第72講、垂直弦問題（教師版）

第72講垂直弦問題知識梳理1、過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．2、過橢圓的長軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．3、過橢圓的短軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．4、過橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．5、以為直角定點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．8、以為直角定點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，9、以為直角定點(diǎn)的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)必考題型全歸納題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)例1．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在線段AB上）(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)P、Q，試問直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.【解析】（1）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且在線段AB外時，設(shè)，則，，由，所以，故；②當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時，在△PAB中，所以，∴，即動點(diǎn)P在以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓上，方程為：且；由①②知：動點(diǎn)P的軌跡C的方程為：；（2）顯然兩直線斜率存在，設(shè)AP：y=kx+1，代入橢圓方程得，所以，代替k同理可得，直線PQ：，化簡得；令x=0，得，故直線PQ過定點(diǎn).例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為，，短軸長為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)M，D分別為橢圓C的左?右頂點(diǎn)，過M點(diǎn)作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AB是否過定點(diǎn)？并求出面積的最大值.【解析】（1）由題意得：，故可知橢圓方程為：，離心率為：（2）M，D分別為橢圓C的左?右頂點(diǎn)又由（1）可知：設(shè)直線AB的方程為：，，聯(lián)立方程可得：有韋達(dá)定理可知：，又又展開后整理得：，解得：或（舍去）直線恒過定點(diǎn)令則由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號此時的最大值為：例3．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為圓上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，若點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，則，即，所以點(diǎn)軌跡方程為.（2）①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設(shè)直線，聯(lián)立，得，設(shè)直線與曲線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，；直線，同理可得：，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則當(dāng)直線斜率存在時，由得，，即直線恒過點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時，由得，則，則直線恒過點(diǎn)；②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線為軸，恒過，綜上：直線恒過點(diǎn)在以中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上，取，則為定值；存在點(diǎn)，使得為定值.變式1．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，．(1)寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．【解析】（1）由橢圓方程可知：，，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)，該橢圓的離心率；（2）證明：斜率均存在，設(shè)，直線AB方程為，則，聯(lián)立，則有，將上式中換為，可得，若，則直線MN斜率不存在，此時直線MN過點(diǎn)，下證動直線MN過定點(diǎn)，若直線MN斜率存在，則，直線MN方程為，令得，所以此時直線MN也過定點(diǎn)，當(dāng)兩條直線其中一條斜率不存在，一條直線斜率為0時，不妨設(shè)斜率不存在，斜率為0，此時，則直線的方程為，過點(diǎn)，綜上，動直線MN過定點(diǎn)；（3）由（2）可知直線MN過定點(diǎn)，，令，，因?yàn)椋栽谏线f減，所以時，取得最大值，此時.變式2．（2024·天津河北·高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與軸垂直.直線與的另一個交點(diǎn)為，且直線的斜率為.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限，是上一點(diǎn)且與軸垂直，的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時，，即.又直線的斜率為，所以，即，即則，解得或（舍去），即.（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，由（1）知，解得，所以，橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，又，，化簡整理有，得或.當(dāng)時，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；.當(dāng)時滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).變式3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)分別是圓的左?右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限.是上一點(diǎn)且與軸垂直，的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時，，即.又直線的斜率為，所以，即，即，則，解得或（舍去），即.（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，橢圓的方程為，易得直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線的方程為，由可得所以，又，.，化簡整理有，得或.當(dāng)時，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).