2024-2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)系列講座八-相似形

2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)系列講座八——相似形1、在正三角形ABC的邊BC、AC上分別有點(diǎn)E、F，且滿(mǎn)足BE=CF=a，EC=FA=b（a>b），當(dāng)BF平分AE時(shí)，則eq\f(a,b)的值為（）A、eq\f(\r(,5)-1,2) B、eq\f(\r(,5)-2,2) C、eq\f(\r(,5)+1,2) D、eq\f(\r(,5)+2,2)2、設(shè)AD、BE、CF為△ABC的三條高，若AB=6，BC=5，EF=3，則線(xiàn)段BE的長(zhǎng)為（）A、eq\f(18,5) B、4 C、eq\f(21,5) D、eq\f(24,5)3、O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：OF=（）A、a：b：c B、eq\f(1,a)：eq\f(1,b)：eq\f(1,c) C、CosA：CosB：CosC D、SinA：SinB：SinC4、如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分面積為（）A、4 B、2eq\r(,3) C、3eq\r(,3) D、4eq\r(,3)5、在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M、N，使∠MCN=45°，記AM=m，MN=x，BN=n，則以x、m、n為邊長(zhǎng)的三角形形狀是（）A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、隨x、m、n的變化而變化6、△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD=DC=FC=1，則AC=（）A、eq\r(,2) B、eq\r(,3) C、eq\r(3,2) D、eq\r(3,3)7、Rt△ABC中，∠C=Rt∠，CD是斜邊AB上的高，在BC和CA上分別取點(diǎn)E和F，使△EFD和△ABC相似，這樣的△FED有（）個(gè)A、1 B、2 C、3 D、多于38、設(shè)銳角△ABC的三條高AD、BE、CF相交于H，若BC=a，AC=b，AB=c，則AH·AC+BH·BE+CH·CF的值是（）A、 B、 C、 D、9、設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，作DF∥AC交BC于點(diǎn)F，已知△ADE，△DBF的面積為m和n，則四邊形DECF的面積為_(kāi)_________．10、如圖，ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于O，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上任取一點(diǎn)E，連結(jié)OE，交BC于F，若AB=a，AD=c，BE=b，則BF=___________．11、已知△ABC為銳角三角形，其最大邊AC上有一點(diǎn)P（P與A、C不重合），過(guò)P作直線(xiàn)l，使l截△ABC所得的三角形與原三角形相似，則這樣的直線(xiàn)可以作______條．12、正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，M、N為BD所在直線(xiàn)上兩點(diǎn)，且AM=eq\r(,5)，∠MAN=135°，則四邊形AMCN的面積為_(kāi)_______．13、如圖，已知△ABC的面積為1，D為BC的中點(diǎn)，E、F分別在AC、AB上，且S△BDF=eq\f(1,5)，S△CDE=eq\f(1,3)，則S△DEF=_________．14、△ABC中，∠C=90°，D、E分別為BC上的兩點(diǎn)，且∠ABC=eq\f(1,2)∠ADC=eq\f(1,3)∠AEC，若BD=11，DE=5，則AC=______．15、如圖，已知邊長(zhǎng)為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形，其中a、b、c是整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則=___________．16、如圖，△ABC中，AB=2，AC=eq\r(,3)，∠A=∠BCD=45°，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____，△BDC的面積為_(kāi)_____．17、設(shè)CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，I1、I2分別是△ADC、△BDC的內(nèi)心，AC=3，BC=4，求I1I2．18、如圖，在△ABC，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，BF=eq\f(1,3)AB，BD與FC相交于G，（1）求證：EG∥AC；（2）求的比值．19、已知線(xiàn)段AB，只用圓規(guī)把線(xiàn)段AB二等分．20、分別以銳角△ABC的三邊為邊向外作正△ABC、正△BCE、正△CAF，三個(gè)正三角形的中心分別為O1、O2、O3，求證：△O1O2O3是正三角形．21、如圖，在平行四邊形ABCD中，P1、P2、……、Pn-1分別是BD的n等分點(diǎn)，連結(jié)AP2并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)APn-2并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，（1）求證：EF∥BD；（2）若平行四邊形ABCD的面積為S，且S△AEF=eq\f(3,8)S，求n的值．22、是否存在一個(gè)邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍的△ABC？證明你的結(jié)論．23、如圖，在直角梯形ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，O為AB中點(diǎn)，且EF+EO=8，求AD+BC的值．24、已知點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，且與B、C不重合，過(guò)D作AC的平行線(xiàn)DE交AB于E，作AB的平行線(xiàn)DF交AC于點(diǎn)F，又已知BC=5，①設(shè)△ABC的面積為S，若四邊形AEDF的面積為eq\f(2,5)S，求BD的長(zhǎng)；②若AC=eq\r(,2)AB，且DF經(jīng)過(guò)△ABC的重心G，求EF兩點(diǎn)間的距離．25、如圖，O是四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，已知∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，eq\f(BO,DO)=eq\f(7,6)，求BC．26．如圖是由四個(gè)大小不等的、頂角為120o的等腰三角形拼接而成．已知三角形ABC面積為100，三角形ACD面積為33，三角形ABF面積為35．組成圖形的四個(gè)等腰三角形中，求最小的一個(gè)面積是多少?27．如圖在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，E是CD上一點(diǎn)，且∠EBC=∠ABD．（1）若BC=x，CE=y．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量x的取值范圍；（2）連結(jié)AE，是否存在x，使⊿ABE與⊿DBC相似．若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．29．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH中，O為BC、FG的中點(diǎn)，且點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，連AE、BF，則AE：BF的值為．30．如圖所示，在⊿ABC的兩側(cè)向形外作正⊿ABP和⊿ACQ，點(diǎn)E、F是這兩個(gè)正三角形的中心，再以EF為一邊向上作正三角形DEF．求證：（1）BC=AD；（2）AD⊥BC．31．如圖，射線(xiàn)AM，BN都垂直于線(xiàn)段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線(xiàn)AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過(guò)點(diǎn)C作AM的垂線(xiàn)CD，垂足為D．若⊿CDF為等腰三角形，則．32．在⊿ABC中，∠A=，∠B=，在邊AB上有一點(diǎn)D，使BD=AC，連結(jié)CD．求∠BDC的度數(shù)．33．（2011年北京市中考）如圖在Rt△中，，，AB=2，D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作CD的垂線(xiàn)交射線(xiàn)CA于點(diǎn)E．設(shè)，，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是()34.等腰梯