高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第09講解三角形中的最值及范圍問題（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)

第09講解三角形中的最值及范圍問題（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為10-12分【備考策略】1會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題2會(huì)利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)1.基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達(dá)為：（積定和最?。?，應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)2.輔助角公式及三角函數(shù)值域形如，，其中，對(duì)于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)?，有時(shí)也會(huì)結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍3.三角形中的邊角關(guān)系（1）構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊（2）在三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系:即注意：在銳角中，任意一個(gè)角的正弦大于另一個(gè)角的余弦，如。事實(shí)上，由，即得。由此對(duì)任意銳角，總有?？键c(diǎn)一、面積類最值及范圍問題1．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.

2．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)，，且．(1)求角的值；(2)求面積的取值范圍．1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．(1)求的取值范圍；(2)若是邊上的一點(diǎn)，且，，求面積的最大值．2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知中，角，，所對(duì)邊分別為，，，若滿足．(1)求角的大小；(2)若，求面積的取值范圍．考點(diǎn)二、周長(zhǎng)類最值及范圍問題1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.1．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．2．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.考點(diǎn)三、邊長(zhǎng)和差類最值及范圍問題1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，且，求的取值范圍．2．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)求的取值范圍．1．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥?，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，．(1)若，求出的值；(2)若為銳角三角形，，求邊長(zhǎng)的取值范圍．2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．考點(diǎn)四、邊長(zhǎng)積商類最值及范圍問題1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．2．（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的平分線BD交AC于點(diǎn)．(1)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的大?。?；②；③．(2)若，求的取值范圍．1．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．考點(diǎn)五、中線及高線類最值及范圍問題1．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┰阡J角中，設(shè)邊所對(duì)的角分別為，且．(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，，．(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．3．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大小；(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．4．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求邊中線的取值范圍．考點(diǎn)六、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題1．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.2．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．(1)求角B的大小；(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．1．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．考點(diǎn)七、角度類最值及范圍問題1．（2023·海南海口·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2023春·上海寶山·高一校考期中）如果的三邊、、滿足，則角的取值范圍為．考點(diǎn)八、正余弦類最值及范圍問題1．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）在中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎謩e為銳角ABC內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．3．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中校考三模）在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，.(1)證明：；(2)求的取值范圍.4．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.5．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）已知分別為的內(nèi)角所對(duì)的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.2．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知為鈍角，.(1)若，求；(2)求的取值范圍.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知的三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，，.(1)若，，，求；(2)若為銳角三角形，且三個(gè)角依次成等差數(shù)列，求的取值范圍.4．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.考點(diǎn)九、向量類最值及范圍問題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)?？级＃┮阎c(diǎn)為銳角的外接圓上任意一點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．(1)求；(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點(diǎn)，求的取值范圍．A1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）周長(zhǎng)為4的，若分別是的對(duì)邊，且，則的取值范圍為．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中，，，，則的取值范圍是.3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求角的大小和邊的取值范圍；(2)如圖，若是的外心，求的最大值.考點(diǎn)十、參數(shù)類最值及范圍問題1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若.(1)求；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若AD是BC邊上的高，且，求的取值范圍．【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（

）.A． B． C． D．二、填空題2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為．三、解答題3．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.4．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知銳角三角形ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，求c的取值范圍.5．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，求c的取值范圍．6．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求證：；(2)若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．7．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．9．（2023·河北秦皇島·秦皇島一中?？级＃┮阎獌?nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知為銳角三角形，且．(1)若，求；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．【能力提升】1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的取值范圍.2．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c成等比數(shù)列.(1)若，的面積為2，求的周長(zhǎng)；(2)求的取值范圍.5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足．(1)證明：；(2)求的取值范圍．6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長(zhǎng)的取值范圍．7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？家荒＃┮阎谥?，角，，的對(duì)邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．(1)求；(2)若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍．9．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．

10．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求證：△ABC是等邊三角形；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.11．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大?。?2)求的取值范圍．12．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且．(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．【真題感知】一、單選題1．（四川·高考真題）在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）二、雙空題2．（北京·高考真題）若的面積為,且∠C為鈍角，則∠B=；的取值范圍是.三、解答題3．（全國(guó)·高考真題）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為（1）求B的大??；（2）求的取值范圍.4．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．5．（江西·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍．6．（浙江·統(tǒng)考高考真題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．

第09講解三角形中的最值及范圍問題（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為10-12分【備考策略】1會(huì)利用基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題2會(huì)利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)也結(jié)合基本不等式和相關(guān)函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)求解范圍及最值，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解解三角形最值及范圍問題中常用到的關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)1.基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達(dá)為：（積定和最小），應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)2.輔助角公式及三角函數(shù)值域形如，，其中，對(duì)于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)椋袝r(shí)也會(huì)結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍3.三角形中的邊角關(guān)系（1）構(gòu)成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊（2）在三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角（3）在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系:即注意：在銳角中，任意一個(gè)角的正弦大于另一個(gè)角的余弦，如。事實(shí)上，由，即得。由此對(duì)任意銳角，總有?？键c(diǎn)一、面積類最值及范圍問題1．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，，，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由正弦定理可得，從而求得.（2）解法一：由（1）求得，，從而，再利用，即可求得面積的取值范圍；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分別求出，，利用即可求得范圍.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，又，所以.（2）解法一：由（1）可知，，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，，因?yàn)椋覟殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以的面積的取值范圍為.

