統(tǒng)計與概率-高考數(shù)學(xué)解答題專項練習(xí)

統(tǒng)計與概率一、梳理必備知識（2）解獨立性檢驗問題的關(guān)注點=1\*GB3①兩個明確：（=1\*romani）明確兩類主體；（=2\*romanii）明確研究的兩個問題；=2\*GB2⑵兩個準(zhǔn)確：（=1\*romani）準(zhǔn)確畫出列聯(lián)表；（=2\*romanii）準(zhǔn)確理解二、解答題綜合訓(xùn)練1.某市某書店為了了解銷售單價(單位:元)在[8,20]內(nèi)的圖書的銷售情況,從2022年已經(jīng)銷售的圖書中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取100本,將獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成6組,制成如圖J5-1所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷售單價在[14,16)內(nèi)的圖書本數(shù)是銷售單價在[18,20]內(nèi)的圖書本數(shù)的2倍.(1)求x,y的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(3)根據(jù)頻率分布直方圖從銷售單價低于12元的圖書中任取2本,求這2本圖書中,至少有1本的銷售單價低于10元的概率.圖J5-11.解:(1)樣本中圖書的銷售單價在[14,16)內(nèi)的圖書本數(shù)是x·2×100=200x,樣本中圖書的銷售單價在[18,20]內(nèi)的圖書本數(shù)是y·2×100=200y.由題意得200x=2×200y,即x=2y①. 2分根據(jù)頻率分布直方圖可知(0.025+0.05+y+0.1×2+x)×2=1②.由①②解得x=0.15,y=0.075. 4分(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)為9×0.025×2+11×0.05×2+13×0.1×2+15×0.15×2+17×0.1×2+19×0.075×2=14.9, 6分因為(0.025+0.05+0.1+0.15)×2=0.65>0.5,所以中位數(shù)在[14,16)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為x,則(0.025+0.05+0.1)×2+0.15(x-14)=0.5,解得x=15,故中位數(shù)為15. 8分(3)銷售單價低于12元的圖書共有(0.025+0.05)×2×100=15(本), 10分其中銷售單價低于10元的圖書有0.025×2×100=5(本),從銷售單價低于12元的圖書中任取2本,這2本圖書的銷售單價都不低于10元的取法有C102因此,所求事件的概率為1-C102C1522.某校高三1000名學(xué)生的一?？荚嚁?shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是，，，，，.

(1)求圖中的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學(xué)生的一?？荚嚁?shù)學(xué)成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(3)從一模數(shù)學(xué)成績位于，的學(xué)生中采用分層抽樣抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，該2人中一模數(shù)學(xué)成績在區(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，所以.（2）該1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均分約為.（3）由（1）知，，所以一模數(shù)學(xué)成績在區(qū)間與的人數(shù)之比為，所以抽取的8人中有6人的數(shù)學(xué)成績在區(qū)間內(nèi)，所以的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為012.3.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為:子時的睡眠對一天至關(guān)重要(子時是指23點到次日凌晨1點).相關(guān)數(shù)據(jù)表明,入睡時間越晚,深度睡眠時間越少,睡眠指數(shù)也就越低,根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù),對早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計如下表:組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比1[0,51)0.1%9.2%2[51,66)11.1%47.4%3[66,76)34.6%31.6%4[76,90)48.6%11.8%5[90,100]5.6%0.0%注:早睡人群為23:00前入睡的人群,晚睡人群為凌晨1:00后入睡的人群.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計早睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)分別在第幾組?(2)據(jù)統(tǒng)計,睡眠指數(shù)在區(qū)間[76,90)內(nèi)的人群中,早睡人群約占80%,從睡眠指數(shù)在區(qū)間[76,90)內(nèi)的人群中隨機抽取3人,以X表示這3人中屬于早睡人群的人數(shù),求X的分布列與均值E(X).解:(1)因為0.1%+11.1%=11.2%<25%,0.1%+11.1%+34.6%=45.8%>25%,所以早睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)在第3組. 3分因為9.2%<25%,9.2%+47.4%=56.6%>25%,所以晚睡人群睡眠指數(shù)的25%分位數(shù)在第2組. 5分(2)由題得睡眠指數(shù)在[76,90)內(nèi)的人群中抽到早睡人群的概率約為45,抽到晚睡人群的概率約為15.X的可能取值為0,1,2,3, 7分則P(X=0)=C30×450×P(X=1)=C31×451×P(X=2)=C32×452×P(X=3)=C33×453×15所以隨機變量X的分布列為X0123P1124864所以E(X)=0×1125+1×12125+2×48125+3×644.某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績?yōu)?0分及以上者晉級成功，否則晉級失?。?/p>

