對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【12類題型】（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2024年II卷第8題，5分從近四年的高考情況來看，對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.在利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).（1）對數(shù)的概念及運算性質(zhì)（2）對數(shù)函數(shù)的圖象（3）對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2024年北京卷第7題，4分2024年天津卷第5題，5分2023年北京卷第11題，5分2023年I卷第10題，5分2022年I卷I卷第7題，5分2022年浙江卷第7題，5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】指數(shù)對數(shù)混合運算【題型2】換底公式的應(yīng)用【題型3】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【題型4】對數(shù)函數(shù)過定點問題【題型5】指對冪比較大小【題型6】解對數(shù)方程或不等式【題型7】對數(shù)函數(shù)模型的實際應(yīng)用【題型8】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題【題型9】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問題【題型10】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題【題型11】反函數(shù)問題【題型12】對數(shù)函數(shù)的綜合問題模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】指數(shù)對數(shù)混合運算1、對數(shù)計算公式（1）同底對數(shù)加減運算：；（2）底數(shù)和真數(shù)是乘方數(shù)時：（3）對數(shù)恒等式：（4）倒數(shù)式：2、對數(shù)運算的常用技巧(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運算法則化簡合并.本號資料全部來源于微*信公眾號：數(shù)學(xué)第六感(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化.化簡下列各式：(1)；(2).【解析】（1）原式.（2）原式.【鞏固練習(xí)1】化簡的值為（）A．B．C．D．-1【答案】A【解析】【鞏固練習(xí)2】求值（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；；（2）0；；（3）3；；（4）13【解析】（1）原式=;（2）原式==;（3）原式=;（4）原式.【題型2】換底公式的應(yīng)用換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．已知，，則（用，表示）【答案】【解答】解：因為，，所以，，，所以．故答案為：．已知，，則.（用表示）【答案】【解析】因為，所以，又，所以.已知，則．【答案】3【解析】依題意，，則．【鞏固練習(xí)1】設(shè)，，（1）用含，的式子表示，形式為___________.（2）用含，的式子表示，形式為___________.【答案】（1），（2）【解析】（1）；（2）【鞏固練習(xí)2】設(shè)，求的值．【解答】依題意有，，，【題型3】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的圖象（底大圖低）a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過定點過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0＜x＜1時，y＜0；當(dāng)x＞1時，y＞0當(dāng)0＜x＜1時，y＞0；當(dāng)x＞1時，y＜0單調(diào)性是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)方法技巧：對于有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等變換得到，當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢.已知函數(shù)①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＋c＜b＋a B．a(chǎn)＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，則a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正確，D錯誤；又a＋d與b＋c的大小不確定，故B，C錯誤．故選A.函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項，再根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)確定.【詳解】解：，因為，所以是偶函數(shù)，故排除AD，當(dāng)時，令，得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)的圖象不經(jīng)過第四象限，則a的取值范圍是（）A．(0，1)B．(0，)C．(0，1]D．[1，+∞)【答案】D【解析】的圖象是由的圖象向左平移個單位所得．的圖象過點，函數(shù)為增函數(shù)，因此．故選：D．【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）本號資料全部來源于微信*公眾號*：數(shù)學(xué)第六感A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，且過定點，故函數(shù)的大致圖象不可能為BCD選項.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數(shù)圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為.【答案】【解析】畫出的圖象如圖：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由圖象得在上為減函數(shù)，∴，∴的取值范圍是.故答案為：.【題型4】對數(shù)函數(shù)過定點問題對數(shù)函數(shù)過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0；函數(shù)過定點函數(shù)

(且)的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對數(shù)函數(shù)(且)恒過定點，所以函數(shù)