解法二：由（1）可知，，因?yàn)闉殇J角，所以，，如圖，作于，作于，交于，

所以，，所以，又，所以.由圖可知，僅當(dāng)在線段上（不含端點(diǎn)）時(shí)，為銳角三角形，所以，即.所以面積的取值范圍為.2．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)，，且．(1)求角的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，用正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果；（2）由正弦定理，結(jié)合三角形的面積公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由條件，可得，由正弦定理，得，所以，所以，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理，可知，，∵，∴，∴.1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．(1)求的取值范圍；(2)若是邊上的一點(diǎn)，且，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正余弦定理對(duì)已知等式化簡(jiǎn)可得，則可求出角，再利用三角函數(shù)恒等變換公式可得，然后求出角的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得，兩邊平方化簡(jiǎn)后再利用基本不等式可求出的最大值，從而可求出面積的最大值．【詳解】（1）因?yàn)?，故，整理得到：即，故，而為三角形?nèi)角，故，所以，故，而為銳角三角形內(nèi)角，故.，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，故，故，故，故.（2）由題設(shè)可得，故，整理得到：，故，即，整理得到：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故三角形面積的最大值為.2．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知中，角，，所對(duì)邊分別為，，，若滿足．(1)求角的大??；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)等式，可以得到角.（2）根據(jù)勾股定理，由基本不等式得到兩直角邊積的最值即可.【詳解】（1）由正弦定理知，，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，，（其中舍去），即．（2）由（1）知，則，那么的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則面積的取值范圍為．考點(diǎn)二、周長(zhǎng)類最值及范圍問題1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將表示為角的形式，結(jié)合三角恒等變換以及三角函數(shù)的值域等知識(shí)確定正確答案.【詳解】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，則，函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，所以.故選：A2．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦定理得，再根據(jù)的范圍即可得到答案；（2）利用正弦定理得，再利用三角恒等變換得，再根據(jù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可得到范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，所以由正弦定理可得，又為三角形?nèi)角，，所以，因?yàn)?，所以，可得，所?（2）由（1）知，又，由正弦定理得，則，，1．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用正弦定理及余弦定理解三角形即可；（2）先應(yīng)用正弦定理用角表示邊長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角形求角的范圍，最后求三角函數(shù)的值域即得.【詳解】（1）在中，由射影定理得，則題述條件化簡(jiǎn)為，由余弦定理得．可得

所以.（2）在中，由正弦定理得，則周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，因?yàn)闉殇J角三角形，，則得，故．2．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知及正弦定理角化邊，再利用余弦定理，可求出，由已知條件得出角的范圍，進(jìn)而求出角即可以求出的值.（2）由，的值，利用正弦定理求出，進(jìn)而表示出三角函數(shù)的周長(zhǎng)，利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和與差的正弦公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1）由及正弦定理，得即.所以，由為銳角，得，所以.（2）由得.∴得周長(zhǎng).，因?yàn)?，，所以，，所以，?所以周長(zhǎng)的取值范圍為.考點(diǎn)三、邊長(zhǎng)和差類最值及范圍問題1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎膬?nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式，由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可求角C；（2）設(shè)，由正弦定理，把表示成的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍.【詳解】（1）中，，由正弦定理得．所以，即，所以；又，則，所以，則有，又因?yàn)?，則，即；（2）設(shè)，則中，由可知，由正弦定理及可得，所以，，所以，由可知，，，所以．即的取值范圍.2．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，，，，．(1)若，求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)先利用余弦定理得到，根據(jù)邊的關(guān)系得到AB⊥DB，進(jìn)而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；(2)設(shè)∠ADB=θ，利用余弦定理分別求出,相加后整理變形得到關(guān)于角的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在△ABD中，因?yàn)?，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此時(shí)Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．（2）設(shè)∠ADB=θ，由題意可知，在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所以的取值范圍是?．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥?，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，．(1)若，求出的值；(2)若為銳角三角形，，求邊長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由立方差公式及余弦定理求出，由將弦化切，利用兩角和的正弦公式求出，從而求出，最后根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算可得；（2）由正弦定理得到，再轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻?，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由，所以，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，所以，解得，又，由正弦定理，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即邊長(zhǎng)的取值范圍為.2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意利用可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律整理得，設(shè)，代入結(jié)合一元二次方程求的取值范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，則，可得，即，整理得，設(shè)，則，可得，整理得，關(guān)于的方程有正根，則有：①當(dāng)，即時(shí)，則，解得；②當(dāng)，即時(shí)，則，解得或（舍去），符合題意；③當(dāng)，即時(shí)，則，解得；綜上所述：，即的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)三角形中線長(zhǎng)度問題的求解，可考慮利用向量運(yùn)算來建立關(guān)系式.有關(guān)三角形邊長(zhǎng)的和、差的取值范圍，可考慮余弦定理（或正弦定理），結(jié)合基本不等式（或三角函數(shù)的取值范圍）等知識(shí)來求解.考點(diǎn)四、邊長(zhǎng)積商類最值及范圍問題1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．【答案】ACD【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又，由正弦定理、余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，由正弦定理有：，即，，又是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，結(jié)合選項(xiàng)，的可能取值為，，.故選：ACD2．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的平分線BD交AC于點(diǎn)．(1)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求的大小．①；②；③．(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)三個(gè)條件任選其一都有(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求出其大?。?）運(yùn)用角平分線的條件求出，然后利用面積公式求出的取值范圍．【詳解】（1）選①，因?yàn)?，所以．由正弦定理得．即，故，因?yàn)椋?，所以，所以，所以．選②，由及正弦定理，得，即，，所以．因?yàn)?，所以，所以，即．又，所以，所以．選③，由及正弦定理，得，即．因?yàn)?，所以，所以．又，所以．?）因?yàn)锽D平分，所以，在中，，即，在中，，即，因?yàn)椋?，所以，所以，故．因?yàn)椋?，，所以，又，所以．又，所以，所以，所以，，即的取值范圍為?．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可知，由最小正周期為可得，即可知，再利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）根據(jù)三角形形狀可得，再由正弦定理得，又，所以.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，，故，因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，所以，故，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再應(yīng)用兩角和差公式計(jì)算求解即可；（2）先應(yīng)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)余弦型函數(shù)求值域可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，所以或（舍去）．所以，結(jié)合，得．（2）由（1）得:．因?yàn)槭卿J角三角形，所以B，C均為銳角，即，，所以，所以，，所以的取值范圍是．考點(diǎn)五、中線及高線類最值及范圍問題1．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合已知求出邊b長(zhǎng)的取值范圍，再借助平面向量用b表示出中線的長(zhǎng)，求出函數(shù)值域作答.【詳解】令的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，由正弦定理及得，即，銳角中，，即，同理，于是，解得，又線段為邊上的中線，則，又，于是，因此，當(dāng)時(shí)，，，所以中線的取值范圍是.故選：D2．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若．(1)求角；(2)若，求邊上的高的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦求解作答.（2）由（1）可得，再利用三角形面積公式計(jì)算作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即有，而，，即，，因此，，所以．（2）令邊上的高為，由，得，由（1）知，，即，則，所以邊上的高的取值范圍是.1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考一模）在銳角中，設(shè)邊所對(duì)的角分別為，且．(1)求角的取值范圍；(2)若，求中邊上的高的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正余弦定理及三角恒等變換結(jié)合條件可得，然后根據(jù)三角形為銳角三角形進(jìn)而即得；（2）根據(jù)三角形面積公式及正弦定理可得，然后根據(jù)三角恒等變換及正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，又，所以，整理可得，所以?舍去)，所以，又為銳角三角形，所以，所以；（2）由題可知，即，又，所以，所以，由，可得，所以，所以，即中邊上的高的取值范圍是.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，，．(1)求．(2)求邊上的高的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）設(shè)邊上的高為，則，再利用正弦定理及三角函數(shù)求出的范圍，即可得解，注意三角形為銳角三角形.【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，又，所以；?）設(shè)邊上的高為，則，由正弦定理，得，由為銳角三角形，得，得，則，所以，從而，故邊上的高的取值范圍是．3．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C的大小；(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結(jié)果；（2）由余弦定理結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得，由正弦定理可得，，所以，結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍，即可得出答案.【詳解】（1）已知，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)?，所以．?）由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以，所以，所以，所以中線CD長(zhǎng)的取值范圍為．