(1)求圖中的值；(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為能否晉級成功與性別有關(guān)；晉級情況性別晉級成功晉級失敗總計男16女50總計(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【詳解】（1）由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1，可知，解得．（2）由頻率分布直方圖，知晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數(shù)為，填表如下：晉級情況性別晉級成功晉級失敗總計男163450女94150總計2575100所以，所以有的把握認(rèn)為能否晉級成功與性別有關(guān)．（3）由（2）知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，此人晉級失敗的概率為，易知，則，，，，．所以的分布列為01234則．5.食品安全問題越來越受到人們的重視．某超市在購進某種水果之前，要求食品安檢部門對每箱水果進行三輪各項指標(biāo)的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，這種水果才能在該超市銷售．已知每箱這種水果第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，第三輪檢測不合格的概率為，每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測互不影響．(1)求每箱這種水果能在該超市銷售的概率；(2)若這種水果能在該超市銷售，則每箱可獲利300元，若不能在該超市銷售，則每箱虧損100元，現(xiàn)有4箱這種水果，求這4箱水果總收益的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）設(shè)每箱這種水果能在該超市銷售為事件，則，即每箱這種水果能在該超市銷售的概率為.（2）的所有可能取值為1200，800，400，0，．因為，，，，，所以的分布列為12008004000所以．6.飛行棋是一種競技游戲，玩家用棋子在圖紙上按線路行棋，通過擲骰子決定行棋步數(shù)．為增加游戲樂趣，往往在線路格子中設(shè)置一些“前進”“后退”等獎懲環(huán)節(jié)，當(dāng)骰子點數(shù)大于或等于到達終點的格數(shù)時，玩家順利通關(guān)．已知甲、乙兩名玩家的棋子已經(jīng)接近終點，其位置如圖所示：

(1)求甲還需拋擲2次骰子才順利通關(guān)的概率；(2)若甲、乙兩名玩家每人最多再投擲3次，且第3次無論是否通關(guān)，該玩家游戲結(jié)束．設(shè)甲、乙兩玩家再投擲骰子的次數(shù)為，分別求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）甲第1次拋擲未到達終點，其點數(shù)應(yīng)小于4若第1次擲出的點數(shù)為1，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子前進1步后可再前進1步，到達距離終點差2步的格子，第2次擲出的點數(shù)大于1，即可順利通關(guān)，其概率為若第1次擲出的點數(shù)為2，棋子到達距離終點差2步的格子，第2次擲出的點數(shù)大于1，即可順利通關(guān)，其概率為若第1次擲出的點數(shù)為3，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子到達距離終點差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次擲出的點數(shù)大于3，可順利通關(guān)，其概率為故甲拋擲2次骰子順利通關(guān)的概率為（2）依題意得，，，，123123，7.近年來,乒乓球運動已成為國內(nèi)民眾喜愛的運動之一,今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍,比賽采用三局兩勝制,即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結(jié)束,根據(jù)以往經(jīng)驗,甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為23,13,(1)求甲獲得乒乓球比賽冠軍的概率.(2)比賽開始前,工作人員買來兩盒新球,分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒,每局比賽前裁判員從盒中隨機取出一個球用于比賽,且局中不換球,該局比賽后,直接丟棄,裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致,且第一局從白盒中取球.記甲、乙決出冠軍后,兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為X,求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.7.解:記事件Ai=“甲在第i(i=1,2,3)局比賽中獲勝”,事件Ai=“甲在第i(i=1,2,3)局比賽中未獲勝”,則P(Ai)=23,P(Ai)=1-P(Ai)=13(i=1,2,3記事件A=“甲獲得冠軍”,則P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=232+13×232+1(2)設(shè)甲、乙決出冠軍共進行了Y局比賽,易知Y=2或Y=3,則P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=232+132=59,故P(Y=3)=1-P(記Wi=“第i局從白盒中抽取白色的球”,Mi=“第i局從黃盒中抽取黃色的球”,則X的可能取值為1,2,3, 8分P(X=1)=P(Y=2)P(W1W2)+P(Y=3)[P(W1W2W3)+P(W1W2M3)+P(W1M2W3)]=59×P(X=2)=P(Y=2)[P(W1W2)+P(W1M2)]+P(Y=3)[P(W1W2M3)+P(W1M2M3)]=59×P(X=3)=P(Y=2)P(W1M2)+P(Y=3)P(W1M2M3)=59×13×23+4綜上可得,X的分布列如下:X123P353214故E(X)=1×3581+2×3281+3×1481=478.