(

c

－

c

)2×1＝0.0

12345

學(xué)生用書(shū)P241

ξ78910Px0.10.3y

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2[解析]由題中表格可知

x

＋0.1＋0.3＋

y

＝1，7

x

＋8×0.1＋9×0.3＋10

y

＝8.9，解

得

y

＝0.4.故選C.C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

AB

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用1.利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值及檢驗(yàn)分布列是否正確；2.利用“離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之

和”求某些特定事件的概率.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練1(1)若隨機(jī)變量

X

的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)

P

(

X

＜

a

)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(

C

)A.(－∞，2]B.[1，2]C.(1，2]D.(1，2)[解析]由隨機(jī)變量

X

的分布列知，

P

(

X

＜1)＝0.5，

P

(

X

＜2)＝0.8，故當(dāng)

P

(

X

＜

a

)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(1，2].C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)隨機(jī)變量

X

的分布列如下：X－101Pabc其中

a

，

b

，

c

成等差數(shù)列，則

P

(｜

X

｜＝1)＝

，公差

d

的取值范圍是

?

?.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

B.E(3ξ＋1)＝7C.D(ξ)＝2D.D(3ξ＋1)＝6ABC例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)[2022全國(guó)卷甲]甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝

方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.

已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互

獨(dú)立.①求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；[解析]

①設(shè)甲學(xué)校獲得冠軍的事件為

A

，則甲學(xué)校必須獲勝2場(chǎng)或者3場(chǎng).

P

(

A

)＝

0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.6.故甲學(xué)校獲得冠軍的概率為0.6.②用

X

表示乙學(xué)校的總得分，求

X

的分布列與期望.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3②

X

的取值可以為0，10，20，30.

P

(

X

＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P

(

X

＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44，

P

(

X

＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－

0.8)＝0.34，

P

(

X

＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06.所以

X

的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以

E

(

X

)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧求離散型隨機(jī)變量

X

的均值與方差的步驟(1)理解

X

的含義，寫(xiě)出

X

的全部可能取值；(2)求

X

取每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出

X

的分布列；(4)由均值、方差的定義求

E

(

X

)，

D

(

X

).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3訓(xùn)練2[多選]甲、乙兩人進(jìn)行紙牌游戲(紙牌除了顏色不同，沒(méi)有其他任何區(qū)別)，他

們手里各持有4張紙牌，其中甲手里有2張黑牌，2張紅牌，乙手里有3張黑牌，1張

紅牌，現(xiàn)在兩人都各自隨機(jī)取出1張牌進(jìn)行交換，交換后甲、乙手中的紅牌張數(shù)分

別為

X

，

Y

，則(

AD

)C.E(X)＝E(Y)D.D(X)＝D(Y)AD例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3命題點(diǎn)3

利用均值與方差進(jìn)行決策例3[2021新高考卷Ⅰ]某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加

比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則

該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回

答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0

分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能

正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記

X

為小明的累計(jì)得分，求

X

的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3[解析]

(1)由題意得，

X

的所有可能取值為0，20，100，

P

(

X

＝0)＝1－0.8＝0.2，

P

(

X

＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，

P

(

X

＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以

X

的分布列為X020100P0.20.320.48例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3(2)當(dāng)小明先回答A類(lèi)問(wèn)題時(shí)，由(1)可得

E

(

X

)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題時(shí)，記

Y

為小明的累計(jì)得分，則

Y

的所有可能取值為0，80，100，

P

(

Y

＝0)＝1－0.6＝0.4，

P

(

Y

＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，

P

(

Y

＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以

Y

的分布列為Y080100P0.40.120.48

E

(

Y

)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?7.6＞54.4，即

E

(

Y

)＞

E

(

X

)，所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先

回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3方法技巧在利用均值和方差的意義去分析、解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般先比較均值，若均值相

同，再用方差來(lái)決定.需要注意的是，實(shí)際應(yīng)用中是方差大了好還是方差小了好，要

看這組數(shù)據(jù)反映的實(shí)際問(wèn)題.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

300－150P

5000－300P例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

(2)若市場(chǎng)預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項(xiàng)目長(zhǎng)期投資(每一年的利潤(rùn)和本金

繼續(xù)用作投資)，大約在哪一年年底總資產(chǎn)(利潤(rùn)＋本金)可以翻一番？(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3

1.[命題點(diǎn)1]設(shè)

X

是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X01P9a2－a3－8a則常數(shù)

a

的值為(

A

)

A12342.[命題點(diǎn)2]已知ξ的分布列如表所示.012P？??？

A.0B.1C.2D.3C1234

[解析]

設(shè)“？”＝

a

，“！”＝

b

，則

a

，

b

∈[0，1]，2

a

＋

b

＝1.

12343.[命題點(diǎn)2/2023南昌市一模]某班準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)班服，確定從

A

，

B

兩種款式中選出一種

統(tǒng)一購(gòu)買(mǎi).現(xiàn)在全班50位同學(xué)贊成購(gòu)買(mǎi)

A

，

B

款式的人數(shù)分別為20，30，為了盡量統(tǒng)

一意見(jiàn)，準(zhǔn)備在全班進(jìn)行3輪宣傳，每輪宣傳從全班同學(xué)中隨機(jī)選出一位，介紹他

贊成所選款式的理由.假設(shè)每輪宣傳后，贊成該同學(xué)所選款式的不會(huì)改變意見(jiàn)，不贊

成該同學(xué)所選款式的同學(xué)會(huì)有5位改變意見(jiàn)，改成贊成該同學(xué)所選款式.(1)計(jì)算第2輪宣傳選到的同學(xué)贊成

A

款式的概率.1234

1234

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)3輪宣傳后贊成

A

款式的人數(shù)為

X

，求隨機(jī)變量

X

的數(shù)學(xué)期望.1234所以

X

的分布列為X5152535P

1234

1234(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙誰(shuí)被錄用的可能性更大.

X123P

1234

Y0123P1234

1234

學(xué)生用書(shū)·作業(yè)幫P390

C123456789101112

X－201PabB123456789101112

1234567891011123.設(shè)0＜

a

≤

b

，隨機(jī)變量

X

的分布列是X012Paba＋b則

E

(

X

)的取值范圍是(

D

)

D1234567891011124.[浙江高考]設(shè)0＜

a

＜1.隨機(jī)變量

X

的分布列是X0a1P則當(dāng)

a

在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，(

D

)A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大D123456789101112

123456789101112

X012Pp－p21－pp2A.P(X＝2)的值最大B.P(X＝0)＜P(X＝1)C.E(X)隨p的增大而減小D.E(X)隨p的增大而增大BD123456789101112

1234567891011126.[多選]已知

A

＝

B

＝{1，2，3}，分別從集合

A

，

B

中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)

a

，

b

，得到

平面上一個(gè)點(diǎn)

P

(

a

，

b

)，設(shè)事件“點(diǎn)

P

恰好落在直線

x

＋

y

＝

n

上”對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變

量為

X

，

P

(

X

＝

n

)＝

Pn

，

X

的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

E

(

X

)，

D

(

X

)，則(

BCD

)A.P4＝2P2C.E(X)＝4BCD123456789101112

1234567891011127.若

n

是一個(gè)三位正整數(shù)，且

n

的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)

字，則稱

n

為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位

參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如

下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被

5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲參加活動(dòng)，則甲得

分

X

的均值

E

(

X

)＝

?.

123456789101112

X0－11P

1234567891011128.[2024惠州市一調(diào)]學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多

輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10

分，負(fù)者得－5分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師

甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4，0.5，0.75，各項(xiàng)目比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、

乙獲得冠軍的概率分別記為

p

1，

p

2.123456789101112[解析]

(1)根據(jù)題意知，

X

的所有可能取值為－15，0，15，30.可得

P

(

X

＝－15)＝0.4×0.5×0.75＝0.15，

P

(

X

＝0)＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425，

P

(

X

＝15)＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35，

P

(

X

＝30)＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴

X

的分布列為X－1501530P0.150.4250.350.075∴

E

(

X

)＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.(1)用

X

表示教師乙的總得分，求

X

的分布列與期望.123456789101112

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1234567891011129.[2023重慶市三檢]在“五一”節(jié)日期間，某商場(chǎng)準(zhǔn)備舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)

買(mǎi)超過(guò)一定金額的商品后均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：將質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)平均

分成

n

(

n

∈N*，

n

≥3)個(gè)扇區(qū)，每個(gè)扇區(qū)涂一種顏色，所有扇區(qū)的顏色各不相同，

顧客抽獎(jiǎng)時(shí)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)三次，記錄每次轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)指針?biāo)干葏^(qū)內(nèi)的顏色(若指針

指在分界線處，本次轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)效，需重轉(zhuǎn)一次)，若三次顏色都一樣，則獲得一等獎(jiǎng)；

若其中兩次顏色一樣，則獲得二等獎(jiǎng)；若三次顏色均不一樣，則獲得三等獎(jiǎng).123456789101112

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1086018P(2)規(guī)定一等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金108元，二等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金60元，三等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金18元，在

n

取(1)中的最小值的情況下，求顧客在一次抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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10.[2024南昌市模擬]黨建知識(shí)競(jìng)賽有兩關(guān)，