中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)2021創(chuàng)新班自主招生數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第頁(yè)2021年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷（少年創(chuàng)新班）一、填空題（本大題共5小題）1、設(shè)a∈R，關(guān)于x的方程x4?4a?50x2、棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D3、若直線xa+yb=1(a>0,b>0)與曲線y=4、若x2+y2=5、一個(gè)小球在0，1，2，?，n這n+1個(gè)位置移動(dòng)，小球向前向后移動(dòng)一個(gè)單位的概率都為12．若在0處，則小球只能向前移動(dòng)，若初始位置在0處，則首次移動(dòng)到n的步數(shù)的期望為

二、解答題（本大題共4小題）6、在△ABC中，證明：37、對(duì)?x，y∈R，有fx+y8、已知g0x=1，g1x=x，gn9、證明a為無(wú)理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?m∈N?，?1、【答案】75;【解析】設(shè)四個(gè)實(shí)數(shù)解為?x2，?x1，x1則有x2x1x1可知a>25有10x9x可得10a3所以a=75．2、【答案】16【解析】易知公共部分為正方體六個(gè)面中心所圍成的幾何體，如下圖所示：可知V=13、【答案】9;【解析】當(dāng)相切時(shí)，有ba=2所以a+b=a+b2+b24、【答案】163【解析】x，y，z應(yīng)該是正數(shù)，構(gòu)造如下邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC，滿足OA=y，OB=x，OC=z，∠AOB=π2，則可知2xy+xz+35、【答案】n2【解析】設(shè)首次從k到n的步數(shù)期望為ak，則有a所以ak?a又小球在0處，只能向前移動(dòng)到1，則有a0所以a0?an=6、【答案】證明見(jiàn)解析．;【解析】方法一:3=?==2?1?其中t=4?2方法二:由嵌入不等式有x2令yz=34，xz=12，yx=32，則有所以327、【答案】fx=0或;【解析】取x=π2，y=0，有取x=0，則有1?fπ（Ⅰ）若fy=0，對(duì)任意y∈R（Ⅱ）若fy不恒為0，有f取x=π2，有對(duì)任意y∈R均成立，可得f綜上可知fx=0或8、【答案】證明見(jiàn)解析，x=22;【解析】由2n?1可得gn整理得gn+1則由gn所以gn又g0x，g1x符合gnx為記fnx=gn所以有fn取x=22cos?θf(wàn)1由數(shù)學(xué)歸納法可知，fn由sin?n+1θ=0所以θ=πn+1，2πn+1，?，nπ又fnx為n次多項(xiàng)式，fn故可知fnx=0的n所以gnx=09、【答案】證明見(jiàn)解析．;【解析】必要性，假設(shè)a為有理數(shù)，設(shè)a=pq，p∈Z，q∈記np=sq+r，s∈Z，r=0，1，?