某特種商品生產(chǎn)企業(yè)的甲、乙兩個廠區(qū)共生產(chǎn)產(chǎn)品4a件,其中共有不合格產(chǎn)品a件,圖J6-2為全部產(chǎn)品中甲、乙兩廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)的分布圖(圖①),以及不合格產(chǎn)品中甲、乙兩廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)的分布圖(圖②).(1)求甲、乙廠區(qū)各自生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率.不合格率(2)用不合格率估計抽到不合格產(chǎn)品的概率.(i)用比例分配的分層隨機抽樣方法在兩廠區(qū)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取容量為4的樣本,記X為樣本中不合格品的件數(shù),求X的分布列.(ii)用簡單隨機抽樣方法在兩廠區(qū)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取容量為4的樣本,記Y為樣本中不合格品的件數(shù),比較E(X),E(Y)的大小,并說說你對這一大小關(guān)系實際含義的理解.圖J6-28.解:(1)由圖①知甲廠區(qū)生產(chǎn)了3a件產(chǎn)品,乙廠區(qū)生產(chǎn)了a件產(chǎn)品,由圖②知甲、乙兩廠各生產(chǎn)不合格產(chǎn)品a2件. 2則甲廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率P1=a23a=16,乙廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率P2=a2(2)(i)由題可知,樣本中3件產(chǎn)品來自甲廠區(qū),1件產(chǎn)品來自乙廠區(qū),X的可能取值為0,1,2,3,4,P(X=0)=563×12=125432,P(X=1)=C31×16×562×1P(X=2)=C32×162×56×12+C31×16×562×12=524,P(X=3)=1P(X=4)=163×12=1則X的分布列為X01234P12525511 8分(ii)全部產(chǎn)品的不合格率P=a4a=14,則∴E(Y)=4×14=1. 9由(i)知E(X)=0×125432+1×2554+2×524+3×127+4×1432∴E(X)=E(Y), 11分說明抽樣方法不同,但都是等可能抽樣且樣本容量相同時,樣本中不合格品件數(shù)的期望也相同. 12分9.為實現(xiàn)鄉(xiāng)村的全面振興,某地區(qū)依托鄉(xiāng)村特色優(yōu)勢資源,鼓勵當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植中藥材,批發(fā)銷售.根據(jù)前期分析多年數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),某品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝種植成本為5000元,此品種中藥材在該地區(qū)各年的平均每畝產(chǎn)量與此品種中藥材的國內(nèi)市場批發(fā)價格(如圖J6-2)均具有隨機性,且互不影響,其具體情況如下表:各年的平均每畝產(chǎn)量400千克500千克頻率0.250.75(注:各年的平均每畝純收入=各年的平均每畝產(chǎn)量×批發(fā)價格-各年的平均每畝種植成本)(1)以頻率估計概率,試估計該地區(qū)某農(nóng)民今年種植此品種中藥材獲得最高純收入的概率.(2)設(shè)該地區(qū)某農(nóng)民今年種植此品種中藥材的平均每畝純收入為X元,以頻率估計概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)已知該地區(qū)某農(nóng)民有一塊土地共10畝,該塊土地現(xiàn)種植其他農(nóng)作物,年純收入最高可達到45000元,根據(jù)以上數(shù)據(jù),該農(nóng)民下一年是否應(yīng)該選擇在這塊土地上種植此品種中藥材?說明理由.圖J6-29.解:(1)要使此品種中藥材獲得最高純收入,則每畝產(chǎn)量和批發(fā)價格均要最高,所以其概率為0.75×0.6=0.45. 3分(2)由題意得,每畝產(chǎn)量為400千克,批發(fā)價格為20元/千克,則X=400×20-5000=3000;每畝產(chǎn)量為400千克,批發(fā)價格為25元/千克,則X=400×25-5000=5000;每畝產(chǎn)量為500千克,批發(fā)價格為20元/千克,則X=500×20-5000=5000;每畝產(chǎn)量為500千克,批發(fā)價格為25元/千克,則X=500×25-5000=7500. 5分所以X的可能取值為3000,5000,7500,且P(X=3000)=0.25×0.4=0.1,P(X=5000)=0.25×0.6+0.75×0.4=0.45,P(X=7500)=0.75×0.6=0.45,則X的分布列為X300050007500P0.10.450.45 8分所以E(X)=3000×0.1+5000×0.45+7500×0.45=5925. 10分(3)由(2)知,種植此品種中藥材每畝年純收入的期望為5925元,而種植其他農(nóng)作物每畝年純收入最高為4500元,所以應(yīng)該選擇種植此品種中藥材. 12分10.某工廠車間有6臺相同型號的機器，各臺機器相互獨立工作，工作時發(fā)生故障的概率都是，且一臺機器的故障由一個維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護，每人負(fù)責(zé)2臺機器；方案二：由甲乙兩人共同維護6臺機器，丙負(fù)責(zé)其他工作.(1)對于方案一，設(shè)X為甲維護的機器某一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）；(2)在兩種方案下，分別計算某一時刻機器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？【詳解】（1）解：由題意，車間有6臺相同型號的機器，各臺機器相互獨立工作，工作時發(fā)生故障的概率都是，可得方案一中，隨機變量，則，，，所以隨機變量的分布列為：X012P所以期望為．