歷年初中數學競賽試題培訓課件

初中數學競賽專項訓練

1、一個六位數，如果它的前三位數碼與后三位數碼完全相同，順序也相同，由此六位數

可以被()整除。

A.IllB.1000C.1001D.1111

解：依題意設六位數為abcabc,貝!]abcabc=ax105+bx104+cx103+ax102+bx10

+c=axl02(103+l)+bxl0(103+l)+c(103+1)=(axlO3+bxlO+c)

(103+1)=1001(axlCP+bxlO+c),而axlO3+bxlO+c是整數，所以能被

1001整除。故選C

方法二：代入法

2、若5=-...........―...............—,則S的整數部分是

----------1------------F...................

198019812001

解:因1981.1982……2001均大于1980所以S>——=幽~=90，又1980、

122

22x------乙乙

1980

1981……2000均小于2001，所以S<——i——=—=90—,從而知S的整

”12222

22x------

2001

數部分為90。

3、設有編號為1、2、3……100的100盞電燈，各有接線開關控制著，開始時，它們都

是關閉狀態(tài)，現有100個學生，第1個學生進來時，凡號碼是1的倍數的開關拉了一

下，接著第二個學生進來，由號碼是2的倍數的開關拉一下，第n個(n4100)學生

進來，凡號碼是n的倍數的開關拉一下，如此下去，最后一個學生進來，把編號能被

100整除的電燈上的開關拉了一下，這樣做過之后，請問哪些燈還亮著。

解：首先，電燈編號有幾個正約數，它的開關就會被拉幾次，由于一開始電燈是關的，

所以只有那些被拉過奇數次的燈才是亮的，因為只有平方數才有奇數個約數，所以那

些編號為1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盞燈是亮的。

4、某商店經銷一批襯衣，進價為每件m元，零售價比進價高a%,后因市場的變化，該

店把零售價調整為原來零售價的b%出售，那么調價后每件襯衣的零售價是()

A.m(l+a%)(l-b%)元B.ma%(l-b%)元

C.m(l+a%)b%元D.m(l+a%b%)元

解：根據題意，這批襯衣的零售價為每件m(1+a%)元，因調整后的零售價為原零售

價的b%,所以調價后每件襯衣的零售價為m(1+a%)b%元。

應選C

5、如果a、b、c是非零實數，且a+b+c=O,那么」L+2+E+*S的所有可能

Ia||b||c||abc\

的值為()

A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-2

解：由已知，a,b,c為兩正一負或兩負一正。

①當a,b,c為兩正一負時：

abc<abcabcabc八

——+——+——=1,-------二一1所以——+——+——+-----=0；

|a||bIIcIIabc\\a\\b\\c\\abc\

②當a,b,c為兩負一正時:

abc，abc,abcabc八

——+——+——=-1,-------=1所以——+——+——+-----=0

|a||bIIcIIabc\\a\\b\\c\\abc\

由①②知=ci+三h+三c+?cihc所有可能的值為0。

Ia||bIIc\Iabc\

應選A

6、在AABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若NB=60°,貝------------1--------的----

a+bc+b

值為)

A.1B.V2

2虧

C.1D.叵

CJ3

解:過A點作AD，CD于D,在RtABDA中,則于NB=60°,所以DB=—,AD=—Co

22

C3

在RfADC中，DC2=AC2-AD2，所以有(a--)2=b2--C2，整理得a2+c2=b2

24

cac2+cb+a1+aba1+c2+ab+bc

+ac,從而有---1---=---------=---------=1

a+bc+b(〃+Z?)(c+Z?)ac+ab+bc+b1

應選C

7、設a<b<0,a2+b2=4ab,則…的值為

a-b

()

A.V3B.V6C.2D.3

解：因為(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab，由于a<b<0，得a+Z;=—j6aGa-b=->j2ab,

應選A

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則多項式

a2+b2+c2-ab-bc-ca的值為

()

