2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中核心考點(diǎn)專題03三角形有關(guān)的角含解析新人教版

PAGEPAGE1專題03三角形有關(guān)的角重點(diǎn)突破學(xué)問點(diǎn)一三角形的內(nèi)角內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。【備注】1.在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；2.等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；3.大邊對(duì)大角。4.等角的補(bǔ)角相等，等角的余角相等。三角形的內(nèi)角構(gòu)成：學(xué)問點(diǎn)二三角形的外角概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。

三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：1、三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；2、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；3、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角?？疾轭}型考查題型一三角形內(nèi)角和定理典例1．（2024·畢節(jié)市期末）在三角形中，最大的內(nèi)角不小于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】解：∵三角形的內(nèi)角和等于180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于60°．故選C．變式1-1．（2024·陽新縣陶港鎮(zhèn)陶港中學(xué)初一期中）三角形的三個(gè)內(nèi)角()A．至少有兩個(gè)銳角 B．至少有一個(gè)直角C．至多有兩個(gè)鈍角 D．至少有一個(gè)鈍角【答案】A【提示】依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°推斷即可．【詳解】解：依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，知：三個(gè)內(nèi)角可以都是60°，解除B；三個(gè)內(nèi)角可以都是銳角，解除C和D；三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角，不行能有兩個(gè)鈍角或兩個(gè)直角．故選A．【名師點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°．變式1-2．（2024·畢節(jié)市期末）如圖，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．75°【答案】C【提示】依據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出.【詳解】在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.故選C.【名師點(diǎn)撥】此題主要考查三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和的性質(zhì).變式1-3．（2024·黃岡市期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，它的頂角的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．50°或40° D．50°或80°【答案】D【提示】依據(jù)50°是頂角的度數(shù)或底角的度數(shù)分類探討，然后結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：①若頂角的度數(shù)為50°時(shí)，此時(shí)符合題意；②若底角的度數(shù)為50°時(shí)，則等腰三角形的頂角為：180°－50°－50°=80°綜上所述：它的頂角的度數(shù)是50°或80°故選D．【名師點(diǎn)撥】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，駕馭等邊對(duì)等角和分類探討的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．變式1-4．（2024·益陽市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（）A．360o B．250o C．180o D．140o【答案】B【提示】【提示】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B=110°，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C=110°，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故選B．【名師點(diǎn)撥】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，依據(jù)題意得出∠A+∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵.考查題型二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題典例2．（2024·渭南市期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，則∠D為（）A．85° B．75° C．60° D．30°【答案】B【解析】詳解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故選B．變式2-1．（2024·沈陽市期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，則∠B的度數(shù)為（）A．15° B．55° C．65° D．75°【答案】D【提示】依據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得∠ADE=15°，由平行線的性質(zhì)可得∠A=∠ADE=15°，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得∠B=75°．【詳解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故選D．【名師點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，嫻熟駕馭平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．變式2-2．（2024定西市期末）如圖，直線a∥b，直角三角形如圖放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，則∠2的度數(shù)為()A． B． C． D．【答案】B【提示】依據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠3=∠1+∠B，再依據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，由三角形的外角性質(zhì)可得，∠3=∠1+∠B=65°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°．故選：B．【名師點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并精確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．變式2-3．（2024·金昌市期中）如圖，BC⊥AE于點(diǎn)C，CD∥AB，∠B＝55°，則∠1等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】A【詳解】試題提示：利用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的性質(zhì)求得∠A=35°，然后利用平行線的性質(zhì)得到∠1=∠A=35°．解：如圖，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．又∵∠B=55°，∴∠A=35°．又CD∥AB，∴∠1=∠A=35°．故選A．變式2-4．（2024·呂梁市期中）如圖，直線被直線所截，且，過上的點(diǎn)A作AB⊥交于點(diǎn)B，其中∠1＜30°，則下列肯定正確的是()A．∠2＞120° B．∠3＜60° C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4【答案】D【提示】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，再依據(jù)平行線的性質(zhì)逐個(gè)推斷即可．【詳解】解：∵AB⊥l3，∴∠ABC=90°，∵∠1＜30°∴∠ACB=90°-∠1＞60°，∴∠2＜120°，∵直線l1∥l2，∴∠3=∠ABC＞60°，∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3＜60°，2∠3＞∠4，故選D．名師點(diǎn)撥：本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能求出各個(gè)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．考查題型三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題典例3．（2024·大石橋市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點(diǎn)F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，則∠BFC的度數(shù)為()A．118° B．119° C．120° D．121°【答案】C【解析】由三角形內(nèi)角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分線的性質(zhì)得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的內(nèi)角和定理得結(jié)果．解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分線，∴∠CBE=12∠ABC，∠BCD=1∴∠CBE+∠BCD=12∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故選C．變式3-1．（2024·河?xùn)|區(qū)期中）如圖，BO、CO是∠ABC、∠ACB的平分線，∠BOC=120°，則∠A=()A．60° B．120° C．110° D．40°【答案】A【解析】試題解析：因?yàn)镺B、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，所以∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，所以∠ABO+∠ACO=∠CBO+∠BCO=180°﹣120°=60°，所以∠ABC+∠ACB=60°×2=120°，于是∠A=180°﹣120°=60°．故選A．變式3-2．（2024·贛州市期中）如圖，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，那么∠BDC的度數(shù)是（）A．76° B．81° C．92° D．