（2）解：對于方案一：“機器發(fā)生故障時不能及時維修”等價于“甲、乙、丙三人中，至少有一人負(fù)責(zé)的2臺機器同時發(fā)生故障”，設(shè)機器發(fā)生故障時不能及時維修的概率為，則其概率為．對于方案二：設(shè)機器發(fā)生故障時不能及時維修的概率為，則，可得，即方案二能讓故障機器更大概率得到及時維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高．11.某單位統(tǒng)計職工一天行走步數(shù)(單位:百步)得到如圖J5-2所示的頻率分布直方圖,由頻率分布直方圖估計該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125,其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表.(1)計算圖中a,b的值,并估計該單位職工一天行走步數(shù)的平均數(shù)μ.(2)為鼓勵職工積極參與健康步行,該單位制定了甲、乙兩套激勵方案:記職工個人一天行走步數(shù)為ω,令ε=ω-μμ×100.若ε∈(0,10],則該職工獲得一次抽獎機會;若ε∈(10,20],則該職工獲得兩次抽獎機會;若ε∈(20,30],則該職工獲得三次抽獎機會;若ε∈(30,40],則該職工獲得四次抽獎機會;若ε超過50,則該職工獲得五次抽獎機會.設(shè)職工獲得的抽獎次數(shù)為n.方案甲:從裝有1個紅球和2個白球的口袋中有放回地抽取n個小球,抽得的紅球個數(shù)即表示該職工中獎次數(shù);方案乙:從裝有6個紅球和4個白球的口袋中無放回地抽取n個小球,抽得的紅球個數(shù)即表示該職工中獎次數(shù).若某職工某日行走15700步,試計算他參與甲、乙兩種抽獎方案中獎次數(shù)的分布列.若是你圖J5-211.解:(1)由題意得(解得a=0.∴μ=(60×0.002+80×0.006+100×0.008+120×0.012+140×0.01+160×0.008+180×0.002+200×0.002)×20=125.6. 4分(2)該職工的日行走步數(shù)ω=157百步,則ε=157-125.6125.6∴該職工獲得三次抽獎機會.在方案甲下,X~B3,13,P(X=0)=C30×233=827,P(X=1)=C31×232×13=49,P(X=2)=C32×132×2X0123P8421故E(X)=3×13=1. 8在方案乙下,設(shè)該職工的中獎次數(shù)為Y,則Y的可能取值為0,1,2,3,P(Y=0)=C43C103=130,P(Y=1)=C42C61C103=310,P(Y=2)=C4Y0123P1311故E(Y)=0×130+1×310+2×12+3×16=因為1<95,所以更喜歡方案乙. 1212.某市某高中學(xué)校組織航天科普知識競賽,分小組進行知識問題競答.甲、乙兩個小組分別從6個問題中隨機抽取3個問題進行回答,答對題目多者為勝.已知這6個問題中,甲組能正確回答其中4個問題,而乙組能正確回答每個問題的概率均為23.甲、乙兩個小組的選題以及對每個問題的回答都是相互獨立、互不影響的(1)求甲小組至少答對2個問題的概率;(2)若從甲、乙兩個小組中選拔一組代表學(xué)校參加全市決賽,請分析說明選擇哪個小組更好?12.解:(1)設(shè)甲小組抽取的3個問題中能正確回答的個數(shù)為X,甲小組至少答對2個問題可分為答對2個問題或者答對3個問題,則P(X=2)=C42C21P(X=3)=C43C20故所求概率P(X≥2)=35+15=45(2)設(shè)甲小組抽取的3個問題中能正確回答的個數(shù)為X,則X的可能取值為1,2,3, 4分P(X=1)=C41C結(jié)合(1)可知E(X)=1×15+2×35+3×15=2D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15 6分設(shè)乙小組抽取的3個問題中能正確回答的個數(shù)為Y,則Y~B3,23所以E(Y)=3×23=2,D(Y)=3×23×1- 9分由E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)可得,選擇甲小組參加決賽更好. 12分13.高一某學(xué)生參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競賽選拔考試,該次考試共有12道選擇題.得分規(guī)定:做對一道題得1分,做錯一道題得-1分,不做得0分,9分及格.已知該學(xué)生前8道題的答案均正確,而剩下的4道題每道題做對的概率均為34(1)若該學(xué)生12道題全都做,求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)該學(xué)生做多少道題時及格的概率最大?13.解:(1)根據(jù)題意得,X的可能取值為4,6,8,10,12. 1分P(X=4)=C40×(34)0×(14)P(X=6)=C41×(34)1×(14)P(X=8)=C42×(34)2×(14)P(X=10)=C43×(34)3×(14)P(X=12)=C44×(34)4×(14)0=所以X的分布列為X4681012P13272781E(X)=4×1256+6×364+8×27128+10×2764+12×81256(2)再做1道題及格的概率P1=34再做2道題及格的概率P2=(34)2=9再做3道題及格的概率P3=(34)3+C32×(34)2×14再做4道題及格的概率P4=(34)4+C43×(34)3× 11分因為P3>P1>P4>P2,所以該學(xué)生做11道題時及格的概率最大. 12分14某學(xué)校為了提高學(xué)生的運動興趣，增強學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負(fù)相互獨立．(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．【詳解】（1）設(shè)高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級的事件為，則（2）根據(jù)題意得高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6的分布列為03615.為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發(fā)起體育運動和文化項目比賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進入最后的決賽．