5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲档谌n時（課件）高二數(shù)學(xué)課件（人教A版2019選擇性）

函數(shù)的極值與最大（小）值（第三課時）f

(x)<0yxOx1aby=f(x)極大值點兩側(cè)極小值點兩側(cè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x2注意:(1)

f

(x0)=0，x0不一定是極值點(2)只有f

(x0)=0且x0兩側(cè)單調(diào)性不同

，

x0才是極值點.

(3)求極值點，可以先求f

(x0)=0的點，再列表判斷單調(diào)性.結(jié)論：極值點處，f

(x)=01、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系若f’(x０)左正右負(fù)，則f(x０)為極大值；若f’(x０)左負(fù)右正，則f(x０)為極小值；若f’(x０)左右同號，則f(x０)無極值復(fù)習(xí)回顧2.求解函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f,(x)（3）求方程f,(x)=0的根（4）用方程f,(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（5）由f,(x)在方程f,(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況復(fù)習(xí)回顧

函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們與函數(shù)極值關(guān)系如何？新課引入極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。探究問題1：開區(qū)間上的最值問題oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)結(jié)論：在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值探究新知xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6你能找出函數(shù)在[a,b]上的極大值、極小值嗎?那最大值和最小值呢？結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間，[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。探究問題2：閉區(qū)間上的最值問題思考：（1）如果連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）有最值，在什么位

置取最值？答：在極值位置處。（2）如果連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上只有一個極值點，

那么這個極值點是否是最值點？如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上只有一個極值點，那么這個極值點必定是最值點。例如函數(shù)y=f(x)圖像如下：xoybay=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值并且在端點或極值點取得。所有極值連同端點函數(shù)值進行比較，最大的為最大值，最小的為最小值探究一（閉區(qū)間上的最值問題）x3xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟:①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.注意1)函數(shù)的最值概念是全局性的2)函數(shù)的最大值(最小值)唯一3)函數(shù)的最大值大于等于最小值4)函數(shù)的最值可在端點處取得追問1：函數(shù)最值與極值有什么關(guān)系？聯(lián)系：只要把函數(shù)y=f(x)的所有極值連同端點的函數(shù)值進行比較，就可以求出函數(shù)的最大值和最小值。區(qū)別：1、函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極大值、極小值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的。2、函數(shù)的極值可以有多個，但函數(shù)在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個。3、極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得；有最值未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取得必定是極值。追問2：為什么給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間？因為不能保證f(x)在開區(qū)間上有最大值和最小值（最值有可能在區(qū)間端點處取得）。

微辨析判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)閉區(qū)間上的函數(shù)一定有最值．(

)(2)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在區(qū)間端點處取得．(

)(3)若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值．(

)

×√√[練習(xí)]

求下列函數(shù)的最值．(1)求函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]的最值；1.求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點；2.計算端點值；3.比較確定最值探究新知[例題][大本例3]

已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．

[解析]

由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾．求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①當(dāng)a>0，x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示：探究新知由表可知，當(dāng)x＝0時，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②當(dāng)a<0時，同理可得，當(dāng)x＝0時，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.探究新知探究新知探究新知練習(xí)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．練習(xí)．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增．又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，∴f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值和最小值．∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最小值為－7.探究新知探究新知探究新知探究新知題型三求含參數(shù)的函數(shù)的最值[例]

已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．解析

(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)．(2)當(dāng)k－1≤0，即k≤1時，由(1)知函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k；當(dāng)0＜k－1＜1，即1＜k＜2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調(diào)遞減，在(k－1,1]上單調(diào)遞增．所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k－1≥1，即k≥2時，由(1)知函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.綜上可知，當(dāng)k≤1時，f(x)min＝－k；當(dāng)1＜k＜2時，f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1；當(dāng)k≥2時，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.題型三求含參數(shù)的函數(shù)的最值[例]

已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．[解析]

由題意知f(x)在(0,1)內(nèi)有極值點．因為f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，令f′(x)＝0，可得a＝x2.又因為x∈(0,1)，所以0＜a＜