4．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求邊中線的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可得角；（2）根據(jù)中線性質(zhì)可得，在左右兩側(cè)平方，應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求值即可.【詳解】（1）由已知可得，由余弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，所以．（2）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，則，即．因?yàn)?，所以．所以，所以．考點(diǎn)六、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題1．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因?yàn)?，所?（2）由（1）可知：，則.則.在中，由正弦定理，，所以，則，又，所以，所以，，所以.2．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．(1)求角B的大小；(2)若為鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合條件，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；（2）利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件得到，再利用角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，得到，又，所以，故，即，所以，又，所以，得?（2）由正弦定理，得到，，所以，所以，又因?yàn)闉殁g角三角形，且，又由（1）知，所以，所以，由的圖像與性質(zhì)知，所以1．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）如圖，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．【答案】(1)有，(2)【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理結(jié)合條件得，所以，，所以四點(diǎn)共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．由正弦定理即可求出；(2)由三角形面積公式得到，則，由正弦定理得，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，即可得到的取值范圍，從而得到半徑的取值范圍．【詳解】?）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以．因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．又，所以．（2）由（1）可知：，則，，則．在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，即，因?yàn)?，所以?．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理即可求，進(jìn)而確定其大?。唬?）由正弦定理有，，根據(jù)余弦定理有，結(jié)合（1）及，應(yīng)用三角恒等變換有，由三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦邊角關(guān)系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.考點(diǎn)七、角度類最值及范圍問題1．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，若成等比數(shù)列，則角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由成等比數(shù)列，可得，然后利用余弦定理表示出，進(jìn)行化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，可得，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，所以角的取值范圍是：.故選：B.1．（2023春·上海寶山·高一?？计谥校┤绻娜叀?、滿足，則角的取值范圍為．【答案】【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范圍，進(jìn)而可求角的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以.故答案為：考點(diǎn)八、正余弦類最值及范圍問題1．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）在中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得表達(dá)式，結(jié)合可得答案.【詳解】，因?yàn)?，所?又，所以的范圍是.故選：B2．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎謩e為銳角ABC內(nèi)角的對(duì)邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角恒等變換解決即可；（2）由條件求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求的范圍，利用三角恒等變換得，由此可求其范圍.【詳解】（1）∵．∴，∴，因?yàn)闉殇J角三角形內(nèi)角，所以，，所以，所以，即；（2）由題意得，解得，所以，由正弦定理得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，∴的取值范圍為．3．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？既＃┰谥?，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)證得.（2）轉(zhuǎn)化為只含的三角函數(shù)的形式，利用換元法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍【詳解】（1）依題意，由余弦定理得，，由正弦定理得，，，，由于，所以，則由于，所以，則，所以或（舍去），所以.（2）由于，所以為銳角，即，而，即.，令，，，所以在區(qū)間上，遞增；在區(qū)間上遞減.，所以，所以的取值范圍是.4．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，，則，根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理的變形得，又，所以.（2）由得，且，所以，所以，因?yàn)椋瑥亩?，所以，從?即的取值范圍為.5．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）已知分別為的內(nèi)角所對(duì)的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.【詳解】（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因?yàn)?，所以．?）由（1）知，所以.所以，因?yàn)?所以，所以，所以，故的取值范圍是.1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換和正弦定理的得到，進(jìn)而由余弦定理得到，求出；（2）由三角函數(shù)和差公式求出，由求出取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因?yàn)?，所?（2）在中，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍?2．