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨立．(1)記第一天需要進行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及；(2)記一共進行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．【詳解】（1）解：可能取值為2，3．所以的分布列如下：23∴．（2）前兩天中每一天甲以2：0獲勝的的概率均為；乙以2：0獲勝的的概率均為甲以2：1獲勝的的概率均為乙以2：1獲勝的的概率均為∴即獲勝方前兩天比分為和，或者和再加附加賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為∴∴．16.某運動會舉辦前簽約了45家贊助企業(yè),為了解該45家贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間之間的關(guān)系,某平臺對45家贊助企業(yè)進行跟蹤調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有20家,余下的企業(yè)中,每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占35,統(tǒng)計后得到2×2列聯(lián)表(1)請完成上面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗,能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān).(2)①按銷售額進行比例分配的分層隨機抽樣,在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè),求每天的銷售額不少于30萬元和每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)數(shù);②在①的條件下,抽取每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)時,設(shè)抽到每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)數(shù)是X,求X的分布列及均值.單位:家

每天線上銷售時間每天的銷售額合計不少于30萬元不足30萬元不少于8小時1720不足8小時合計45

附:

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式:χ2=n(ad-bc16.解:(1)由題意可得2×2列聯(lián)表如下.單位:家每天線上銷售時間每天的銷售額合計不少于30萬元不足30萬元不少于8小時17320不足8小時101525合計271845 零假設(shè)為H0:贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算得到χ2=45×(17×15-3×10)227×18×根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān).(2)①由題意可知,銷售額不少于30萬元的企業(yè)有27家,銷售額不足30萬元的企業(yè)有18家.按銷售額進行比例分配的分層隨機抽樣,在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè),抽樣比為545=19,所以應(yīng)從銷售額不少于30萬元的企業(yè)中抽取27×19=3(家從銷售額不足30萬元的企業(yè)中抽取18×19=2(家) ②由題意可知,每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)中,每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有3家,線上銷售時間不足8小時的企業(yè)有15家,則X的可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C152C182=3551,P(X=1)=C31C151C182=所以X的分布列為X012P3551所以E(X)=0×3551+1×517+2×151所以X的均值為13. 17.已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題,小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項,但根據(jù)得分規(guī)則:全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.小明在做多項選擇題時,可能選擇一個選項,也可能選擇兩個或三個選項,但不會選擇四個選項.(1)如果小明不知道單項選擇題的正確答案,那么小明就會隨機猜測.已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機猜測的概率都是12,他做完單項選擇題后,在題目答對的情況下,求他知道單項選擇題正確答案的概率(2)假設(shè)小明在做該道多項選擇題時,基于已有的解題經(jīng)驗,他選擇一個選項的概率為12,選擇兩個選項的概率為13,選擇三個選項的概率為16.已知該道多項選擇題只有兩個正確選項,小明完全不知道四個選項的正誤,只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇.記X表示小明做完該道多項選擇題后所得的分?jǐn)?shù)(不與單項選擇題同時計分)①P(X=0);②X的分布列及均值.(本小題滿分12分)17.解:(1)記事件A=“題目答對了”,事件B=“知道正確答案”,則P(A|B)=1,P(A|B)=14,P(B)=P(B)=1 2分所以P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=12×1+12×14=58,故所求概率為P(B|A)=P(BA)P((2)由已知可得X的可能取值為0,2,5.設(shè)事件Di=“小明選擇了i個選項”,i=1,2,3,C=“選擇的選項都是正確的”,則P(X=2)=P(D1C)=P(D1)P(C|D1)=12×C21P(X=5)=P(D2C)=P(D2)P(C|D2)=13×C22P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5)=2536. 8①P(X=0)=2536. 9②隨機變量X的分布列為X025P2511故E(X)=0×2536+2×14+5×118=718.