(且)的圖象必過定點.（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)恒過定點，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由題意可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，的最小值為【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)=1+loga(2x?3)?(a>0,a≠1)恒過定點(m,n)A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】令2x?3=1，即可求解f(x)恒過定點(2,1)，進而求解.【解答過程】令2x?3=1，解得x=2，此時f(2)=1+log所以f(x)恒過定點(2,1)，則m=2,n=1，本號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感所以m+n=3.【鞏固練習(xí)2】已知直線經(jīng)過函數(shù)圖象過的定點（其中均大于0），則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因為，所以函數(shù)圖象過的定點為，將其代入直線方程得，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故有最小值4.【鞏固練習(xí)3】函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，所以，函數(shù)過定點，得，所以，，因為，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，的最小值為8.【題型5】指對冪比較大小1、常規(guī)法：比較大小問題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法．2、當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)的差或倍數(shù)一樣時，可以考慮拆出一個1例1：和（倍數(shù)一致）簡析：；，由圖像可知例2：和（差一致）簡析：；，由圖像可知設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，則設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，，又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)時，底數(shù)越大，圖像越低，可得，所以，故選:D.【鞏固練習(xí)1】（2024·天津·二模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，.【鞏固練習(xí)2】已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【解答】解：，，，則，，的大小關(guān)系為【鞏固練習(xí)3】已知，，，則A． B． C． D．【解答】解：由對數(shù)運算公式得，，，，易知，．本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感故選：．【鞏固練習(xí)4】設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，，對利用換底公式變形后作差，結(jié)合基本不等式，得到，從而得到答案.【詳解】因為單調(diào)遞減，所以，又與均單調(diào)遞增，故，，其中，，，其中，故，其中，故，所以，即，故.【題型6】解對數(shù)方程或不等式【方法技巧】（1）對于形如的形式，利用轉(zhuǎn)化；對于形如的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程求解.（2）解對數(shù)不等式，也是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為比較真數(shù)之間的不等式，再解這個不等式即可．方程的解為________【答案】【解析】方程，化為：x設(shè)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．，【答案】C【解析】由，得：，因為，所以，取交集得：．所以的取值范圍是，故選：C.不等式的解集為．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，則應(yīng)有，解得，所以，定義域為.本號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感又，所以，由，可得.因為以及均在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，.綜上所述，.所以，不等式的解集為.【鞏固練習(xí)1】方程的解是（）A．1B．2C．eD．3【答案】D【解析】∵，∴，∴.【鞏固練習(xí)2】已知，則的值為____．【答案】【解析】由，得，所以，即，所以，，所以．【鞏固練習(xí)3】若實數(shù)x滿足不等式，則實數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【解析】，，解得或.【鞏固練習(xí)4】已知實數(shù)，且滿足不等式，則不等式的解集為________．【答案】【解析】因為，所以，而，則，于是.【題型7】對數(shù)函數(shù)模型的實際應(yīng)用本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略(1)基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實際問題求解．(2)求解策略：首先根據(jù)實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實際意義．如果光線每通過一塊玻璃其強度要減少10%，那么至少需要將塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強度低于原來的0.5倍．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】【分析】構(gòu)造不等式，利用對數(shù)運算法則解不等式可求得結(jié)果.【詳解】假設(shè)需要塊這樣的玻璃，則，，，至少需要7塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強度低于原來的.為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車駕駛員血液中的酒精含量不得超過．據(jù)儀器監(jiān)測，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小時末的酒精含量都比上一個小時末減少．那么此人在開車前至少要休息（參考數(shù)據(jù)：，A．4.1小時 B．4.2小時 C．4.3小時 D．4.4小時【解答】解：設(shè)經(jīng)過小時，血液中的酒精含量為，則，由，得，則，因為，所以，所以開車前至少要休息4.2小時【鞏固練習(xí)1】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過分鐘后物體的溫度可由公式：求得．其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，5分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數(shù)據(jù)：A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55【解答】解：由題意可得，，，，即，．【鞏固練習(xí)2】2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則年我國人口將超過20億．（，，）【答案】2037【分析】根據(jù)條件，列出不等式，再利用對數(shù)運算解不等式即可.【詳解】由題意，列方程得：.∴，∴【鞏固練習(xí)3】我們可以把看作每天的"進步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用計算工具計算并回答下列問題：（1）一年后“進步”的是“落后”的多少倍？（2）大約經(jīng)過多少天后“進步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【解析】（1）.∴一年后“進步”的大約是“落后”的倍（2）由得∴大約經(jīng)過天“進步”的是“落后”的倍.由得.∴大約經(jīng)過天“進步”的是“落后”的倍.由得解得∴大約經(jīng)過天“進步”的是“落后”的倍.【題型8】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問題1、模板解決思路：判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.2、模板解決步驟第一步：求函數(shù)的定義域．第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性．第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題知的定義域為，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，關(guān)于單調(diào)遞減，關(guān)于單調(diào)遞減，當(dāng)時，關(guān)于單調(diào)遞增，關(guān)于單調(diào)遞增，故的遞增區(qū)間為．