高一數(shù)學分層訓練AB卷(人教A版2019必修第二冊)第六章平面向量及其應(yīng)用【單元測試B卷】(原卷版+解析)

第六章平面向量及其應(yīng)用單元檢測B卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角的對邊分別為．若，則（

）A． B． C．1 D．2．下列命題中正確的個數(shù)是（

）①起點相同的單位向量，終點必相同；②已知向量，則四點必在一直線上；③若，則；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.A．0 B．1 C．2 D．33．若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（

）．A．7 B． C． D．14．已知向量，若，則實數(shù)m的值是（

）A．3或 B．或1 C．3或1 D．或5．在中，，則中最小的邊長為（

）A． B．C． D．6．如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點，從、兩點分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．7．我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（

）A． B． C． D．8．海倫不僅是古希臘的數(shù)學家，還是一位優(yōu)秀的測繪工程師．在他的著作《測地術(shù)》中最早出現(xiàn)了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式，這里，a，b，c分別為的三個角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點，形式很美．已知中，，則該三角形內(nèi)切圓半徑（

）A． B． C． D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使10．在單位圓中，是圓上的動點（可重合），則下列結(jié)論一定成立的有（

）A．B．在上的投影向量可能為C．D．若，則11．如圖，正方形的邊長為，動點在正方形內(nèi)部及邊上運動，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．點在線段上時，為定值B．點在線段上時，為定值C．的最大值為D．使的點軌跡長度為12．如圖，在中，，延長到點，使得，以為斜邊向外作等腰直角三角形，則（

）A．B．C．面積的最大值為D．四邊形面積的最大值為三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知向量，且，則__________.14．已知空間中非零向量，且，，，則_________15．如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________.16．已知，，且，則的取值范圍是___________.四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量與向量的夾角．18．在中，設(shè)角所對的邊長分別為，且．(1)求角；(2)若的面積，，求的值．19．已知(1)當k為何值時，與共線？(2)若，且A，B，C三點共線，求m的值．20．某農(nóng)戶有一個三角形地塊，如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點在上）用來養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測量得到.(1)若，求的長；(2)若，求的周長.21．在中，a、b、c分別為角A，B，C的對邊，平面內(nèi)點O滿足，且．(1)證明：點O為三角形的外心；(2)求的取值范圍．22．已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點，若，求的面積.第六章平面向量及其應(yīng)用單元檢測B卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角的對邊分別為．若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理角化邊，即可求得答案.【詳解】由題意在中，由正弦定理得，為外接圓半徑，故由,得，故選：B.2．下列命題中正確的個數(shù)是（

）①起點相同的單位向量，終點必相同；②已知向量，則四點必在一直線上；③若，則；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，【詳解】對于A，單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，對于B，向量，則四點共線或，故B錯誤，對于C，若，當時，不一定平行，故C錯誤，對于D，若三點共線，則，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，故選：A3．若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（

）．A．7 B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)三力平衡得到，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.【詳解】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同平方得，即即,解得故選：D.4．已知向量，若，則實數(shù)m的值是（

）A．3或 B．或1 C．3或1 D．或【答案】C【分析】根據(jù)向量坐標化的加減運算法則得到，再利用向量坐標化后的點乘公式得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】，，則，即解得或3.故選：C.5．在中，，則中最小的邊長為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】易得，再根據(jù)正弦定理計算最小角的對邊即可.【詳解】由題意，，故中最小的邊長為.由正弦定理，故.故選：B6．如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點，從、兩點分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得，進而即得.【詳解】在，，，，又，由正弦定理得：，，樹的高度為(m).故選：A．7．我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可.【詳解】由題意,即，所以故選：A.8．海倫不僅是古希臘的數(shù)學家，還是一位優(yōu)秀的測繪工程師．在他的著作《測地術(shù)》中最早出現(xiàn)了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式，這里，a，b，c分別為的三個角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點，形式很美．已知中，，則該三角形內(nèi)切圓半徑（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由及結(jié)合余弦定理可求得，用海倫公式求，由求.【詳解】，，又，，，，，，，又，，，故選：D.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（

）A．若實數(shù)m，n使，則B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使【答案】AB【分析】根據(jù)基底的定義逐項判斷即可.【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.故選:AB.10．在單位圓中，是圓上的動點（可重合），則下列結(jié)論一定成立的有（