A.0B.1C.2D.3

u~+b~+c2—cib—be—ca=—^)+(6—c)2+(c—a)~],

又—b=-1,b—c=-1,c—a=2

.,-M^=1[(-l)2+(-l)2+22]=3

9、已知abc/0,且a+b+c=0,貝U代數式的值是()

becaab

A.3B.2C.1D.0

一S+c)?a+-(a+c)?b+-(a+。)?c

解:原式=

beacab

,aa、,bb、,cc、

=—(：+—)—(一+—)—(一+)

bcacab

abc

=—+—+—=3

abc

10、某商品的標價比成本高P%,當該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價的折扣

(即降價的百分數)不得超過d%,則d可用p表示為_________

解：設該商品的成本為a，則有a(l+p%)(l-d%)=a，解得d=

100+p

11、已知實數z、v、z滿足x+y=5及z2=xy+y-9,則x+2y+3z=

解：由已知條件知(x+1)+y=6,(x+l>y=z2+9,所以x+l,y是t2-6t+z2+9=0

的兩個實根，方程有實數解，貝必=(-6)2-4(z2+9)=-4z2>0,從而知z=0,

解方程得x+l=3,y=3。所以x+2y+3z=8

12.氣象爰好者孔宗明同學在x(x為正整數)天中觀察到：①有7個是雨天；②有5個

下午是晴天；③有6個上午是晴天；④當下午下雨時上午是晴天。則x等于()

A.7B.8C.9D.10

選C。設全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由題可

得關系式a=0①，b+d=6②,c+d=5③,a+b+c=7④，②+③-④得2d-a=4,即d

=2,故b=4,c=3,于x=a+b+c+d=9。

13、有編號為①、②、③、④的四條賽艇，其速度依次為每小時匕、匕、匕、以千米，

且滿足/>彩>匕>』>0,其中，V水為河流的水流速度（千米/小時），它們在河

流中進行追逐賽規(guī)則如下:（1）四條艇在同一起跑線上，同時出發(fā)，①、②、③是逆

流而上，④號艇順流而下。（2）經過1小時，①、②、③同時掉頭，追趕④號艇，誰

先追上④號艇誰為冠軍，問冠軍為幾號？

|飛|：出發(fā)1小時后,①、②、③號艇與④號艇的距離分別為

S,=［（匕—v水）+（v水+%）］x1=匕+v4

各艇追上④號艇的時間為

t=匕+.=-+.=h2V4

'（匕+丫水）一0水+~）匕—匕匕一丫4

對V］>%>匕>匕有/1<,2<,3，即①號艇追上④號艇用的時間最小，①號是冠

軍。

14.有一水池，池底有泉水不斷涌出，要將滿池的水抽干，用12臺水泵需5小時，用10

臺水泵需7小時，若要在2小時內抽干，至少需水泵幾臺？

解:設開始抽水時滿池水的量為x，泉水每小時涌出的水量為y，水泵每小時抽水量為z,

2小時抽干滿池水需n臺水泵，則

x+5y=5x122

x+7y=7xl02

x+2y<2nz

尤=35z

由①②得，代入③得：35z+10z<2nz

、y=5z

■.n?22,,故n的最小整數值為23。

2

答：要在2小時內抽干滿池水，至少需要水泵23臺

15.某賓館一層客房比二層客房少5間，某旅游團48人，若全安排在第一層，每間4人,

房間不夠，每間5人，則有房間住不滿；若全安排在第二層，每3人，房間不夠，每

間住4人，則有房間住不滿，該賓館一層有客房多少間？

解：設第一層有客房x間，則第二層有(x+5)間，由題可得

4%<48<5%①

<3(x+5)<48<4(x+5)②

」,'4x<483

由①得：〈，即9—<x<12

48<5x5

3(%+5)<48

由②得：,即7<%<n

,48<4(%+5)

3

???原不等式組的解集為9-<%<11

:整數x的值為尤=10。

答：一層有客房10間。

16、某生產小組開展勞動競賽后，每人一天多做10個零件，這樣8個人一天做的零件

超過200個，后來改進技術，每人一天又多做27個零件，這樣他們4個人一天所做零

件就超過勞動競賽中8個人做的零件，問他們改進技術后的生產效率是勞動競賽前的幾

倍？

解：設勞動競賽前每人一天做x個零件

一j8(x+10)>200

由題意

14(x+10+27)>8(x+10)

解得15<x<17

「X是整數，x=16

(16+37)-16*3.3

故改進技術后的生產效率是勞動競賽前的3.3倍。

初中數學競賽專項訓練(5)

(方程應用)

一、選擇題：

1、甲乙兩人同時從同一地點出發(fā)，相背而行1小時后他們分別到達各自的終點A與B,

若仍從原地出發(fā),互換彼此的目的地，則甲在乙到達A之后35分鐘到達B,甲乙的

速度之比為()