（2023·廣東廣州·廣州六中校考三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知為鈍角，.(1)若，求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意及正弦定理得到，即，結(jié)合角的范圍可得，又，即可求得；（2），令，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理得：，由于，可知，即，因?yàn)闉殁g角，則為銳角，即，則，則.由，得.（2）.因?yàn)闉殇J角，所以，即，則，設(shè)，則，.因?yàn)?，則，從而.由此可知，的取值范圍是.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知的三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，，.(1)若，，，求；(2)若為銳角三角形，且三個(gè)角依次成等差數(shù)列，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用余弦定理求，進(jìn)而可求及三角形面積.（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合銳角三角形可得角的取值范圍，利用正弦定理和三角恒等變換整理得，結(jié)合正切函數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）由余弦定理可得：，可知角為銳角，則,所以的面積.（2）因?yàn)榻且来纬傻炔顢?shù)列，則，則，可得，又因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，則，因?yàn)?，則，可得，所以，故的取值范圍為.4．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由和差角公式化簡(jiǎn)得，由正弦定理邊角化即可求解，（2）由銳角三角形滿足，根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】（1），，，由正弦定理得：.（2）銳角，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.考點(diǎn)九、向量類最值及范圍問題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用余弦定理可求得，根據(jù)向量數(shù)量積定義可得，利用三角形三邊關(guān)系可求得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，由余弦定理得：，；，，，即的取值范圍為.故選：D.2．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)校考二模）已知點(diǎn)為銳角的外接圓上任意一點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)正弦定理可求，再求出的范圍，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可求的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則所以，所以，在中，由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，又，所以，故，所以，所以，又在上都為增函?shù)，所以，故，又，，，，故，所以，其中當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)左側(cè)等號(hào)成立，所以的取值范圍為.故選：B.3．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．(1)求；(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)由三角形面積公式求得，已知等式由正弦定理邊化角，化簡(jiǎn)得，可解得；（2）由（1）得，則，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，由三角函數(shù)的值域求取值范圍.【詳解】（1）由，得，，由正弦定理，，則，由，得，化簡(jiǎn)得，由，，解得，因此.（2）由（1）得，若A為鈍角，則，則，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)．則，，，有，，，則．由，則，所以的取值范圍為.1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）周長(zhǎng)為4的，若分別是的對(duì)邊，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊結(jié)合基本不等式求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)橹荛L(zhǎng)為4的，分別是的對(duì)邊，且，所以，令，∴，∴，解得，又∵，∴，∴故，又在上遞減，∴，故答案為：.2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）在中，，，，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用正弦定理和向量數(shù)量積的定義得，再根據(jù)的范圍和正切函數(shù)的值域即可求出其范圍.【詳解】根據(jù)正弦定理得，即，，，，即的取值范圍.故答案為：.3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.(1)求角的大小和邊的取值范圍；(2)如圖，若是的外心，求的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)正弦定理求邊的取值范圍；（2）解法一：根據(jù)數(shù)量積結(jié)合圓的性質(zhì)整理可得，進(jìn)而可求取值范圍；解法二：根據(jù)數(shù)量積結(jié)合余弦定理整理可得，進(jìn)而可求取值范圍.【詳解】（1）在中，由結(jié)合正弦定理可得：，因?yàn)椋瑒t，化簡(jiǎn)得，即，又因?yàn)椋瑒t，所以，解得，由正弦定理，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所?（2）解法1：由正弦定理得，且，因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)O不在外部時(shí)（如圖），；當(dāng)點(diǎn)O在外部時(shí)（如圖），，；由（1）可知，即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.解法2：由題可知：，如圖，分別取線段的中點(diǎn)，由于O是的外心，則，則，所以，由余弦定理得，即，整理得，所以，由（1）可知，即當(dāng)時(shí)，則的最大值為.考點(diǎn)十、參數(shù)類最值及范圍問題1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得，結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?又，所以.因?yàn)椋?，?故選：A.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)題給條件，再利用正弦定理即可求得的值；（2）先化簡(jiǎn)題給條件求得，代入題干條件進(jìn)而求得，從而得到的最小值，再結(jié)合條件求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，因?yàn)?，所?由正弦定理，得，故上式可化為.因?yàn)椋?，由正弦定理，?（2）因?yàn)?，由正弦定理，，因?yàn)?，故，則，故，因?yàn)椋?，又，故，代入中，得，?由余弦定理，，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.1．