四川省成都市青白江區(qū)南開為明學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE19-四川省成都市青白江區(qū)南開為明學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（每題5分，共12題60分）1.若復(fù)數(shù)滿意（是虛數(shù)單位），則的虛部為()A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，由此求得的虛部.【詳解】依題意，所以的虛部為.故答案為：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【詳解】由，解得，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員9場競賽所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.甲所得分?jǐn)?shù)的極差為22B.乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18C.兩人所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)相等D.甲所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)低于乙所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖，逐一分析選項(xiàng)，得到正確結(jié)果.【詳解】甲的最高分為33，最低分為11，極差為22，A正確；乙所得分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為18，B正確；甲、乙所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)都為22，C正確；甲的平均分為，乙的平均分為，甲所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)高于乙所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，D錯(cuò)誤，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)莖葉圖，求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，考查基本概念，基本計(jì)算的，屬于基礎(chǔ)題型.4.若實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最大值為（）A.-4 B.0 C.4 D.8【答案】D【解析】分析：由已知線性約束條件，作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，采納數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)的最大值．詳解：作出不等式組所對應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），令，則，表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，由有，當(dāng)此直線的縱截距有最大值時(shí)，有最大值，由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，縱截距有最大值，由有，即，此時(shí)，選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了簡潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題方法，屬于中檔題．5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】分析：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，求出，從而求出的值．詳解：由有，，由等差數(shù)列的性質(zhì)有，所以，又，所以，選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．在等差數(shù)列中，若，且，則．6.已知曲線(為參數(shù)).若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】分析：消參求出曲線C的一般方程：，再求出圓心到直線的距離，則弦長．詳解：依據(jù)，求出曲線C的一般方程為，圓心到直線的距離，所以弦長，選C.點(diǎn)睛：本題主要考查將參數(shù)方程化為一般方程，直線與圓相交時(shí)，弦長的計(jì)算，屬于中檔題．7.已知函數(shù)則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式，利用代入法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，（1），，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用代入法是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．8.中，角，，的對邊分別為．若向量，，且，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積結(jié)合正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，通過兩角和的公式化簡得到角的方程，得解．【詳解】由得，，由正弦定理得，，化為，即，由于，，又，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積和正弦定理，考查和角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.9.某汽車銷售公司統(tǒng)計(jì)了某款汽車行駛里程(萬公里)與修理保養(yǎng)費(fèi)用(萬元)的五組數(shù)據(jù)，并依據(jù)這五組數(shù)據(jù)求得與的線性回來方程為.由于工作人員疏忽，行駛8萬公里的數(shù)據(jù)被污損了，如下表所示.行駛里程(單位:萬公里)12458修理保養(yǎng)費(fèi)用(單位:萬元)0500.902.32.7則被污損的數(shù)據(jù)為（）A.3.20 B.3.6 C.3.76 D.3.84【答案】B【解析】分析：分別求出行駛里程和修理保養(yǎng)費(fèi)用的平均值，線性回來方程經(jīng)過樣本的中心點(diǎn)，這樣求出被污損的數(shù)據(jù)．詳解：設(shè)被污損的數(shù)據(jù)為，由已知有，而線性回來方程經(jīng)過點(diǎn)，代入有，解得，選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了線性回來方程恒過樣本的中心點(diǎn)，屬于簡潔題．回來直線方程肯定經(jīng)過樣本的中心點(diǎn)，依據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問題．10.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在處取得微小值”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)在處取得微小值時(shí)的的范圍，再由充分必要條件的判定得答案．【詳解】解：若在取得微小值，．令，得或．①當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞增，無最小值；②當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故在處取得微小值．綜上，函數(shù)在處取得微小值．“”是“函數(shù)在處取得微小值”的充分不必要條件．故選．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值，考查充分必要條件的判定，屬于中檔題．11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算的值并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得起先①②③④⑤故選．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．12.設(shè)函數(shù).若曲線與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由有，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)．?dāng)?shù)形結(jié)合求出的范圍．詳解：由有，明顯，在同一坐標(biāo)系中分別作出直線和函數(shù)的圖象，當(dāng)直線與相切時(shí)，求出，當(dāng)直線與相切時(shí)，求得，所以，又當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，一共還是4個(gè)交點(diǎn)，符合．，綜上，，選A.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的畫法，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，屬于中檔題．畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每題5分，共4題20分）13.已知曲線：（為參數(shù)）．若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】先表示出曲線C上的點(diǎn)到直線距離，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求|PQ|的最小值.【詳解】表示曲線為參數(shù)）上隨意點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型．14.已知是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，，且當(dāng)時(shí)，．則不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】令，依據(jù)據(jù)已知條件及導(dǎo)函數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系推斷出的單調(diào)性，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求出不等式的解集．【詳解】令，則，所以在上為單調(diào)遞增，且，所以，解得．由是定義在上的奇函數(shù)得，所以在為偶函數(shù)，且所以不等式的解集為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，依據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．15.已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，，則_______.【答案】6【解析】試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，又，所以，所以．故答案為6．【考點(diǎn)】等差數(shù)列基本性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個(gè)基本量，，，，中，已知其中三個(gè)量，可以依據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)須留意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.16.已知數(shù)列中，，，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系式得到數(shù)列的周期性，由此求得.詳解】依題意，，則.所以，，，.所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題（共6題，共70分）17.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱求出m的值，再依據(jù)求出n的值；（Ⅱ）問題等價(jià)于方程有三個(gè)不相等的實(shí)根，再求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值，分析得解.【詳解】解：（Ⅰ）.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，.又，解得.，.（Ⅱ）問題等價(jià)于方程有三個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，求的取值范圍.由（Ⅰ），得..令，解得.當(dāng)或時(shí)，，在，上分別單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.的極大值為，微小值為.實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想，通過數(shù)形結(jié)合將本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，可以直觀形象的解決問題．18.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用正弦定理邊弦的關(guān)系，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合已知條件，求得b值；依據(jù)cosB的值，求sin2B,cos2B的值，結(jié)合余弦兩角和公式，求的值．【詳解】解：（1）由，得，即．，．由余弦定理，得．，解得．（2），，則，．．【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，及兩角差余弦公式求值，屬于中等題.19.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面積為，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知條件，求得的值，由此求得的大小.（Ⅱ）利用三角形的面積求得，結(jié)合余弦定理列方程，化簡求得.【詳解】（Ⅰ）由，由正弦定理：有：，，，，，，而，.（Ⅱ）由即：（1）在中，由余弦定理：即：（2）（1）代入（2）得：【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.20.已知數(shù)列滿意：.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用配湊法證得數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）求得的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（Ⅰ）由已知，數(shù)列滿意：.是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.即：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；（2）問題等價(jià)于關(guān)于方程有唯一的解時(shí)，求的值．令，求得的導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象和已知條件可得的值；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以．又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）問題等價(jià)于關(guān)于的方程有唯一的解時(shí)，求的值．令，則．令，則，在上單調(diào)遞減．又，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減．的極大值為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又，當(dāng)方程有唯一的解時(shí)，．綜上，當(dāng)函數(shù)有唯一零點(diǎn)時(shí)，的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)性、極值和最值，考查換元法和構(gòu)造函數(shù)法，以及化簡運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），以原點(diǎn)為極