為調(diào)查禽類某種病菌感染情況,某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中A指標(biāo)的值,將某周5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)的檢測數(shù)據(jù)進行整理,繪制成如圖J8-1所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這5000只家禽血液樣本中A指標(biāo)值的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù)).(2)通過長期調(diào)查分析可知,該養(yǎng)殖場家禽血液中A指標(biāo)的值X服從正態(tài)分布N(7.4,2.632).(i)若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽,估計其血液中A指標(biāo)的值不超過10.03的家禽數(shù)量(結(jié)果保留整數(shù));(ii)在統(tǒng)計學(xué)中,把發(fā)生概率小于1%的事件稱為小概率事件,通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的,該養(yǎng)殖場除定期抽檢外,每天還會隨機抽檢20只,若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66,判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常,并分析說明理由.參考數(shù)據(jù):①0.022753≈0.00001,0.9772517≈0.7;②若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.圖J8-118.解:(1)由2×(0.02+0.06+0.14)=0.44,2×(0.02+0.06+0.14+0.18)=0.8,可得中位數(shù)在區(qū)間[7,9)內(nèi), 1分設(shè)中位數(shù)為x,則2×(0.02+0.06+0.14)+(x-7)×0.18=0.5,解得x≈7.33. 3分(2)(i)由X~N(7.4,2.632),可得P(7.4-2.63≤X≤7.4+2.63)=P(4.77≤X≤10.03)≈0.6827,則P(X≤10.03)=P(4.77≤X≤10.03)2+故估計血液中A指標(biāo)的值不超過10.03的家禽有1000×0.84135=841.35≈841(只). 8分(ii)易知P(7.4-2×2.63≤X≤7.4+2×2.63)=P(2.14≤X≤12.66)≈0.9545,則P(X>12.66)≈1-0.95452=0隨機抽檢20只相當(dāng)于進行20次獨立重復(fù)試驗,設(shè)恰有3只血液中A指標(biāo)的值大于12.66為事件B,則P(B)≈C203×0.022753×(1-0.02275)17≈0.00798<1%,所以這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況不正常. 12分19.泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯(lián)合國認(rèn)定的“海上絲綢之路”起點.著名的“泉州十八景”是游客的爭相打卡點，泉州文旅局調(diào)查打卡十八景游客，發(fā)現(xiàn)90%的人至少打卡兩個景點.為提升城市形象，泉州文旅局為大家準(zhǔn)備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書簽、閩南古厝徽章、開元寺祈福香包、小關(guān)公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個景點，則有兩次抽獎機會；若只打卡一個景點，則有一次抽獎機會.每次抽獎可隨機獲得4種禮物中的1種禮物.假設(shè)打卡十八景游客打卡景點情況相互獨立.(1)從全體打卡十八景游客中隨機抽取3人，求3人抽獎總次數(shù)不低于4次的概率；(2)任選一位打卡十八景游客，求此游客抽中開元寺祈福香包的概率.19.解：（1）設(shè)3人抽獎總次數(shù)為，則的可能取值為3，4，5，6.由題意知，每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點的概率為，只打卡一個景點的概率為，隨機抽取3人，3人打卡景點情況相互獨立.表示抽獎總次數(shù)為3次，即3人都只打卡一個景點.依題意可得，，所以.（2）記事件“每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點”，則“每位打卡十八景游客只打卡一個景點”，事件“一位打卡十八景游客抽中開元寺祈福香包”，則，，，，由全概率公式得，.20.盲盒是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機屬性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購買與黃牛囤積，每人每天只能購買1件盲盒套餐，開售第二日，銷售門店對80名購買了套餐的消費者進行了問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：A款盲盒套餐B款盲盒套餐年齡低于30歲1830年齡不低于30歲2210(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為A、B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)聯(lián)？(2)甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐，記隨機變量為其中隱藏款X的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)某消費者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820解】（1）零假設(shè)為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，，，所以的分布列為：0123P；（3）設(shè)事件A：隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設(shè)事件：隨機抽取的1件單品來自于A款盲盒套餐，設(shè)事件：隨機抽取的1件單品來自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得，即該隱藏款來自于B款盲盒套餐的概率為．