104°【答案】A【提示】依據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可得∠A+∠C+∠ABC=180°，然后依據(jù)△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，求得∠ABC=60°，然后依據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠ABD=30°，再依據(jù)三角形的外角性質(zhì)，可得∠BDC=∠A+∠ABD=76°.【詳解】∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，∴∠ABC=60°，∵BD為∠ABC平分線，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵∠BDC為△ABD外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，故選A【名師點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的角的和差關(guān)系，然后依據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可.變式3-3．（2024·達(dá)州市期末）已知AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，若∠B=40°，∠C=60°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【提示】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，依據(jù)角平分線定義求出∠BAD，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，∵AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，∴∠BAD=∠BAC=40°，∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-40°=100°，故選D．【名師點(diǎn)撥】考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BAD的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．變式3-4．（2024·重慶市期中）如圖，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，則∠BDC＝（）A．120° B．60° C．140° D．無法確定【答案】C【提示】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再依據(jù)∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度數(shù)，最終利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BDC的度數(shù)．【詳解】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°.故選C．【名師點(diǎn)撥】此題考查三角形的內(nèi)角和，解題時(shí)留意：三角形內(nèi)角和是180°．考查題型四三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用典例4．（2024·懷集縣期末）一個(gè)缺角的三角形ABC殘片如圖所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，則這個(gè)三角形殘缺前的∠C的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．45° D．40°【答案】C【提示】利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，且∠A=60°，∠B=75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.【名師點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和定理是?？嫉膶W(xué)問點(diǎn).變式4-1．（2024·淄博市期中）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的距離為A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里【答案】D【解析】提示：依題意，知MN＝40海里/小時(shí)×2小時(shí)＝80海里，∵依據(jù)方向角的意義和平行的性質(zhì)，∠M＝70°，∠N＝40°，∴依據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．∴NP＝NM＝80海里．故選D．變式4-2．（2024·玉林市期末）如圖所示，一個(gè)60o角的三角形紙片，剪去這個(gè)600角后，得到一個(gè)四邊形，則么的度數(shù)為（）A．120O B．180O. C．240O D．3000【答案】C【詳解】如圖，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠3+∠4+600=1800，又依據(jù)平角定義，∠1+∠3=1800，∠2+∠4=1800，∴1800－∠1+1800－∠2+600=1800.∴∠1+∠2=240O.故選C.變式4-3．（2024·黃石市期中）適合條件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【提示】此題隱含的條件是三角形的內(nèi)角和為180，列方程，依據(jù)題中角的關(guān)系求解，再推斷三角形的形態(tài)．【詳解】∵∠A=∠B=∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180，即6∠A=180，∴∠A=30，∴∠B=60，∠C=90，∴△ABC為直角三角形.故選B.【名師點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180.變式4-4．（2024株洲市期中）在中，若一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)角的差，則（）A．必有一個(gè)角等于 B．必有一個(gè)角等于C．必有一個(gè)角等于 D．必有一個(gè)角等于【答案】D【提示】先設(shè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為x，y，則可得(180°－x－y)，再分三種狀況探討，即可得到答案.【詳解】設(shè)三角形的一個(gè)內(nèi)角為x，另一個(gè)角為y，則三個(gè)角為(180°－x－y)，則有三種狀況：①②③綜上所述，必有一個(gè)角等于90°故選D.【名師點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，分狀況探討.考查題型五直角三角形的兩個(gè)銳角互余典例5．（2024·奉化市期中）已知直角三角形ABC，有一個(gè)銳角等于50°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】B【提示】由直角三角形的兩銳角互余，可得另一個(gè)角的度數(shù).【詳解】另一個(gè)銳角的度數(shù)為90°-50°=40°.，故選B.【名師點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形中兩個(gè)銳角互余，嫻熟駕馭這一性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.變式5-1．（2024·重慶市期中）在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點(diǎn)，∠EHF的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．130° D．120°【答案】D【提示】先依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再依據(jù)CF是AB上的高得出∠ACF的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=90°﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°，故選D．【名師點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等，嫻熟駕馭三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.變式5-2．（2024·龍巖市期末）如圖，AB∥CD，DB⊥BC，∠2=50°，則∠1的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．140°【答案】A【解析】試題提示：依據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠3，再依據(jù)兩直線平行，同位角相等解答．解：∵DB⊥BC，∠2=50°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣50°=40°，∵AB∥CD，∴∠1=∠3=40°．故選A．考查題型六三角形外角性質(zhì)典例6．（2024·泰安市期中）如圖，將一張含有角的三角形紙片的兩個(gè)頂點(diǎn)疊放在矩形的兩條對(duì)邊上，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】詳解：如圖，∵矩形的對(duì)邊平行，∴∠2=∠3=44°，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故選A．名師點(diǎn)撥：本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)留意：兩直線平行，同位角相等．變式6-1．（2024·雞東縣期中）已知直線a∥b，將一塊含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如圖所示的位置擺放，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．85° D．75°【答案】A【提示】如圖，先依據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠4的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠5的度數(shù)，最終依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解即可得.【詳解】如圖，∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，∴∠4=∠3+∠B=100°，∵a∥b，∴∠5=∠4=100°，∴∠2=180°﹣∠5=80°，故選A．【名師點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等學(xué)問，結(jié)合圖形敏捷運(yùn)用相關(guān)的學(xué)問解決問題是關(guān)鍵.變式6-2．（2024·雞西市期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A在四邊形BCDE的外部時(shí)，記∠AEB為∠1，∠ADC為∠2，則∠A、∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2＋∠A B．∠1＝2∠A＋∠2C．∠1＝2∠2＋2∠A D．2∠1＝∠2＋∠A【答