2021-2022學(xué)年新教材蘇教版必修第一冊-7.2.2-同角三角函數(shù)關(guān)系-學(xué)案

7．同角三角函數(shù)關(guān)系新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.理解同角三角函數(shù)根本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算2.會(huì)根據(jù)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式解決一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值求其余兩個(gè)三角函數(shù)值(簡稱“知一求二〞)及簡單的三角恒等式的證明問題、化簡問題邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算因?yàn)槿齻€(gè)三角函數(shù)值都是由角的終邊與單位圓交點(diǎn)所唯一確定的，所以終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)值一定有內(nèi)在聯(lián)系．我們不妨討論同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)值之間的關(guān)系．如圖，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)．[問題]你能根據(jù)圖形推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的關(guān)系式嗎？知識(shí)點(diǎn)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系關(guān)系式文字表述平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于eq\a\vs4\al(1)商數(shù)關(guān)系eq\f(sinα,cosα)＝tan_α同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切同角三角函數(shù)的根本關(guān)系解讀(1)注意“同角〞，這里“同角〞有兩層含義，一是“角相同〞，二是對(duì)“任意〞一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)形式無關(guān)，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立；(2)注意同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，sin2α＋cos2α＝1對(duì)一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)僅對(duì)α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．1．兩個(gè)公式成立的條件分別是什么？提示：公式sin2α＋cos2α＝1對(duì)α∈R成立，公式eq\f(sinα,cosα)＝tanα適用的條件為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z)).2．對(duì)任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．1．判斷正誤．(正確的畫“√〞，錯(cuò)誤的畫“×〞)(1)對(duì)?x∈R，sin24x＋cos24x＝1.()(2)對(duì)?x∈R，tanx＝eq\f(sinx,cosx).()(3)假設(shè)cosα＝0，那么sinα＝1.()答案：(1)√(2)×(3)×2．α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，那么cosα等于________．答案：－eq\f(4,5)3．cosα＝－eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，那么tanα＝________．答案：eq\f(12,5)4．化簡：(1＋tan2α)·cos2α等于________．答案：1利用同角根本關(guān)系式求值[例1](鏈接教科書第173頁例5)(1)假設(shè)sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，那么tanα的值等于()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)(2)tanα＝2，那么eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝________．[解析](1)因?yàn)棣翞榈谒南笙薜慕?，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))\s\up12(2))＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).(2)因?yàn)閠anα＝2，所以eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.[答案](1)D(2)3[母題探究](變設(shè)問)在本例(2)的條件下，求4sin2α－3sinαcosα－5cos2α的值．解：因?yàn)閠anα＝2，所以4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,1)＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.1．求三角函數(shù)值的方法(1)sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問題而對(duì)角θ分區(qū)間(象限)討論．2．角α的正切求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的方法(1)關(guān)于sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值；(2)假設(shè)無分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．[跟蹤訓(xùn)練]1．tanα＝－eq\f(1,2)，eq\f(π,2)<α<π，那么sinα＝()A.eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)解析：選D由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)，得cosα＝－2sinα.又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝eq\f(1,5).因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，所以sinα＝eq\f(\r(5),5).應(yīng)選D.2．(2021·溧陽市高一月考)tanα＝2，那么sinαcosα的值是()A．－eq\f(2,5) B．eq\f(2,5)C．－eq\f(8,5) D．eq\f(8,5)解析：選Bsinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(sinαcosα,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,22＋1)＝eq\f(2,5).3．eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11)，求以下各式的值：(1)eq\f(5cos2θ,sin2θ＋2sinθcosθ－3cos2θ)；(2)1－4sinθcosθ＋2cos2θ.解：∵eq\f(4sinθ－2cosθ,3sinθ＋5cosθ)＝eq\f(6,11)，∴eq\f(4tanθ－2,3tanθ＋5)＝eq\f(6,11)，解得tanθ＝2.(1)原式＝eq\f(5,tan2θ＋2tanθ－3)＝eq\f(5,5)＝1.(2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ＝eq\f(sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ－4tanθ＋3,1＋tan2θ)＝－eq\f(1,5).利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡[例2](鏈接教科書第174頁例7)化簡以下各式：(1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α)；(2)eq\f(tanα＋tanαsinα,tanα＋sinα)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,cosα)))·eq\f(sinα,1＋sinα).[解](1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.