A.3:5B.4:3C,4:5D.3:4

2、某種產品按質量分為10個檔次，生產最低檔次產品，每件獲利潤8元，每提高一個

檔次，每件產品利潤增加2元，用同樣工時，最低檔次產品每天可生產60件，提高

一個檔次將減少3件，如果獲利潤最大的產品是第R檔次（最低檔次為第一檔次，檔

次依次隨質量增加），那么R等于（）

A.5B.7C.9D.10

3、某商店出售某種商品每件可獲利m元，利潤為20%（利潤=售價一進價）,若這種商

進價

品的進價提高25%,而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利m元，則提價后

的利潤率為（）

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

4、某項工程，甲單獨需a天完成，在甲做了c（c<a）天后，剩下工作由乙單獨完成還

需b天，若開始就由甲乙兩人共同合作，則完成任務需（）天

A.cB.abC.a+b-cD.be

a+ba+b—c2a+b+c

5、A、B、C三個足球隊舉行循環(huán)比賽，下表給出部分比賽結果：

球隊比賽場次勝負平進球數失球數

A22場1

B21場24

C237

則：A、B兩隊比賽時，A隊與B隊進球數之比為（）

A.2:0B.3:1C.2:1D.0:2

6、甲乙兩輛汽車進行千米比賽，當甲車到達終點時，乙車距終點還有a千米（0<a<

50）現將甲車起跑處從原點后移a千米，重新開始比賽，那么比賽的結果是

（）

A.甲先到達終點B.乙先到達終點

C.甲乙同時到達終點D.確定誰先到與a值無關

7、一只小船順流航行在甲、乙兩個碼頭之間需a小時，逆流航行這段路程需b小時，那

么一木塊順水漂流這段路需（）小時

A2abB2abcabDab

a—bb—aa-bb—a

8、A的年齡比B與C的年齡和大16A的年齡的平方比B與C的年齡和的平方大1632,

那么A、B、C的年齡之和是（）

A.210B.201C.102D.120

二、填空題

1、甲乙兩廠生產同一種產品，都計劃把全年的產品銷往濟南，這樣兩廠的產品就能占有

311

濟南市場同類產品的;，然而實際情況并不理想，甲廠僅有；的產品，乙廠僅有彳的

423

產品銷到了濟南，兩廠的產品僅占了濟南市場同類產品的g,則甲廠該產品的年產量

與乙廠該產品的年產量的比為_____________

2、假期學校組織360名師生外出旅游，某客車出租公司有兩種大客車可供選擇，甲種

客車每輛有40個座位，租金400元;乙種客車每輛有50個座位，租金480元，則

租用該公司客車最少需用租金______元。

3、時鐘在四點與五點之間，在_____________時刻（時針與分針）在同一條直線上？

4、為民房產公司把一套房子以標價的九五折出售給錢先生，錢先生在三年后再以超出房

子原來標價60%的價格把房子轉讓給金先生，考慮到三年來物價的總漲幅為40%,

則錢先生實際上按_________%的利率獲得了利潤（精確到一位小數）

5、甲乙兩名運動員在長100米的游泳池兩邊同時開始相向游泳，甲游100米要72秒，

乙游100米要60秒，略去轉身時間不計，在12分鐘內二人相遇___次。

6、已知甲、乙、丙三人的年齡都是正整數，甲的年齡是乙的兩倍，乙比丙小7歲，三人

的年齡之和是小于70的質數，且質數的各位數字之和為13,則甲、乙、丙三人的年

齡分別是______________

三、解答題

2

1、某項工程，如果由甲乙兩隊承包，2二天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊承包，

3：天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2三天完成，需付160000元，

47

現在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少？

2、甲、乙兩汽車零售商（以下分別簡稱甲、乙）向某品牌汽車生產廠訂購一批汽車，甲

開始定購的汽車數量是乙所訂購數量的3倍，后來由于某種原因，甲從其所訂的汽車

中轉讓給乙6輛，在提車時，生產廠所提供的汽車比甲、乙所訂購的總數少了6輛，

最后甲所購汽車的數量是乙所購的2倍，試問甲、乙最后所購得的汽車總數最多是多

少量？最少是多少輛？