又為過點(diǎn)作線段的垂線的垂足，故在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)為，則為定值，且變式4．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線.分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過定點(diǎn).【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線與題意交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，又長為，∴，∴∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)，由得，∴，同理可得當(dāng)時，，所以直線的方程為整理得，所以直線當(dāng)時，直線的方程為，直線也過點(diǎn)所以直線過定點(diǎn).題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)例4．（2024·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．【解析】（1）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，則，右頂點(diǎn)為，不妨取漸近線為，即，則，從而可解得，所以雙曲線C的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，消得，則，則，，，因?yàn)椋瑒t，即，即，即，整理得，所以.例5．（2024·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)P(x，y)，因?yàn)镻與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，所以，化簡得，所以曲線E的方程為.（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM，AN分別為，，分別聯(lián)立，解得M(，)，N(，－)，此時直線MN的方程為，過點(diǎn)(，0)；當(dāng)直線MN斜率存在時設(shè)其方程為，()由，消去y得，所以，即，，，因?yàn)锳M⊥AN，所以，即，即，即，將，代入化簡得：，所以或，當(dāng)時，直線MN方程為(不符合題意舍去)，當(dāng)時，直線MN方程為，MN恒過定點(diǎn)(，0)，綜上所述直線MN過定點(diǎn)(，0).例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?N兩點(diǎn).設(shè)線段AM?AN的中點(diǎn)分別為B?C，直線OB?OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)A作（D為垂足），請問：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)?，線段AM?AN的中點(diǎn)分別為?，由已知，得；兩式相減，得，即①根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率公式，得，，，.代入①，得②同理，得③，②③相乘，得.∵，，∴④由，與④聯(lián)立，得，，雙曲線的方程為：.（2）①當(dāng)時，設(shè)，，，，由AM?AN互相垂直，得，由解得（此時無實(shí)數(shù)解，故舍去），或（此時M?N至少一個點(diǎn)與A重合，與條件不符，故舍去）.綜上，此時無符合條件的解.②當(dāng)不成立時，設(shè)直線，?代入得，且∵∴，即，解得：或.當(dāng)時，過點(diǎn)，與條件不符，舍去.∴，，過定點(diǎn)∴AP中點(diǎn)，由于（D為垂足），故.綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值.題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)例7．（2024·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)，由題意知，則直線l方程為，代入，得，，∴，由拋物線定義，知，，∴，∴，∴拋物線的方程為.（2）證明：在拋物線上，，由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，則，且，又，，由題意，可知,,故，故，整理得，即，或，即或．若，則，此時直線過定點(diǎn)，不合題意；若，則，此時直線過定點(diǎn)，符合題意，綜上，直線過異于P點(diǎn)的定點(diǎn)．例8．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰在拋物線的準(zhǔn)線上．(1)求拋物線的方程；(2)是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，證明直線恒經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由已知得，設(shè)，則中點(diǎn)為，關(guān)于直線對稱，點(diǎn)R在直線l上，，解得，即．又由，得直線的斜率，，解得，∴．（2）證明：設(shè)直線的方程為，、均不與M重合，由得，，．由（1）得，，，又由得，即，∴，∴，∴，∴，∴，∴，直線的方程為，即，∴直線恒過定點(diǎn)．例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．【解析】（1）由，可得，代入．解得或（舍），所以拋物線的方程為：．（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，從而，則．所以，，∵，∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過定點(diǎn)，與Q點(diǎn)重合，不符合；若，則，過定點(diǎn)．綜上，直線過異于Q點(diǎn)的定點(diǎn)．變式5．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).(1)求的值；(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.【解析】（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個焦點(diǎn)，故，即，；（2）由（1）知，拋物線的方程為，設(shè)，，，，由題意，直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，令得，此時，故直線過點(diǎn)，當(dāng)時，，所以，，，三點(diǎn)共線，所以直線過定點(diǎn).（3）設(shè)，由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，，，故，當(dāng)即直線垂直軸時，取得最小值.變式6．（2024·四川綿陽·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由．【解析】（1），解得：故拋物線C的方程為：..（2）由題可得，直線的斜率不為設(shè)直線：，，聯(lián)立，得：，，..由，則，即于是，所以或.當(dāng)時，直線：，恒過定點(diǎn)，不合題意，舍去.當(dāng)，，直線：，恒過定點(diǎn)綜上可知，直線恒過定點(diǎn).變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，代入得：，即由得：，解得：或（舍去）故拋物線C的方程為：.