）A．B．在上的投影向量可能為C．D．若，則【答案】BC【分析】對選項A，D，根據(jù)平面向量的加減運算即可判斷A，D錯誤，對選項B，根據(jù)當所成角為時，在上的投影向量為，即可判斷B正確，對選項C，根據(jù)平面向量數(shù)量積概念即可判斷C正確.【詳解】對選項A，，故A錯誤.對選項B，在上的投影向量為，若，則，即所成角為.所以當所成角為時，在上的投影向量為，故B正確.對選項C，，因為是單位圓上的動點（可重合），所以，所以，故C正確.對選項D，因為，所以，所以，故D錯誤.故選：BC11．如圖，正方形的邊長為，動點在正方形內(nèi)部及邊上運動，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．點在線段上時，為定值B．點在線段上時，為定值C．的最大值為D．使的點軌跡長度為【答案】AC【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，設(shè)點，利用平面向量的坐標運算逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設(shè)點，則，，，，當點在線段上時，，，故A正確；當點在線段上時，不是定值，不為定值，故B錯誤；由得，則，，所以，故當時，即當點與點重合時，取得最大值，故C正確；由得，直線交軸于點，交軸于點，所以，使的點軌跡為線段，且，故D錯誤.故選：AC.12．如圖，在中，，延長到點，使得，以為斜邊向外作等腰直角三角形，則（

）A．B．C．面積的最大值為D．四邊形面積的最大值為【答案】ACD【分析】A選項：利用余弦定理列等式即可；B選項：由題意得的范圍，即可得到的范圍；C選項：根據(jù)幾何的知識得到當時，最大，利用三角形面積公式求面積即可；D選項：將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成，得到面積，再利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】在中，由余弦定理得，A正確；，則，所以，B錯誤；易得當時，取最大值，C正確；，其中，D正確．故選：ACD.三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知向量，且，則__________.【答案】【分析】根據(jù)向量平行列出方程，求出m的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：-114．已知空間中非零向量，且，，，則_________【答案】【分析】將平方，結(jié)合數(shù)量積以及模的計算，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，故答案為：.15．如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________.【答案】7【分析】根據(jù)四點共圓可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【詳解】∵四點共圓，圓內(nèi)接四邊形的對角和為﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故答案為：716．已知，，且，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題意，均在圓心為原點，半徑為2的圓上，再根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合幾何意義分析最值求解即可.【詳解】由題意，，故均在圓心為原點，半徑為2的圓上.①當為直徑時，，又為在直徑上的投影，故，此時；②當不為直徑時，，設(shè)，數(shù)形結(jié)合可得在上的投影，故，即，故當，時有最小值，此時.綜上可得的取值范圍是.故答案為：四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量與向量的夾角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算求向量的模即可；（2）由向量的模，根據(jù)向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化求向量的夾角即可.【詳解】（1）由題知，，所以，所以.（2）由題知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因為，向量與向量的夾角為.18．在中，設(shè)角所對的邊長分別為，且．(1)求角；(2)若的面積，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角，或余弦定理角化邊解決即可；（2）根據(jù)題意與面積公式求得，，結(jié)合余弦定理得，由正弦定理得，即可解決.【詳解】（1）解法一：因為，由正弦定理得：所以因為，所以，即因為，所以．解法二：因為，由余弦定理得：整理得，即又由余弦定理得，所以，即因為，所以．（2）由（1）得，因為的面積，所以，所以，由于，所以，又由余弦定理：，所以．所以，所以由正弦定理得，所以．19．已知(1)當k為何值時，與共線？(2)若，且A，B，C三點共線，求m的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先求出與的坐標，然后利用兩向量共線列方程可求出的值；（2）由題意可得和共線，列方程可求得m的值．【詳解】（1）因為所以，，因為與共線，所以，解得；（2）因為所以，，因為A，B，C三點共線，所以，解得.20．某農(nóng)戶有一個三角形地塊，如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點在上）用來養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測量得到.(1)若，求的長；(2)若，求的周長.【答案】(1)4(2)【分析】（1）在中應(yīng)用正弦定理得出的長；（2）由結(jié)合面積公式得出，再由余弦定理得出，，進而得出的周長.【詳解】（1）解：在中，，且，所以.因為，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因為，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因為，所以.在中，由余弦定理可得所以的周長為.21．在中，a、b、c分別為角A，B，C的對邊，平面內(nèi)點O滿足，且．(1)證明：點O為三角形的外心；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）已知，根據(jù)向量的運算可得，得證點O為三角形的外心.（2）延長AO交外接圓于點D，則AD是圓O的直徑，可得，，利用向量的加減和數(shù)量積的運算求得，因為，所以，求出二次函數(shù)的值域即可.【詳解】（1）證明：由可得：，所以，即，同理：，所以，所以點O為三角形的外心.（2）由于O是三角形外接圓的圓心，故O是三邊中垂線的交點．如圖所示，延長AO交外接圓于點D，則AD是圓O的直徑．所以，，．所以，