3、8個人乘速度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站，每輛車乘4人（不包括司機），其

中一輛小汽車在距離火車站15km的地方出現故障，此時距停止檢票的時間還有42

分鐘。這時惟一可利用的交通工具是另一輛小汽車，已知包括司機在內這輛車限乘5

人，且這輛車的平均速度是,人步行的平均速度是試設計兩種方案,

60km/h5km/ho

通過計算說明這8個人能夠在停止檢票前趕到火車站。

4、某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時到達學校，接參觀的師

生立即出發(fā)到縣城，由于汽車在赴校途中發(fā)生了故障，不得不停車修理，學校師生等到7

時10分仍未見汽車來接，就步行走向縣城，在行進途中遇到了已修理好的汽車，立即上

車趕赴縣城，結果比原來到達縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6

倍，問汽車在途中排除故障花了多少時間？

數學競賽專項訓練（5）方程應用參考答案

一、選擇題

、。解：設甲的速度為匕千米/時，乙的速度為千米/時，根據題意知，從出發(fā)地

1Dv2

點到A的路程為匕千米，到B的路程為匕千米，從而有方程:

—-----=—，化簡得12（」）2+7（，）—12=0，解得，=—（」=—不合題

匕%60v2v2v24V23

意舍去I應選D。

2、C。解：第k檔次產品比最低檔次產品提高了（k-1）個檔次，所以每天利潤為

y=[60-3（^-1）][8+2（k-1）]

=-6（左-9>+864

所以，生產第9檔次產品獲利潤最大，每天獲利864元。

3、C。解：若這商品原來進價為每件a元，提價后的利潤率為%%,

則1C=八2解這個方程組，得X=16,即提價后的利潤率為16%。

上〃=（1+25%）人尤％

4、B。解：設甲乙合作用x天完成。

1_￡

由題意：d+—2）x=1,解得X=一曲。故選B。

aba+b-c

5、Ao解：A與B比賽時，A勝2場，B勝。場，A與B的比為2:0。就選A。

6、A。解：設從起點到終點S千米，甲走（s+a）千米時，乙走x千米

(s—a)(s+a)a1

S：（S—〃）=（S+〃）：%/.X=------------s----

SS

sa

a?〉0s〉0—>0s----<s即用+而千米I

as

2

乙走千米。甲先至Ko故選

S

7、B。解：設小船自身在靜水中的速度為v千米/時，水流速度為x千米/時，甲乙之間

的距離為S千米，于是有v+x=-,丫-X=:求得工=”三竺所以2=普。

ab2abxb-a

8、Co解：設A、B、C各人的年齡為A、B、C,則A=B+C+16①

A2=(B+C)2+1632②由②可得(A+B+C)(A-B-C)=1632③，由①得

A-B-C=16④，①代入③可求得A+B+C=102

二、填空題

1、2：L解甲廠該產品的年產量為x,乙廠該產品的年產量為y。

3

貝U：J+；=],解得x=2y，x:y=2:l

—x+—y—

23-3

2、3520。解：因為9輛甲種客車可以乘坐360人，故最多需要9輛客車;又因為7輛

乙種客車只能乘坐350人，故最多需要8輛客車。

①當用9輛客車時，顯然用9輛甲種客車需用租金最少，為400x9=3600元；

②當用8輛客車時，因為7輛甲種客車，1輛乙種客車只能乘坐40x7+50=330人，

而6輛甲種客車，2輛乙種客車只能乘坐40x6+50x2=340人，5輛甲種客車，3

輛乙種客車只能乘坐40x5+50x3=350人，4輛甲種客車,4輛乙種客車只能乘坐

40x4+50x4=360人，所以用8輛客車時最少要用4輛乙種客車，顯然用4輛甲

種客車,4輛乙種客車時需用租金最少為400x4+480x4=3520元。

96

3、4點21n分或4點54a分時，兩針在同一直線上。

解：設四點過九分后，兩針在同一直線上，

19

若兩針重合，則6x=120+7X,求得x=21—分，

211

若兩針成180度角，則6x=120+：x+180,求得x=54三分。

211

96

所以在4點211分或4點54n分時，兩針在同一直線上。

4、20.3。解：錢先生購房開支為標價的95%,考慮到物價上漲因素，錢先生轉讓房子

1+60%

的利率為-1=?0.203=20.3%

95%(1+40%)