（2）由題可得，直線的斜率不為設(shè)直線：，，聯(lián)立，得：，，，由，則，即.于是，所以或當(dāng)時，直線：，恒過定點(diǎn)，不合題意，舍去.當(dāng)，，直線：，恒過定點(diǎn)綜上可知，直線恒過定點(diǎn)變式8．（2024·云南曲靖·高二?？计谀┮阎c(diǎn)與點(diǎn)的距離比它的直線的距離小2．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)是點(diǎn)軌跡上互相垂直的兩條弦，問：直線是否經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，說明理由．【解析】（1）（1）由題意知動點(diǎn)到的距離比它到直線的距離小2，即動點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義可知動點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的拋物線，則點(diǎn)的軌跡方程為；（2）（2）法一：由題意知直線的斜率顯然不能為0，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，消去，可得，即，，，由題意知，即，則，故，，，直線的方程為，故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為；法二：假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)，，，故，在拋物線上，即代入上式，可得，故，三點(diǎn)共線，，，假設(shè)成立，直線經(jīng)過軸的定點(diǎn)，坐標(biāo)為．題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)例10．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考一模）雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為，，動直線垂直的實(shí)軸，且交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作的兩條互相垂直的弦，，證明：過兩弦，中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)椋O(shè)則且①，因?yàn)閯又本€交雙曲線于不同的兩點(diǎn)，所以且，因?yàn)橹本€的方程為②，直線的方程為③，②③得，把①代入上式得，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）依題意得直線與直線斜率均存在且不為0，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立得，則，設(shè)，，，所以的中點(diǎn)，同理的中點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得，所以直線恒過定點(diǎn)，即過兩弦中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).例11．（2024·全國·高二期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且．(1)求橢圓的方程；(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故.設(shè)，由拋物線定義得：點(diǎn)P到直線的距離為t.，由余弦定理，得.整理，得，解得或（舍去）.由橢圓定義，得，，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，即，，代入直線方程得，，同理可得，，，令，得，所以直線MN過定點(diǎn).例12．（2024·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于4．(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)過作互相垂直的兩條直線、，與動點(diǎn)的軌跡交于、，與動點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求四邊形面積的最小值．【解析】（1）取點(diǎn)，則有，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，所以動點(diǎn)的軌跡為橢圓（左右頂點(diǎn)除外），所以，，所以，所以動點(diǎn)的軌跡方程為．（2）當(dāng)垂直于軸時，的中點(diǎn)，直線為軸，與橢圓，無交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)直線不垂直于軸時，不妨設(shè)直線的方程為，，，由，得，所以△，所以，，所以，所以，因?yàn)?，以代替，得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，由橢圓的對稱性得，若存在這樣的定點(diǎn)必在軸上，令，則，所以，所以直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時，，，所以直線恒過定點(diǎn)，綜上所述，直線恒過定點(diǎn)．（3）由（2）得，，所以，同理可得，所以四邊形的面積，令，則，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時，，所以，所以四邊形的面積最小值為．變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為．過作互相垂直的兩條直線、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、．(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)求四邊形面積的最小值．【解析】（1）由題意得橢圓過點(diǎn)，，解得，，，；（2）當(dāng)直線、斜率均存在且不為0時，設(shè)，，則，，，由，，得，，，由，，得，，可得，①當(dāng)時，直線的斜率為，直線的方程為，化簡得，過定點(diǎn)，②當(dāng)時，直線的方程為，過點(diǎn)，當(dāng)直線、斜率一個不存在一個為0時，、的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為、時．直線的方程為，過點(diǎn)，綜上，直線恒過定點(diǎn)；（3）當(dāng)直線或斜率一個不存在一個為0時，，當(dāng)直線、斜率均存在時且不為0時，由（2）得，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，綜上，四邊形面積的最小值為.變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由橢圓定義知：，解得：，又離心率，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）知：；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，，由得：，則，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；當(dāng)時，直線恒過點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，直線，恒過定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在且恒過時，即，由得：，，滿足題意；綜上所述：直線恒過定點(diǎn).