故選：D．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是___．【答案】【解析】由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，只需函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)時恒成立，所以滿足解得．【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，二次函數(shù)的對稱軸為：，所以二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，而函數(shù)是正實數(shù)集上的減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則k的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)時單調(diào)遞增且，當(dāng)時也單調(diào)遞增，所以，即，所以，即；故選：B【鞏固練習(xí)3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.【鞏固練習(xí)4】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的給定區(qū)間的單調(diào)性求解.【詳解】，令，為增函數(shù)，所以，所以在單調(diào)遞減，所以，即，解得【題型9】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的最值與值域問題對數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.函數(shù)的最小值是（）．A．10B．1C．11D．【答案】B【解析】設(shè)，則，因為，所以，所以的最小值為1，故選：B已知函數(shù)的最大值為2，則．【答案】6【解析】因為函數(shù)由與復(fù)合而成，而在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)取最大值時，函數(shù)取得最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)時，，此時，所以，解得．【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)，則的值域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，故選：D【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)的最大值為0，則實數(shù)a的值為___________.【答案】【解析】因為的最大值為0，所以應(yīng)有最小值1，因此應(yīng)有解得.【鞏固練習(xí)3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，由于開口向上，故需函數(shù)在區(qū)間上有最小值，且．該函數(shù)圖像的對稱軸為直線，所以，解得，所以，且，即實數(shù)的取值范圍為．本號資料全#部#來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【題型10】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題本號資料全部來源*于微*信公眾號：數(shù)學(xué)第六感常見指對型函數(shù)奇偶模型（1）（2）（3）（4）（5）是偶函數(shù)，如，設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（）本號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A．B．C．D．【答案】D【解析】方法一:由得，則，解得或.方法二:根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為，有，即函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)，則，在區(qū)間上，為增函數(shù)且，在區(qū)間上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，，解得或，故選：D．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的奇偶性及其最小值，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】對任意的，，則函數(shù)的定義域為，因為，，則函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD選項，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，排除B選項.【鞏固練習(xí)1】已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．(1)求；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和部分解析式即可求出，，則得到最后答案；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性函數(shù)奇偶性即可得到在上的單調(diào)性，則得到不等式，解出即可.【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，則，，則.（2）當(dāng)時，，因為為單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知為單調(diào)減函數(shù)，又因為為單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以是在為單調(diào)減函數(shù)，因為，所以，解得，所以不等式的解集為.【鞏固練習(xí)2】設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)性（不需證明），并解不等式．本號資料全部來源#于微信公眾號：#數(shù)學(xué)第六感【答案】(1)1(2)單調(diào)性見解析，不等式解集為【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出；（2）根據(jù)定義法得到函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性解不等式.【詳解】（1）∵為定義在R上的偶函數(shù)，∴，即，故，即，解得；（2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由如下：，設(shè)任取，且，則，因為，且，所以，，故，所以在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)同增異減可得，在單調(diào)遞增，本*號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感又在R上為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，，∴，解得或，∴不等式解集為.【題型11】反函數(shù)問題指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）與對數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）互為反函數(shù)（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以令，這3個函數(shù)圖象情況如下圖所示：本號資料*全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感設(shè)交于點，交于點，由于的圖象關(guān)于直線對稱，而的交點為，所以，注意到函數(shù)的對稱軸為直線，即，且二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線方程，從而.【鞏固練習(xí)1】（2024·高三·江西南昌·開學(xué)考試）已知函數(shù)和的圖象與直線交點