21.學(xué)校共有1500名學(xué)生,為調(diào)查該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)的時間,采用比例分配的分層隨機抽樣的方法收集100名學(xué)生每周上網(wǎng)時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:h).根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周上網(wǎng)時間的頻率分布直方圖(如圖J4-1所示),其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].(1)估計該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)的平均時間(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表).(2)估計該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)時間超過4h的概率.(3)將每周使用手機上網(wǎng)時間在(4,12]內(nèi)的定義為“長時間使用手機上網(wǎng)”,每周使用手機上網(wǎng)時間在[0,4]內(nèi)的定義為“不長時間使用手機上網(wǎng)”,在樣本數(shù)據(jù)中,有25名學(xué)生不近視.請補充完整每周使用手機上網(wǎng)的時間與是否近視的2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,能否認(rèn)為該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)時間與是否近視有關(guān)聯(lián)?單位:人

每周使用手機上網(wǎng)情況是否近視合計近視不近視長時間使用手機不長時間使用手機15合計25

附:χ2=n(adα0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879

(本小題滿分10分)圖J4-121.解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖得x=1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8,故估計該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)的平均時間為5.8h. 3分(2)由頻率分布直方圖得1-2×(0.100+0.025)=0.75,故估計該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)時間超過4h的概率為0.75. 6分(3)根據(jù)題意補充2×2列聯(lián)表如下:單位:人每周使用手機上網(wǎng)情況是否近視合計近視不近視長時間使用手機651075不長時間使用手機101525合計7525100 7分零假設(shè)為H0:該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)時間與是否近視無關(guān)聯(lián).經(jīng)計算得到χ2=100×(65×15-10×10)275×25×根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認(rèn)為該校學(xué)生每周使用手機上網(wǎng)時間與是否近視有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05. 10分22.學(xué)生的學(xué)習(xí)除了在課堂上認(rèn)真聽講,還有一個重要環(huán)節(jié)就是課后的“自主學(xué)習(xí)”,包括預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、歸納整理等.某研究機構(gòu)抽查了部分高中學(xué)生,對學(xué)生課后的學(xué)習(xí)時長x(單位:分鐘)和他們的數(shù)學(xué)平均成績y(單位:分)做出了以下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表,請根據(jù)表格回答問題:x60708090100110120130y92109114120119121121122(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)繪制散點圖,并且從以下三個函數(shù)模型①y=bx+a;②y=m·xk(m>0,k>0);③y=cx2+dx+e中選擇一個最適合的作為學(xué)習(xí)時長x和數(shù)學(xué)平均成績y的經(jīng)驗回歸模型,不必說明理由;(2)根據(jù)(1)中選擇的經(jīng)驗回歸模型,求出y與x的經(jīng)驗回歸方程;(3)請根據(jù)此經(jīng)驗回歸方程,闡述你對學(xué)習(xí)時長和數(shù)學(xué)平均成績之間關(guān)系的看法.參考公式22.解:(1)根據(jù)題意作出散點圖如圖所示. 2分由散點圖可知y=m·xk(m>0,k>0)最適合. 3分(2)對y=m·xk(m>0,k>0)兩邊取以e為底的對數(shù),可得lny=klnx+lnm.設(shè)u=lnx,v=lny,則v=ku+n, 5分所以k=∑i=18uivi-8u·v∑i=18ui2-8u2≈171.64-8×4故lny=0.33lnx+3.25,即y=e3.25·x0.33≈25.79x0.33. 10分(3)此經(jīng)驗回歸方程為關(guān)于學(xué)習(xí)時長的增函數(shù),說明隨著學(xué)習(xí)時長的增加,數(shù)學(xué)平均成績會提高,但是函數(shù)的增速先快后慢,說明原來數(shù)學(xué)平均成績較低的學(xué)生,通過增加學(xué)習(xí)時長可以有效提高數(shù)學(xué)平均成績,但是當(dāng)數(shù)學(xué)平均成績提高到120分左右時,想要通過增加學(xué)習(xí)時長來提高數(shù)學(xué)平均成績就比較困難了,需要想別的辦法. 12分23.某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經(jīng)營狀況,對該公司近六個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計,并繪制了如圖J5-2所示的折線圖.