題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)例13．（2024·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F，半焦距c=2，點(diǎn)F到直線的距離為，過點(diǎn)F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）依題意，c=2，，解得，所以雙曲線的方程為：.（2）點(diǎn)，當(dāng)直線AB不垂直于坐標(biāo)軸時，設(shè)直線AB的方程為：，，，由消去x并整理得：，顯然，則，有，于是得弦AB中點(diǎn)，因，同理可得點(diǎn)，當(dāng)直線MN不垂直于x軸時，直線MN的斜率，因此，直線MN的方程為：，化簡得，于是得直線MN恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線MN垂直于x軸時，由得，直線MN：過定點(diǎn)，則當(dāng)直線AB不垂直于坐標(biāo)軸時，直線MN恒過定點(diǎn)，當(dāng)AB垂直于x軸，即k=0時，則弦AB的中點(diǎn)M與F重合，弦CD的中點(diǎn)N與原點(diǎn)重合，此時MN為x軸，直線MN過，當(dāng)AB垂直于y軸時，則弦AB的中點(diǎn)M為原點(diǎn)，弦CD中點(diǎn)N與F重合，此時直線MN為x軸，直線MN也過點(diǎn)，所以直線MN恒過定點(diǎn).例14．（2024·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，化簡得曲線的方程為.（2）證明：設(shè)，，①若直線，都存且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，當(dāng)時，這個方程變?yōu)橹挥幸唤猓本€與曲線只有一個交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時，，直線與曲線恒有兩個交點(diǎn)，由韋達(dá)定理，，故線段的中點(diǎn)為，同理，線段的中點(diǎn)為，若，則，直線的方程為，即，此時，直線恒過點(diǎn)．若，則，或，，直線的方程為，此時直線也過點(diǎn)，②若直線，中其中一條的斜率為，另一條的斜率不存在，不妨設(shè)的斜率為，則直線：，：x＝2，此時，直線的方程為，此時，直線也過點(diǎn)，綜上，直線恒過點(diǎn)．例15．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，半焦距，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)作雙曲線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由題設(shè)可得，，所以，.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的弦所在的直線方程為，，，則有.聯(lián)立，可得.因?yàn)橄遗c雙曲線有兩個交點(diǎn)，所以，所以，所以.（1）當(dāng)時，點(diǎn)即是點(diǎn)，此時，直線為軸.（2）當(dāng)時，將上式點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，同理可得.①當(dāng)直線不垂直于軸時，直線的斜率，其方程，化簡得，所以直線過定點(diǎn)；②當(dāng)直線垂直于軸時，，此時，，直線也過定點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).變式11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過定點(diǎn)?若不過定點(diǎn)，請說明原因；若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意漸近線方程為，即，有，解得，；（2）由（1）可知右焦點(diǎn)，設(shè)直線：，，，由聯(lián)立直線與雙曲線，化簡得，，故，，，又，則，同理可得：，，化簡得，故直線過定點(diǎn).題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)例16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：焦點(diǎn)為，為上的動點(diǎn)，位于的上方區(qū)域，且的最小值為3.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，分別為線段和的中點(diǎn).直線是否恒過一個定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.【解析】（1）拋物線：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)到的距離為，因?yàn)槲挥诘纳戏絽^(qū)域，根據(jù)拋物線的定義可知（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又的最小值為，所以，解得，所以拋物線：.（2）依題意直線和的斜率均存在且不為，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，，，聯(lián)立方程得，消去并整理得，則，則，，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，同理，所以直線的方程為，整理得，所以直線恒過點(diǎn).例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個邊長為的等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）由對稱性可知等邊三角形的頂點(diǎn)在上，代入得：，解得：，所以拋物線方程為：；（2）由題意知和斜率均存在，，設(shè)直線方程為，則直線方程為，由聯(lián)立得：，設(shè)，則，故，同理得故直線MN方程為整理得：，故直線MN過定點(diǎn)例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的周長為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)．求出其坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【解析】（1）由題意，在中代入，得，解得，所以．由勾股定理得|，則的周長為，解得，故拋物線C的方程為．（2）由題意可知，直線AB的斜率存在，且不為0．設(shè)直線AB的方程為，，．聯(lián)立消去x，得，，則，從而．因?yàn)镻是弦AB的中點(diǎn)，所以，同理可得．當(dāng)，即時，直線PQ的斜率，則直線PQ的方程為，即．故直線PQ過定點(diǎn)；當(dāng)，即時，直線PQ的方程為，也過點(diǎn)．綜上所述，直線PQ過定點(diǎn)．變式12．（2024·山西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：（），過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．(1)求拋物線C的方程；(2)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，求證：直線MN過定點(diǎn)．【解析】(1)到焦點(diǎn)F的距離為3，則準(zhǔn)線為，，拋物線方程為．(2)由題意知和斜率均存在，，設(shè)直線方程為，則直線方程為，由聯(lián)立得，設(shè)，則，故，同理得故直線MN方程為整理得，故直線MN過定點(diǎn)變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）動圓P與直線相切，點(diǎn)在動圓上．