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若.(1)求；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)整理可得，可得，進(jìn)而即得；（2）由余弦定理可推得，變形即可得出，根據(jù)已知條件，得出的范圍，即可得出，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)得出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得，整理可得.又，所以.因?yàn)?，所?（2）由余弦定理可得，于是，，所以，則，由正弦定理得.在銳角中，，則.又，故，所以，所以，所以，，因此，.由題意可得恒成立，于是，.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)證明：；(2)若AD是BC邊上的高，且，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用三角恒等變換，將已知條件化為，根據(jù)正余弦邊角關(guān)系證明結(jié)論；（2）設(shè)，，則，根據(jù)（1）結(jié)論有，利用余弦定理及銳角三角形的性質(zhì)求范圍，進(jìn)而求范圍.【詳解】（1）由題意得，即，由正弦定理得.（2）設(shè)，，則，由（1）知：，∴，由，又，對(duì)于函數(shù)且，有，則在上，遞減；在上，遞增，所以，故，則.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，，設(shè)邊上的高為，所以，解得由正弦定理可得，，所以，，，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以，所以，所以高的取值范圍?故選：C.二、填空題2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考一模）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理得到關(guān)于的等式，根據(jù)銳角，求得角的范圍，進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】解：在中，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)殇J角，所以，即，解得，所以，所以，故，即.故答案為：三、解答題3．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）解：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)椋?，所以，所?4．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知銳角三角形ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，求c的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及正弦的兩角和公式將，變形為，再化簡(jiǎn)可求解；（2）由，即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，從?因?yàn)椋?，所?（2）由正弦定理得，所以.因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.從而，所以，即c的取值范圍是.5．（2023·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，求c的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再用余弦定理可求出角；（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式及正弦三角函數(shù)的性質(zhì)可解．【詳解】（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．6．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求證：；(2)若的角平分線交BC于，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得又，所以因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，又在上單調(diào)遞增，所以，即；（2）由（1）可知，，所以在中，，由正弦定理得：，所以，所以．又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，解得，所以，即面積的取值范圍為．7．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.(1)求角A；(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，可得，由余弦定理即可求解，（2）根據(jù)正弦定理得，由內(nèi)角和關(guān)系以及和差角公式可得，進(jìn)而由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，（2）因?yàn)椋?，所以，故由正弦定理得：所以，所以周長(zhǎng)因?yàn)椋瑒t，所以故求周長(zhǎng)的取值范圍為.8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式、三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以因此有．又因?yàn)?，所以．?）由，及余弦定理，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又因?yàn)椋?，故的周長(zhǎng)的取值范圍為．9．（2023·河北秦皇島·秦皇島一中?？级＃┮阎獌?nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角的大?。唬?）法一：由已知可得，應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形面積公式可得即可得范圍；法二：根據(jù)三角形為銳角三角形，應(yīng)用幾何法找到邊界情況求面積的范圍.【詳解】（1）由余弦定理得，即，所以，又，則.（2）法一：為銳角三角形，，則，所以，可得，又，則，故由，即而，所以，故面積的取值范圍為.法二：由，畫出如圖所示三角形，為銳角三角形，點(diǎn)落在線段（端點(diǎn)除外）上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.10．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知為銳角三角形，且．(1)若，求；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）利用正弦定理結(jié)合條件可得，然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；?）因?yàn)椋?，又，可得，在中，，所以，在中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.【能力提升】1．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍，即可應(yīng)用三角函數(shù)值域求出范圍【詳解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，則.由正弦定理得所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，則.中線長(zhǎng)的取值范圍是.2．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)已知的外接圓半徑為4，若有最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意利用利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算化簡(jiǎn)得，分類討論的符號(hào)，結(jié)合輔助角公式分析運(yùn)算.