(1)月市場占有率y與月份代碼x符合線性回歸模型擬合的關(guān)系,求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,并預(yù)測M公司2021年3月份(即x=10)的市場占有率.(2)為進一步擴大市場,公司擬再采購一批單車.現(xiàn)有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A,B兩款車型可供選擇,按規(guī)定每輛單車最多使用4年,但由于多種原因(如騎行頻率等)會導(dǎo)致車輛報廢年限各不相同.考慮到公司運營的經(jīng)濟效益,該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進行科學(xué)模擬測試,得到兩款單車使用壽命的頻數(shù)表如下:報廢年限1年2年3年4年A型車(輛)20353510B型車(輛)10304020經(jīng)測算,平均每輛單車每年可以帶來收入500元.不考慮除采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整年,且以每輛單車使用壽命的頻率作為每輛單車使用壽命的概率.如果你是M公司的負(fù)責(zé)人,以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù),你會選擇采購哪款車型的單車?參考公式及數(shù)據(jù):經(jīng)驗回歸方程y=bx+a中,b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-n圖J5-223.解:(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)可得,x=1+2+3+4+5+66=3.5y=11+13+16+15+20+216=16, 2所以b=∑i=16xi則a=y-bx=16-2×3.5=9所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=2x+9. 4分當(dāng)x=10時,可得y=2×10+9=29,所以預(yù)測M公司2021年3月份(即x=10)的市場占有率為29%. 5分(2)由頻率估計概率,可得每輛A款車型的單車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.2,0.35,0.35,0.1,所以每輛A款車型的單車可產(chǎn)生的利潤期望E(X)=(500-1000)×0.2+(1000-1000)×0.35+(1500-1000)×0.35+(2000-1000)×0.1=175; 8分由頻率估計概率,可得每輛B款車型的單車可使用1年、2年、3年和4年的概率分別為0.1,0.3,0.4,0.2,所以每輛B款車型的單車可產(chǎn)生的利潤期望E(Y)=(500-1200)×0.1+(1000-1200)×0.3+(1500-1200)×0.4+(2000-1200)×0.2=150. 11分因為E(X)>E(Y),所以應(yīng)該采購A款車型的單車. 12分24.新能源汽車是中國戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)之一，政府高度重視新能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，某企業(yè)為了提高新能源汽車品控水平，需要監(jiān)控某種型號的汽車零件的生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機抽取100件，測得該零件的質(zhì)量差（這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對值）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表.質(zhì)量差（單位：）5667707886件數(shù)（單位：件）102048193(1)求樣本平均數(shù)的值；根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，得到該零件的質(zhì)量差（這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對值）X近似服從正態(tài)分布，其中的近似值為36，用樣本平均數(shù)作為的近似值，求概率）的值；(2)若該企業(yè)有兩條生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.015，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.018，將這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出來的零件混放在一起，這兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)廢品相互獨立.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機抽取一件.（i）求該零件為廢品的概率；（ii）若在抽取中發(fā)現(xiàn)廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，【詳解】（1）由得：（2）（i）設(shè)“隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，“隨機抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，“隨機抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則由題意可知，又，于是.（ii）.25.某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊員進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.(1)求；(2)當(dāng)時，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)當(dāng)時，證明：.【詳解】（1）乙、丙、丁三人每次接到傳球的概率均為，3次傳球后，事件“乙、兩、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.（2）由題意知，的可能取值為1，2，3，，，，的分布列如