第40講、數(shù)列的基本知識與概念（教師版）

第40講數(shù)列的基本知識與概念知識梳理知識點(diǎn)一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．知識點(diǎn)二、數(shù)列的分類（1）按照項(xiàng)數(shù)有限和無限分：（2）按單調(diào)性來分：知識點(diǎn)三、數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．【解題方法總結(jié)】（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗(yàn)證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則必考題型全歸納題型一：數(shù)列的周期性例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，因?yàn)?，所以，整理得，由于，解得，從而，，可知，因?yàn)?，所以．故選：C．例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，對所有的正整數(shù)都有，則（

）A．

B．

C．

D．【答案】B【解析】由得，兩式相加得，，是以6為周期的數(shù)列，而，.故選：B.例3．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的第100項(xiàng)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意有，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列，則，，，，，，，，，則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，則，則數(shù)列的第100項(xiàng)為3，故選：．變式1．（2024·全國·高三對口高考）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【解析】數(shù)列中，，可知，，，故數(shù)列是以3為最小正周期的周期數(shù)列，所以.故選：A變式2．（2024·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)定義如下，數(shù)列滿足，且對任意自然數(shù)均有，則的值為（

）x1234541352A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】由對任意自然數(shù)均有，且，可得，，，，，，所以數(shù)列是項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為，所以.故選：B.變式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列中，已知，當(dāng)時，是的個位數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)時，是的個位數(shù)，所以，，，，，，，，，，可知數(shù)列中，從第3項(xiàng)開始有，即當(dāng)時，的值以6為周期呈周期性變化，又，故.故選：C.變式4．（2024·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】因?yàn)?，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，，所以數(shù)列的周期為，則.故選：C【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．題型二：數(shù)列的單調(diào)性例4．（2024·北京密云·統(tǒng)考三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件【答案】A【解析】數(shù)列中，對任意，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時，，即，所以，，如數(shù)列不滿足題意，必要性不成立；所以“對任意，”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若存在實(shí)數(shù)，使單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由單調(diào)遞增，得，由，得，∴.時，得①，時，得，即②，若，②式不成立，不合題意；若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.綜上，排除B，C，D.故選：A例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，兩式相減可得，則，當(dāng)時，可得滿足上式，故，所以，因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，則整理得，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是得是數(shù)列的最大項(xiàng)，即當(dāng)時，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為．故選：A變式5．（2024·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】B【解析】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于對任意恒成立，即對任意恒成立，因?yàn)?，且可以無限接近于0，所以，所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即由，所以有，反之，當(dāng)時，，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件，故選：C.變式7．（2024·江蘇南通·高三期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為，故選：C變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即．如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知，當(dāng)時，，且．故當(dāng)時，，且，依此類推可得，滿足是遞增數(shù)列，即的取值范圍是．故選:A.變式9．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時，，故可知當(dāng)時，單調(diào)遞減，故為遞減數(shù)列，只需滿足，即．故選：A【解題方法總結(jié)】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷題型三：數(shù)列的最大（小）項(xiàng)例7．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于______.【答案】/1.75【解析】數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因?yàn)樗援?dāng)時，，即，又，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，其值為.故答案為：.例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的最小值為______．【答案】【解析】依題意，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，于是，令，則有，顯然當(dāng)時，，即，因此當(dāng)時，數(shù)列是遞增的，又，所以的最小值為.故答案為：例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為_________【答案】9【解析】由已知可得，，所以當(dāng)時，有.則有，，，，兩邊分別相加可得，，所以.當(dāng)時，滿足條件.所以，，所以.設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.又，，所以，當(dāng)或時，有最小值為9.故答案為：9.變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項(xiàng)，則k的取值范圍為______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，又，，所以是首?xiàng)為64，公比為k的等比數(shù)列，則，則，因?yàn)槭俏ㄒ坏淖畲箜?xiàng)，所以，即，解得，即k的取值范圍為.故答案為：.變式11．（2024·高三課時練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式為若是中的最大項(xiàng)，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此時，取得最大值為，當(dāng)時，，因?yàn)槭侵械淖畲箜?xiàng)，所以解得，故答案為:.變式12．（2024·北京·高三北京八中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是__________．【答案】【解析】設(shè)，則該數(shù)列當(dāng)時，取最大值，又因?yàn)?，而，故?dāng)或時，此數(shù)列取最大項(xiàng)，其值為，，故此數(shù)列最大項(xiàng)的值是：故答案為：變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，若數(shù)列中最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，則______．【答案】【解析】因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，則由題意知，所以．故答案為：.變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的最小值為___________.【答案】/【解析】因?yàn)?，易知?shù)列為遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為，即最小值為.故答案為：【解題方法總結(jié)】求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)．（2）通過通項(xiàng)公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng)．（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89【解析】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈，所以，，又因?yàn)?，，所以，；，；，；，；，；．故選：C.例11．（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個數(shù)為1，2，3，4，...，可以看成構(gòu)成一個首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當(dāng)，所有項(xiàng)的個數(shù)和為55，第56項(xiàng)為12，故選：B.例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為.記第n個k邊形數(shù)為，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：，可以推測的表達(dá)式，由此計算（