(2)原式＝eq\f(tanα〔1＋sinα〕,tanα＋tanαcosα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·eq\f(sinα,1＋sinα)＝eq\f(1＋sinα,1＋cosα)·eq\f(1＋cosα,cosα)·eq\f(sinα,1＋sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.三角函數(shù)式的化簡技巧(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，到達(dá)化繁為簡的目的；(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的局部化成完全平方式，然后去根號(hào)到達(dá)化簡的目的；(3)對(duì)于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，到達(dá)化簡的目的．[跟蹤訓(xùn)練]1．化簡eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα).解：eq\f(sinα,1＋sinα)－eq\f(sinα,1－sinα)＝eq\f(sinα〔1－sinα〕－sinα〔1＋sinα〕,〔1＋sinα〕〔1－sinα〕)＝eq\f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq\f(－2sin2α,cos2α)＝－2tan2α.2．假設(shè)eq\f(π,2)<α<π，化簡eq\f(cosα,\r(1－cos2α))＋eq\f(sinα\r(1－sin2α),1－cos2α).解：因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)，sinα＝eq\r(1－cos2α)，所以原式＝eq\f(cosα,sinα)＋eq\f(sinα〔－cosα〕,1－cos2α)＝eq\f(cosα,sinα)－eq\f(sinαcosα,sin2α)＝eq\f(cosα,sinα)－eq\f(cosα,sinα)＝0.利用同角三角函數(shù)關(guān)系證明[例3](鏈接教科書第174頁例8)求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[證明]法一：由tanα－sinα≠0，于是右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,〔tanα－sinα〕tanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,〔tanα－sinα〕tanαsinα)＝eq\f(tan2α〔1－cos2α〕,〔tanα－sinα〕tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,〔tanα－sinα〕tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，所以原等式成立．法二：因?yàn)樽筮叄絜q\f(tanαsinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右邊＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα〔1－cosα〕)＝eq\f(sin2α,sinα〔1－cosα〕)＝eq\f(sinα,1－cosα)，所以左邊＝右邊，原等式成立．證明三角恒等式常用的方法(1)從一邊開始，證得它等于另一邊，一般是由比擬復(fù)雜的一邊開始化簡到另一邊，其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性；(2)左右歸一法：即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子，其依據(jù)是等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等；(3)比擬法：即證左邊－右邊＝0或證eq\f(左邊,右邊)＝1；(4)綜合法：即由一個(gè)成立的等式(如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．[跟蹤訓(xùn)練]求證：eq\f(2sinxcosx－1,cos2x－sin2x)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1).證明：法一：∵左邊＝eq\f(2sinxcosx－〔sin2x＋cos2x〕,cos2x－sin2x)＝eq\f(－〔sin2x－2sinxcosx＋cos2x〕,cos2x－sin2x)＝eq\f(〔sinx－cosx〕2,sin2x－cos2x)＝eq\f(〔sinx－cosx〕2,〔sinx－cosx〕〔sinx＋cosx〕)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)＝eq\f(tanx－1,tanx＋1)＝右邊，∴原等式成立．法二：∵右邊＝eq\f(\f(sinx,cosx)－1,\f(sinx,cosx)＋1)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)，左邊＝eq\f(1－2sinxcosx,sin2x－cos2x)＝eq\f(〔sinx－cosx〕2,sin2x－cos2x)＝eq\f(〔sinx－cosx〕2,〔sinx－cosx〕〔sinx＋cosx〕)＝eq\f(sinx－cosx,sinx＋cosx)，∴左邊＝右邊，原等式成立.sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用[例4]sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，求：(1)sinαcosα；(2)sinα－cosα.[解](1)由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，平方得2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴sinαcosα＝－eq\f(12,25).(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，∴sinα－cosα＝±eq\f(7,5).sinα±cosα，sinαcosα求值問題，一般利用三角恒等式，采用整體代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：(1)(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(2)(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(3)(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(4)(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.[跟蹤訓(xùn)練]1．sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，那么sinαcosα等于()A.eq\f(\r(7),4) B．－eq\f(9,16)C．－eq\f(9,32) D．eq\f(9,32)解析：選C由得(sinα－cosα)2＝eq\f(25,16)，即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝eq\f(25,16)，又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sinαcosα＝eq\f(25,16)，∴sinαcosα＝－eq\f(9,32).應(yīng)選C.2．假設(shè)0<θ<π，sinθcosθ＝－eq\f(60,169)，求sinθ－cosθ.解：∵0<θ<π，sinθcosθ＝－eq\f(60,169)<0，∴sinθ>0，cosθ<0.∴sinθ－cosθ>0.∴sinθ－cosθ＝eq\r(〔sinθ－cosθ〕2)＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(60,169))))＝eq\r(\f(289,169))＝eq\f(17,13).1．以下四個(gè)結(jié)論中可能成立的是()A．sinα＝eq\f(1,2)且cosα＝eq\f(1,2)B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．α是第二象限角時(shí)，tanα＝－eq\f(sinα,cosα)解析：選B根據(jù)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)楫?dāng)α＝π時(shí)，sinα＝0且cosα＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．2．sinφ＝－eq\f(3,5)，且|φ|<eq\f(π,2)，那么tanφ＝()A．－eq\f(4,3) B．eq\f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．eq\f(3,4)解析：選C∵sinφ＝－eq\f(3,5)，∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a