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，可得，則，又因?yàn)?，則，整理得，且，所以.（2）由正弦定理，可得，因?yàn)?，則，則，①若，即時(shí)，則，其中，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，符合題意；②若，即時(shí)，則在上單調(diào)遞減，無最值，不符合題意；③若，即時(shí)，則，其中，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值注意到，則，可得，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合角的范圍求出角，再應(yīng)用正弦定理求出外接圓半徑即可；（2）把已知恒成立，參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為恒成立，再求出的最大值可得范圍.【詳解】（1）由，得，由正弦定理得:，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所?又，所以，所以外接圓的半徑為.（2）要使恒成立，即恒成立，即求的最大值.由余弦定理得，所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c成等比數(shù)列.(1)若，的面積為2，求的周長(zhǎng)；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比中項(xiàng)公式與三角形面積公式求得，再利用余弦定理與完全平方公式求得，從而得解；（2）結(jié)合題意，先化簡(jiǎn)所求得求公式q的取值范圍即可，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到關(guān)于q的不等式組，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，則，又，，所以，所以的面積為，故，則，由余弦定理，即，則，所以，故的周長(zhǎng)為.（2）設(shè)a，b，c的公比為q，則，，而，因此，只需求的取值范圍即可.因a，b，c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a，b，c要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且.故有不等式組，即，解得，從而，因此所求范圍為.5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足．(1)證明：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)范圍即可證明；（2）根據(jù)三角恒等變換結(jié)合（1）中的結(jié)論化簡(jiǎn)得，再求出的范圍，從而得到的范圍，最后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】（1）由及得,.由正弦定理得,又,,,,都是銳角,則,（2）令，由（1）得.在銳角三角形中,，即，,令,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，,即的取值范圍是.6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，分析運(yùn)算即可；（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根據(jù)，結(jié)合向量的相關(guān)運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理得，且，則，可得，即，且，則，由正弦定理，其中為的外接圓半徑，可得，又因?yàn)椋?（2）在中，由余弦定理，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，即設(shè)邊上的中點(diǎn)為D，因?yàn)?，則，即，所以邊上中線長(zhǎng)的取值范圍為.7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦公式的得到，進(jìn)而求解；（2）利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由，故，故，，故，因是銳角三角形，故，.故，故，所以.（2）由正弦定理可知，故，..由是銳角三角形，可知，故，故.8．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考一模）已知在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．(1)求；(2)若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，根據(jù)三角形面積公式和數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)求角；若選②，根據(jù)二倍角公式，以及，化簡(jiǎn)求角；若選③利用正弦定理，將邊化角，再結(jié)合輔助就公式，即可求解；（2）利用向量公式，兩邊平方后，結(jié)合條件，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.【詳解】（1）若選，因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)?，所以．若選，因?yàn)?，所以，整理可得，解得或，又因?yàn)椋傻?，所?所以．若選，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，所以，可得，又因?yàn)?，，所以，可得．?）因?yàn)椋?，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，平方得，所以因?yàn)?，所以時(shí)，，可得，所以，可得，故線段長(zhǎng)的取值范田為9．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）由面積公式可得，再由正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，再結(jié)合的范圍計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，又，所?（2）因?yàn)椋驗(yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為.

10．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求證：△ABC是等邊三角形；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由結(jié)合正弦定理，可得，由，可得，從而證明△ABC是等邊三角形；（2）由正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)的范圍，即可得的取值范圍.【詳解】（1）證明：∵，∴由正弦定理，得，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴．由，得，∴，∴△ABC為等邊三角形．（2）由（1）知，∴．由△ABC為銳角三角形，可得，解得，∴．由正弦定理，得，由，可得，∴，即，∴的取值范圍為.11．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角的內(nèi)角和定理，利用正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，結(jié)合銳角三角形求出角的范圍及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由及余弦定理，得，由銳角，知，所以．（2）由（1）知，得，故，由正弦定理，得，由為銳角三角形得解得，∴，∴．故