(1)求圓心P的軌跡Q的方程；(2)過點(diǎn)F作曲線O的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN必過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，有，化簡，得，即圓心P的軌跡Q的方程為．（2）由題意，知直線AB的斜率存在且不為0．設(shè)直線，代入，得，所以．因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以將點(diǎn)M坐標(biāo)中的k換成，即得．當(dāng)，即時，直線；當(dāng)時．直線．整理，得，所以直線MN過定點(diǎn)．綜上所述，不論k為何值，直線MN必過定點(diǎn)．變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，且的面積為．(1)求拋物線C的方程．(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線是否過定點(diǎn)．若是，求出所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請說明理由．【解析】（1）由題意可知．因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?，所以．因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得．故拋物線C的方程為．（2）由題意可知，直線的斜率存在，且不為0．設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立，整理得，，則，從而．因?yàn)镻是弦的中點(diǎn)，所以，同理可得．當(dāng)，即時，直線的斜率，則直線的方程為，即．故直線過定點(diǎn)．當(dāng)，即時，直線的方程為，且過點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)．變式15．（2024·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，．(1)求動點(diǎn)Q的軌跡的方程E；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)．【解析】（1）∵直線的方程為，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,

∴是點(diǎn)Q到直線l的距離,∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，即動點(diǎn)Q的軌跡的方程為.（2）設(shè)，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理設(shè)，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點(diǎn).變式16．（2024·福建福州·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，P是動點(diǎn)，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；(3)過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，分別交軌跡C于點(diǎn)A，B和M，N，設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).，求證：直線EF恒過一定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，由，得，整理得點(diǎn)P的軌跡的方程為：（2）設(shè)，由得：，（3）證明：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線的方程為，由，消去y得，，∵直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由題知，直線的斜率為，同理可得F的坐標(biāo)為.當(dāng)時，有.此時直線EF的斜率為：∴直線EF的方程為，整理得，恒過定點(diǎn)，當(dāng)時，直線EF的方程為，也過點(diǎn).綜上所述，直線EF恒過定點(diǎn).變式17．（2024·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)過作兩條斜率不為且互相垂直的直線分別交橢圓于、和、，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）拋物線焦點(diǎn)為，故，易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，，且，，整理可得，即，，解得，所以，，所以，，則，，因此，橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，，所以，，，故點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，所以，，所以，直線的方程為，即，因此，直線過定點(diǎn).變式18．（2024·湖南·高三階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．過點(diǎn)作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為，，且．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，分別為線段和的中點(diǎn)，求面積的最小值．【解析】（1）由對稱性知，軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則．在中，；（2）設(shè)直線的斜率為，由過：．代入點(diǎn)，同理可得點(diǎn)：過定點(diǎn)的面積：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）的面積的最小值為．試題解析：（1）由對稱性知，軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則．連，則中，，則因?yàn)闉閳A的切線，則．由射影定理，得，則因?yàn)閳A心的坐標(biāo)為，則，所以，即，得．所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線的斜率為，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，則直線的方程為．代入，得．設(shè)點(diǎn)，，則．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則點(diǎn)因?yàn)?，則直線的方程為．同理可得點(diǎn)直線的方程為，即，顯然過定點(diǎn)設(shè)的面積為，與軸的交點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以的面積的最小值為題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題例19．（2024·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離為2，若到橢圓右頂點(diǎn)距離為.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)橢圓的