專題19 對角互補模型-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（原卷版）

專題19對角互補模型考向相似形對角互補模型【母題來源】2021年中考北京朝陽卷【母題題文】如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O在線段AB上（點O不與點A，B重合），且OB＝kOA，點M是AC延長線上的一點，作射線OM，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點N．（1）如圖1，當k＝1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當k＞1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且CMAC＜3k的式子表示）．【答案】（1）OM＝ON，如圖1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，OD＝OA．sin∠A＝OA．sin45°=2同理：OE=2∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM+∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON+∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，∠MDO∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．（2）如圖2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD=22OA，OE∴ODOE由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴OMON∴ON＝k?OM．（3）如圖3，設(shè)AC＝BC＝a，∴AB=2∴OB=2?kk+1a，OA=∴OE=22OB∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN=OEtan∠N=∵CE＝OD=22OA∴NC＝CE+EN=1k+1a+由（2）知：OMON∴∠M＝∠N，∵AMPN∴OMON∴∠P＝∠A＝45°，∠AMO＝∠N＝30°，∴PE＝OE=k∴PN＝PE+EN=kk+1a+設(shè)AD＝OD＝x，∴DM=3由AD+DM＝AC+CM得，（3+1∴x=3?12（AC+CM）＜3?1∴k＞1∴NCPN∴NCPC【試題解析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；（3）解Rt△EON和斜△AOM．【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；推理能力．【命題方向】一般設(shè)置為解答題，設(shè)置為壓軸題.【得分要點】如圖，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，則CE＝CD·tan方法：如圖，過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M、N易證△MCD∽△NCE，∴，即CE＝CD·tan1．（2021?浙江稠州二模）特例感知（1）如圖1，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點D，連接AD，點E為AB邊上一點，連接DE，作DF⊥DE交AC于點F，求證BE＝AF；探索發(fā)現(xiàn)（2）如圖2，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點D，連接AD，點E為BA延長線上一點，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長線于點F，求AF的長；類比遷移（3）如圖3，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點D，連接AD，點E為射線BA上一點（不與點A、點B重合），連接DE，將射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點F，當AE＝4AF時，求AF的長．2．（2021?安徽模擬）（1）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC中點，E、F分別為AB、AC上的動點，且∠EDF＝90°．求證：DE＝DF；（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求證：DF?DA＝DB?DE；②求EF的最小值．3．（2021?四川成都模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E為線段AD上一動點，連接CE，過點B作BF⊥CE，交射線CD于點F，垂足為P．（1）求證：△CED∽△BCF；（2）當F為CD的中點時，求tan∠BAP的值；（3）若△ABP為等腰三角形時，直接寫出DE的長．4．（2021?山東濟寧三模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子：矩形或正方形；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt