6.2.4向量的數(shù)量積課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第六章平面向量及其應(yīng)用向量的數(shù)量積人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過物理中功等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

向量數(shù)量積的定義1.向量a與向量b的夾角(1)夾角的定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作

=b,則

=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.確定a,b的夾角時(shí),起點(diǎn)要重合,記作<a,b>

(2)顯然,當(dāng)θ=0時(shí),a與b

;當(dāng)θ=π時(shí),a與b

.

(3)如果a與b的夾角是

,我們說a與b垂直,記作

.

∠AOB同向

反向a⊥b2.向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量____________

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作

,即a·b=|a||b|cosθ.

(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為

.

(3)向量數(shù)量積的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān).在書寫時(shí)不能用a×b或ab表示

|a||b|cosθa·b0過關(guān)自診1.向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別?提示

向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量,而向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量.2.若|a|=3,|b|=4,a,b的夾角為135°,則a·b=(

)B3.已知向量|a|=10,|b|=12,且a·b=-60,則向量a與b的夾角為(

)B知識(shí)點(diǎn)2

向量a在向量b上的投影向量

投影

投影向量過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)向量a在向量b上的投影向量與向量b平行.(

)(2)向量a與向量b的數(shù)量積等于向量a與向量b在向量a上的投影向量的數(shù)量積.(

)√√2.若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角是120°,與b方向相同的單位向量為e,則向量a在向量b上的投影向量為

.

解析

向量a在向量b上的投影向量為|a|cos

θ

e=3×cos

120°e=-e.3.若a·b=-6,|a|=8,與a方向相同的單位向量為e,則向量b在向量a上的投影向量為

.

解析

向量b在向量a上的投影向量為知識(shí)點(diǎn)3

平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=

.

(2)a⊥b?

.

(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|.特別地,a·a=_______

或|a|=

.

常記作a2(4)|a·b|

|a||b|.|a|cosθa·b=0|a|2

≤過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若a·b=0,則a與b中至少有一個(gè)是零向量.(

)(2)若a·b>0,則a與b的夾角為銳角.(

)(3)對(duì)于任意向量a,都有a·a=|a|2.(

)2.已知|a|=7,則a·a=

.

3.在△ABC中,=0,則△ABC為

三角形.

××√49解析

a·a=|a|2=72=49.直角知識(shí)點(diǎn)4

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律

數(shù)乘的結(jié)合律

分配律

名師點(diǎn)睛1.向量數(shù)量積的運(yùn)算不適合約分,即a·b=a·c

b=c.2.向量數(shù)量積運(yùn)算也不適合結(jié)合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量.a·b=b·a

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

(a+b)·c=a·c+b·c過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)a·b-a·c=a·(b-c)=(b-c)·a.(

)(2)若a·c=b·c(c為非零向量),則a=b.(

)(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(

)2.設(shè)a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立嗎?√×√提示

因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積是實(shí)數(shù),所以(a·b)c是與c共線的向量,同理,a(b·c)是與a共線的向量,而a與c的關(guān)系不確定,所以這個(gè)式子不一定成立.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求平面向量的數(shù)量積角度1

數(shù)量積的簡(jiǎn)單計(jì)算【例1】

已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.規(guī)律方法

求向量的數(shù)量積時(shí),需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算,則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).變式訓(xùn)練1若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,則a的模為(

)A.2 B.4 C.6 D.12C解析

由(a+2b)·(a-3b)=-72,得a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-4|a|cos

60°-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,解得|a|=6(負(fù)值舍去).故選C.角度2

求向量的投影向量【例2】

已知|a|=4,e為單位向量,它們的夾角θ為,則向量a在向量e上的投影向量是

;向量e在向量a上的投影向量是

.

-2e規(guī)律方法

向量a在向量b上的投影向量的求法將已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos

θ

e(θ為向量a與向量b的夾角,e是與b方向相同的單位向量,且e=)中計(jì)算即可.變式訓(xùn)練2已知|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為60°,則向量a在向量b上的投影向量是

.

角度3

幾何圖形中向量數(shù)量積的計(jì)算

規(guī)律方法

平面向量的數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運(yùn)算問題,要充分利用圖形特點(diǎn)及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長(zhǎng)度的向量.(2)向量的夾角是由向量的方向確定的,在△ABC中,

的夾角不是角C,角A,角B,而是它們的補(bǔ)角.變式訓(xùn)練3已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則1探究點(diǎn)二向量模的相關(guān)問題角度1

利用數(shù)量積求向量的?！纠?】

(1)已知向量a,b滿足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60°,則|2a+b|=

.

解析

∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4|a|2+4|a||b|cos

60°+|b|2(2)已知向量a,b滿足|a|=,a與b的夾角為135°,|a+b|=,則|b|=

.