5、共11次。

6、30歲、15歲、22歲。

解：設甲、乙、丙的年齡分別為x歲、y歲、z歲，貝

x=2y①

<y=2-7②

x+y+z<70且x+y+z為質數③

顯然x+y+z是兩位數，而13=4+9=5+8=6+7

=x+y+z只能等于67④。由①②④三式構成的方程組，得x=30,y=15,

z=22。

三、解答題

1、設甲、乙、丙單獨承包各需X、y、Z天完成，

“15

--1--=——

xy12（-

,x=4

114

貝（］1—I—=—解得Jy=6

,z15z=10

117i

—I—二—

、zx20

再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需M、V、卬元，

y(M+V)=180000

u=45500

則—(v+w)=150000,解得＜v=29500

4

w=1050C

y(w+M)=160000

于是，甲隊單獨承包費用是45500x4=182000（元），由乙隊單獨承包費用是29500

義6=177000（元），而丙不能在一周內完成，所以，乙隊承包費最少。

2、解：設甲、乙最后所購得的汽車總數為x輛，在生產廠最后少供的6輛車中，甲少要

了y輛(0”W6),乙少要了(6-y)輛，則有

31

-(x+6)-6-y=2[-(x+6)+6-(6-y)],整理后得x=18+12y。

4'4''

當y=6時，》最大，為90;當y=0時，x最小為18。

所以甲、乙購得的汽車總數至多為90輛，至少為18輛。

3、解：［方案一］:當小汽車出現故障時，乘這輛車的4個人下車步行，另一輛車將車內

的4個人送到火車站，立即返回接步行的4個人到火車站。

設乘出現故障汽車的4個人步行的距離為加〃，根據題意，有

x_15+15-x

5--60

30

解得x=一,因此這8個人全部到火車站所需時間為

13

里+5+（15—型）+60=至（小時）=40—（分鐘）＜42（分鐘）

13135213

故此方案可行。

［方案二］：當小汽車出現故障時，乘這輛車的4個人下車步行，另一輛車將車內的4

個人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外4個

人，使得兩批人員最后同時到達車站。

分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，D為無故障汽車人員下車地

點，C為有故障汽車人員上車地點。因此，設AC=BD=y，有

N=15y：:5—2.y解得丫=2。因此這8個人同時到火車站所需時間為

560

士+^^="（小時）=37（分鐘）〈42（分鐘），故此方案可行。

56060

ACDB

????

故障點火車站

4、解：假定排除故障花時％分鐘，如圖設點A為縣城所在地，點C為學校所在地，點B

為師生途中與汽車相遇之處。在師生們晚到縣城的30分鐘中，有10分鐘是因晚出發(fā)

造成的，還有20分鐘是由于從C到B步行代替乘車而耽誤的，汽車所晚的30分鐘,

一方面是由于排除故障耽誤了九分鐘，但另一方面由于少跑了B到C之間的一個來回

而省下了一些時間，已知汽車速度是步行速度的6倍，而步行比汽車從C到B這段距

20

離要多花20分鐘，由此汽車由C到B應花丁二=4（分鐘），一個來回省下8分鐘，

6-1

所以有“8=30x=38即汽車在途中排除故障花了38分鐘。

ABe

初中數學競賽專項訓練（7）

（邏輯推理）

一、選擇題：

1、世界杯足球賽小組賽，每個小組4個隊進行單循環(huán)比賽，每場比賽勝隊得3分，敗隊

得。分，平局時兩隊各得1分，小組賽完以后，總積分最高的兩個隊出線進入下輪比

賽，如果總積分相同，還要按凈勝球排序，一個隊要保證出線，這個隊至少要積

（）

A.6分B.7分C.8分D.9分

2、甲、乙、丙三人比賽象棋，每局比賽后，若是和棋，則這兩個人繼續(xù)比賽，直到分出

勝負，負者退下，由另一個與勝者比賽，比賽若干局后，甲勝4局，負2局；乙勝3

局，負3局，如果丙負3局j那么丙勝)

A.0局B.1局C.2局D.3局

3、已知四邊形ABCD從下列條件中①ABIICD②BCllAD③AB=CD@BC=AD

⑤NA=NC⑥NB=ND,任取其中兩個，可以得出"四邊形ABCD是平行四邊形"

