6-1-線(xiàn)性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)

線(xiàn)性空間是線(xiàn)性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線(xiàn)性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類(lèi)事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間，進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．一、線(xiàn)性空間的定義

若對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的積，記作定義１設(shè)是一個(gè)非空集合，為實(shí)數(shù)域．如果對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的和，記作如果上述的兩種運(yùn)算滿(mǎn)足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱(chēng)為數(shù)域上的向量空間（或線(xiàn)性空間）．2．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．3．判別線(xiàn)性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿(mǎn)足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線(xiàn)性空間．說(shuō)明1．凡滿(mǎn)足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)為線(xiàn)性運(yùn)算．（１）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例１

實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線(xiàn)性空間，記作．線(xiàn)性空間的判定方法通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿(mǎn)足線(xiàn)性運(yùn)算規(guī)律．例４

正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線(xiàn)性空間．是一個(gè)線(xiàn)性空間.例５

在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線(xiàn)性空間．一般地例６

正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線(xiàn)性空間．（２）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足八條線(xiàn)性運(yùn)算規(guī)律．證明所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．下面一一驗(yàn)證八條線(xiàn)性運(yùn)算規(guī)律：所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線(xiàn)性空間．不構(gòu)成線(xiàn)性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７

個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體1．零元素是唯一的．證明

假設(shè)是線(xiàn)性空間V中的兩個(gè)零元素，由于所以則對(duì)任何，有二、線(xiàn)性空間的性質(zhì)2．負(fù)元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與，那么則有向量的負(fù)元素記為證明4．如果，則或.證明假設(shè)那么又同理可證：若則有線(xiàn)性空間的元素統(tǒng)稱(chēng)為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.線(xiàn)性空間是一個(gè)集合對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉所定義的加法及數(shù)