）A．4020 B．4010 C．4210 D．4120【解析】由題意可得：，，，.由此可歸納，所以，故選：B.變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（

）A．28 B．36 C．45 D．55【解析】由題意可得，三角數(shù)列的通項(xiàng)為，則三角數(shù)列的前若干項(xiàng)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項(xiàng)為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36.故選：B.變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來表達(dá)這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進(jìn)行了一系列推論，用來解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為，則（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【解析】由題設(shè)中的數(shù)據(jù)可知數(shù)列滿足：，，故，故選：B．變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）觀察下列各式：；；；；；則（

）A．28 B．76 C．123 D．10【解析】設(shè)則通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：從而故，故選：C.變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是（）A．36 B．25 C．49 D．64【解析】由題意可得，三角數(shù)列的通項(xiàng)為，則三角數(shù)列的前若干項(xiàng)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，設(shè)正方形數(shù)按由小到大的順序排成的數(shù)列為，則，其前若干項(xiàng)為1，4，9，16，25，36，49，…，∴在三角數(shù)列中，第二個正方形數(shù)是36．故選：A．【解題方法總結(jié)】特殊值法、列舉法找規(guī)律題型五：數(shù)列的恒成立問題例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和是，對于，都有，則k＝______．【答案】5【解析】如圖，為和的圖象，設(shè)兩個交點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，結(jié)合圖象可得，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，取得最大值，即.故答案為：5.例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為______．【答案】/1.5【解析】∵，∴數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，．從而，即k的最小值為．故答案為：例15．（2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】從而可得即，因?yàn)?，所?故答案為：變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，∵不等式恒成立，∴，解得，故選：B．變式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，若不等式，對任何正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，由此可知，所以，所以，對任何正整數(shù)恒成立，即．考點(diǎn)：數(shù)列與不等式．【解題方法總結(jié)】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．題型六：遞推數(shù)列問題例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2009項(xiàng)之和為______.【答案】/【解析】由，得，則，，∴數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，.由可得，，.故答案為：.例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列中，，，猜想通項(xiàng)公式為_________．【答案】【解析】方法一:由得，所以為等差數(shù)列，且公差為3，首項(xiàng)為1，故，故，方法二：由得，，由此可猜想故答案為：例18．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，寫出一個符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】（答案不唯一）【解析】由得：，則當(dāng)時，，，故滿足遞推關(guān)系，又，滿足，滿足條件的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式為：.故答案為：（答案不唯一）.變式21．（2024·全國·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第______項(xiàng)．【答案】【解析】由可得.故答案為：.變式22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）將一個2021邊形的每個頂點(diǎn)染為紅、藍(lán)、綠三種顏色之一，使得相鄰頂點(diǎn)的顏色互不相同．問：有多少種滿足條件的染色方法？【解析】記一個n邊形的每個頂點(diǎn)染為紅、藍(lán)、綠三種顏色之一，使得相鄰頂點(diǎn)的顏色互不相同的方法數(shù)為．易知，．對于任意一