這一結論的情況有（）

A.4種B.9種C.13種D.15種

4、某校初三兩個畢業(yè)班的學生和教師共100人,一起在臺階上拍畢業(yè)照留念,攝影師要

將其排列成前多后少的梯形陣（排數23）,且要求各行的人數必須是連續(xù)的自然數，

這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空檔處，那么滿足上述要求的排法的方

案有)

A.1種B.2種C.4種D.0種

5、正整數n小于100，并且滿足等式「乃［+「4］+「衛(wèi)］=〃，其中國表示不超過x的最

236

大整數，這樣的正整數門有（）個

A.2B.3C.12D.16

6、周末晚會上，師生共有20人參加跳舞，其中方老師和7個學生跳舞，張老師和8個

學生跳舞……依次下去，一直到何老師，他和參加跳舞的所有學生跳過舞，這個晚會

上參加跳舞的學生人數是（）

A.15B.14C.13D.12

7、如圖某三角形展覽館由25個正三角形展室組成，每兩個相鄰展室（指

有公共邊的小三角形）都有門相通，若某參觀者不愿返回已參觀過的

展室（通過每個房間至少一次），那么他至多能參觀（）個展室。

A.23B.22C.21D.20

8、一副撲克牌有4種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，最小要抽（）張才

能保證有4張牌是同一花色的。

A.12B.13C.14D.15

二、填空題：

1、觀察下列圖形：

根據①②③的規(guī)律，圖④中三角形個數___________

2、有兩副撲克牌，每副牌的排列順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、

紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花花色的牌又按A,1,2,3,……J,Q,K

的順序排列，某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一

張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，……如此下

去，直到最后只剩下一張牌，則所剩的這張牌是________

3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數字一共可組成_________個能被5整除

的三位數

4、將7個小球分別放入3個盒子里，允許有的盒子空著不放，試問有_______種不同放

法。

5、有1997個負號"-"排成一行，甲乙輪流改"-"為正號,每次只準畫一個

或相鄰的兩個"-"為"+",先畫完"-"使對方無法再畫為勝，現規(guī)定甲先畫，

則其必勝的策略是_________________________________

6、有100個人，其中至少有1人說假話，又知這100人里任意2人總有個說真話，則

說真話的有______人。

三、解答題

1、今有長度分別為L2、3.............9的線段各一條，可用多少種不同的方法從中選用

若干條組成正方形？

2、某校派出學生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹

100株，證明至少有5人植樹的株數相同。

3、袋中裝有2002個彈子，張偉和王華輪流每次可取1,2或3個，規(guī)定誰能最后取完

彈子誰就獲勝，現由王華先取，問哪個獲勝？他該怎樣玩這場游戲？

4、有17個科學家，他們中的每一個都和其他的科學家通信，在他們的通信中僅僅討論

三個問題，每一對科學家互相通信時，僅僅討論同一個問題。證明至少有三個科學家

關于同一個題目互相通信

數學競賽專項訓練（7）邏輯推理參考答案

一、選擇題

1、答B(yǎng)。解：4個隊單循環(huán)比賽共比賽6場，每場比賽后兩隊得分之和或為2分（即打

平），或為3分（有勝負），所以6場后各隊的得分之和不超過18分，若一個隊得7

分，剩下的3個隊得分之和不超過11分，不可能有兩個隊得分之和大于或等于7分，

所以這個隊必定出線，如果一個隊得6分，則有可能還有兩個隊均得6分，而凈勝球

比該隊多，該隊仍不能出線。應選

Bo

2、答B(yǎng)。解有人勝一局，便有人負一局，已知總負局數為2+3+3=8,而甲、乙勝局數

為4+3=7,故丙勝局數為8-7=1,應選B。

3、答B(yǎng)。解：共有15種搭配。①和②③和④⑤和⑥①和③②和④①和⑤

①和⑥②和⑤②和⑥能得出四邊形ABCD是平行四邊形。