3解析

∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=5.∴|a|2+2|a||b|cos

135°+|b|2=5.∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3或|b|=-1(舍去).規(guī)律方法

向量模的求解方法根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得|a|=,這是求向量的模的一種方法.即要求一個(gè)向量的模,先求這個(gè)向量模的平方,再求它的算術(shù)平方根.對(duì)于復(fù)雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算術(shù)平方根即為|a+b|.變式訓(xùn)練4已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是(

)A角度2

與模有關(guān)的最值問題【例5】

(1)若平面向量a,b,c滿足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,則|b-c|的取值范圍是(

)B(2)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,則|a+b-c|的最小值為(

)A規(guī)律方法

向量模的最值問題的求法涉及向量模的最值問題,一般是把模平方,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)量的函數(shù),進(jìn)而求出最值.需要掌握向量模的一些簡(jiǎn)單幾何意義:①|(zhì)a|為正值,則說明當(dāng)表示向量的有向線段的起點(diǎn)確定后,其終點(diǎn)在以起點(diǎn)為圓心,以|a|為半徑的圓上運(yùn)動(dòng);②若|a+b|=|a-b|,則有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,則|a|=|b|.變式訓(xùn)練5若兩個(gè)單位向量a,b的夾角為120°,k∈R,則|a-kb|的最小值為(

)B探究點(diǎn)三利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問題【例6】

(1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為(

)A.30°

B.60° C.120° D.150°C解析

因?yàn)?2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.設(shè)a,b的夾角為θ,則2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cos

θ+|b|2=0,因此cos

θ=-,從而θ=120°.故選C.(2)[蘇教版教材例題]已知e1,e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,a=e1+2e2,b=5e1-4e2.求證:a⊥b.變式探究本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60°,且|a|=|b|,當(dāng)(a+2b)⊥(ka-b)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.解

因?yàn)?a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,規(guī)律方法

1.求平面向量夾角的方法

2.求向量的夾角,還可以結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)向量數(shù)量積的定義.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì).(3)向量數(shù)量積的運(yùn)算律.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)向量夾角共起點(diǎn);(2)向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516171819A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一(角度1)]若p與q是相反向量,且|p|=3,則p·q等于(

)A.9 B.0 C.-3 D.-9D解析

由已知得p·q=3×3×cos

180°=-9.123456789101112131415161718192.[探究點(diǎn)三]若平面向量a與b的夾角為120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,則|b|=(

)B12345678910111213141516171819A.3 B.-3 C.6 D.-6A12345678910111213141516171819D123456789101112131415161718195.(多選題)[探究點(diǎn)二]已知a,b,c是三個(gè)非零向量,則下列選項(xiàng)正確的有(

)A.|a·b|=|a||b|?a∥bB.a,b反向?a·b=-|a||b|C.a⊥b?|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|?|a·c|=|b·c|ABC解析

A.∵a·b=|a||b|cos

θ(θ為a與b的夾角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b為非零向量可得|cos

θ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正確.B.若a,b反向,則a,b的夾角為π,∴a·b=|a|·|b|cos

π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正確.C.當(dāng)a⊥b時(shí),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作

=b,則以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形,則該平行四邊形必為矩形,于是它的兩對(duì)角線長(zhǎng)相等,即有|a+b|=|a-b|.反過來,若|a+b|=|a-b|,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作

=b,則以O(shè)A,OB為鄰邊的四邊形為矩形,所以有a⊥b.故C正確.D.當(dāng)|a|=|b|但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí),就有|a·c|≠|(zhì)b·c|,反過來由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D錯(cuò)誤.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718196.[探究點(diǎn)三(角度2)·2023黑龍江哈爾濱期中]已知e1,e2是單位向量,且e1·e2=0,設(shè)向量a=λe1+μe2,當(dāng)λ=μ=1時(shí),<a,e1>=

;當(dāng)λ+μ=4時(shí),|a-e1|的最小值為

.

123456789101112131415161718197.[探究點(diǎn)一(角度1)]如圖所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,則

的值是

.

-1123456789101112131415161718198.[探究點(diǎn)三]已知平面上三個(gè)向量a,b,c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°.求證:(a-b)⊥c.證明

(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos

120°-|b||c|cos

120°故(a-b)⊥c.123456789101112131415161718199.[探究點(diǎn)一(角度2)·2023山東威海檢測(cè)]已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求|a+b|;(2)求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模.12345678910111213141516171819解

(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6.∴|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,12345678910111213141516171819A.等腰三角形

B.直角三角形C.等邊三角形

D.等腰直角三角形B級(jí)關(guān)鍵能力提升練A1234567891011121314151617181911.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,則|a-b|的最大值為(

)A.1 B.2 C.3 D.5C1234567891011121314151617181912.(多選題)設(shè)a,b,c是任意的非零向量,且它們相互不共線,給出下列四個(gè)選項(xiàng),其中正確的有(

)A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b不與c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2ACD

解析

根據(jù)向量數(shù)量積的分配律知,A正確;因?yàn)閇(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b與c垂直,B錯(cuò)誤;因?yàn)閍,b不共線,所以|a|,|b|,|a-b|組成三角形三邊,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正確;根據(jù)向量數(shù)量積的分配律以及性質(zhì)知,D正確.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181913.(多選題)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,設(shè),則下列結(jié)論正確的是(

)A.|a+b|=1 B.a⊥bC.(4a+b)⊥b D.a·b=-1CD

解析

由題意知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角是120°,故B錯(cuò)誤;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3,∴|a+b|=,故A錯(cuò)誤;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos

120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正確;a·b=1×2×cos

120°=-1,故D正確.1234567891011121314151617181914.已知a,b是單位向量,c=a+2b且a⊥c,則a·b=

,|c|=

.

1234567891011121314151617181915.已知向量e1,e2分別是與向量a,b方向相同的單位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量為-3e2,b在a上的投影向量為-e1,則a與b的夾角θ=

.

120°1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819解

∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|