①和④②和③③和⑤③和⑥④和⑤④和⑥不能得出四邊形ABCD是平行

四邊形。應選B。

4、答B(yǎng)。解：設最后一排k個人，共n排,各排人數為k,k+1,k+2……k+（n-1X

由題意nk+=100,即加2k+（n-l）］=200,因k、n都是正整數，目nN

3,所以〃<2左+（"—1）,且n與2左+5—1）的奇偶性相同，將200分解質因數可

知n=5或n=8,當n=5時，k=18,當n=8時，k=9,共有兩種方案。應選B。

HHH

5、答D。解：由彳+：；+：=〃,以及若x不是整數，則［x］<x知，2|n,3|n,6|n,

236

即n是6的倍數，因此小于100的這樣的正整數有-=16個。應選D。

6

6、答C。解設參加跳舞的老師有x人，則第一個是方老師和（6+1）個學生跳過舞;第

二是張老師和（6+2）個學生跳過舞；第三個是王老師和（6+3）個學生跳過舞……

第x個是何老師和（6+x）個學生跳過舞,所以有x+（6+x）=20,/.X=7,20-7

=13。故選C。

7、答C。解：如圖對展室作黑白相間染色，得10個白室，15個黑室，按要求不返回參

觀過的展室，因此,參觀時必定是從黑室到白室或從白室到黑室（不會出現從黑到黑，

或從白到白），由于白室只有10個，為使參觀的展室最多，只能從黑室開始，順次經

過所有的白室，最終到達黑室，所以，至多能參觀到21個展室。選C。

8、選B。解：4種花色相當于4個抽屜，設最少要抽x張撲克，問題相當于把x張撲克

放進4個抽屜，至少有4張牌在同一個抽屜，有x=3x4+l=13。故選B。

二、填空題

1、解：根據圖中①、②、③的規(guī)律，可知圖④中的三角形的個數為1+4+3x4+32x4+33

X4=1+4+12+36+108=161（個）

2、解:根據題意,如果撲克牌的張數為2、22、23....2n,那么依照上述操作方法,

剩下的一張牌就是這些牌的最后一張，例如：手中只有64張牌，依照上述操作方法,

最后只剩下第64張牌，現在手中有108張牌，多出108-64=44（張），如果依照上

述操作方法，先丟掉44張牌，那么此時手中恰有64張牌，而原來順序的第88張牌

恰好放在手中牌的最底層，這樣，再繼續(xù)進行丟、留的操作，最后剩下的就是原順序

的第88張牌，按照兩副撲克懶勺花色排列順序88-54-2-26=6,所剩的最后一張牌

是第二副牌中的方塊6。

3、解：百位上的數共有9個，十位上的數共有10個，個位上的數共有2個，因此所有

的三位數共9x10x2=180。

4、解：設放在三個盒子里的球數分別為了、y、z,球無區(qū)別，盒子無區(qū)別，故可令

%+v+z=71

xNyNO,依題意有<,，于是3x27,%22彳，故x只有取3、4、5、

\x>y>z>03

6、7共五個值。

①x=3時，y+z=4,則y只取3、2,相應z取1、2,故有2種放法；

②x=4時，y+z=3,則y只取3、2,相應z取0、1,故有2種放法；

③x=5時，y+z=2,貝!Jy只取2、1,相應z取1、0,故有2種放法；

④x=6時，y+z=l,則y只取1,相應z取0,故有1種放法；

⑤x=7時，y+z=O,則y只取0,相應z取0,故有1種放法；

綜上所求，故有8種不同放法。

5、解：先把第999個（中間）"-"改為"+",然后，對乙的每次改動,甲做與之中

心對稱的改動，視數字為點，對應在數軸上，這1997個點正好關于點（999）對稱。

6、解：由題意說假話的至少有1人，但不多于1人，所以說假話的1人，說真話的99

人。

三、1、解：1+2+3+……9=45,故正方形的邊長最多為11,而組成的正方形的邊長至

少有兩條線段的和，故邊長最小為7。

7=1+6=2+5=3+4

8=1+7=2+6=3+5

9+1=8+2=7+3=6+4

9+2=8+3=7+4=6+5

9=1+8=2+7=3+6=4+5

故邊長為7、8、10、11的正方形各一個，共4個。而邊長為9的邊可有5種可能能

組成5種不同的正方形。所以有9種不同的方法組成正方形。

2、證明：利用抽屜原理，按植樹的多少，從50至100株可以構造51年抽屜，則問題

轉化為至少有5人植樹的株數在同一個抽屜里。（用反證法）假設無5人或5人以上

植樹的株數在同一個抽屜里，那只有4人以下植樹的株數在同一個抽屜里，而參加植

樹的人數為204人，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數最多有：

4（50+51+52+……+100）=4x（5。+1；）義51=1530Q<15301,得