2.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念,掌握求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

導(dǎo)數(shù)的概念1.設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x從x0變到x1時(shí),函數(shù)值y從f(x0)變到f(x1),函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為

=

.

平均變化率的極限

2.當(dāng)x1趨于x0,即Δx趨于0時(shí),如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值,那么這個(gè)值就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的

.在數(shù)學(xué)中,稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的

,通常用符號(hào)f'(x0)表示,記作f'(x0)=

=

.

瞬時(shí)變化率

導(dǎo)數(shù)名師點(diǎn)睛對(duì)于導(dǎo)數(shù)的概念,注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x0的附近有定義,否則導(dǎo)數(shù)不存在;(2)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念,它只與函數(shù)y=f(x)在x=x0及其附近的函數(shù)值有關(guān),與Δx無(wú)關(guān).思考辨析對(duì)于函數(shù)y=f(x)=2x2+1,當(dāng)x從x0變到x0+Δx時(shí),y關(guān)于x的平均變化率是多少?當(dāng)Δx趨于0時(shí),平均變化率趨于一個(gè)常數(shù)嗎?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx的正、負(fù)無(wú)關(guān).(

)(2)函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)是一個(gè)常數(shù).(

)2.利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)f(x)=3x-2在x=5處的導(dǎo)數(shù)值.√√知識(shí)點(diǎn)2

導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.割線:設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象是一條光滑的曲線,且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0,x0+Δx]的平均變化率為,如圖(1),它是經(jīng)過(guò)A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))兩點(diǎn)的直線的斜率.這條直線稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的

.

一條割線

2.切線:如圖(2),設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象是一條光滑的曲線,從圖象上可以看出:當(dāng)Δx取不同的值時(shí),可以得到不同的割線;當(dāng)Δx趨于0時(shí),點(diǎn)B將沿著曲線y=f(x)趨于點(diǎn)A,割線AB將繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)趨于直線l.稱直線l為曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線,或稱直線l和曲線y=f(x)在點(diǎn)A處相切.該切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0).名師點(diǎn)睛1.直線傾斜角

與其斜率k之間的關(guān)系是k=tan

θ.2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程的步驟:(1)求函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),即切線的斜率;(2)根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問(wèn)題時(shí),一定要注意所給的點(diǎn)是否恰好在曲線上.若點(diǎn)在曲線上,則該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是該點(diǎn)處的切線的斜率.思考辨析如圖,我們把一條曲線上的任意一點(diǎn)P附近的圖象不斷放大,觀察有何現(xiàn)象出現(xiàn)?提示

當(dāng)不斷放大時(shí),曲線在點(diǎn)P附近的圖象逼近一條確定的直線,即在很小的范圍內(nèi),曲線可以看作直線,這就是以直代曲的思想.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線y=f(x)在x=x0處的切線的斜率.(

)(2)直線與曲線相切,則直線與已知的曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)√×2.[人教B版教材例題]已知函數(shù)f(x)=,求曲線y=f(x)在(2,f(2))處切線的方程.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念角度1.求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)A.-4 B.2 C.-2 D.±2D★(2)求函數(shù)y=f(x)=x+在x=1處的導(dǎo)數(shù).規(guī)律方法

求一個(gè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下:(1)求函數(shù)值的變化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);變式訓(xùn)練1(1)y=f(x)=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為(

)A.2x B.2 C.2+Δx D.1B解析

當(dāng)x從1變到1+Δx時(shí),函數(shù)值從1變到(1+Δx)2,函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為當(dāng)x趨于1,即Δx趨于0時(shí),平均變化率趨于2,所以f'(1)=2.★(2)利用導(dǎo)數(shù)的定義,求

在x=1處的導(dǎo)數(shù).角度2.對(duì)導(dǎo)數(shù)定義式的理解和應(yīng)用【例2】

設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則

等于(

)A.f'(x0) B.f'(-x0)C.-f'(x0) D.-f'(-x0)C規(guī)律方法

導(dǎo)數(shù)定義式的變形應(yīng)用在導(dǎo)數(shù)的定義式中,自變量的增量Δx可以有多種表達(dá)形式,但不論采用哪種形式,Δy中自變量的增量Δx都必須用相應(yīng)的形式,如將Δx變?yōu)閙Δx,則Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有這樣,才有變式訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)滿足A.-1 B.1 C.-2 D.2A探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用角度1.曲線在某點(diǎn)處的切線方程【例3】

求曲線y=f(x)=在點(diǎn)M(3,)處的切線方程.規(guī)律方法

求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟

變式訓(xùn)練3曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是

.

-3令Δx趨于0,可知y=f(x)=x2+1在x=2處的導(dǎo)數(shù)為f'(2)=4.于是,函數(shù)y=f(x)=x2+1在點(diǎn)(2,5)處的切線斜率為4,因此函數(shù)y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(2,5)處的切線方程為y-5=4(x-2),即y=4x-3.所以切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3.角度2.曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程【例4】

求拋物線y=f(x)=x2過(guò)點(diǎn)(4,)的切線方程.規(guī)律方法

1.首先要理解過(guò)某點(diǎn)的含義,切線過(guò)某點(diǎn),這點(diǎn)不一定是切點(diǎn).2.過(guò)點(diǎn)(x1,y1)的曲線y=f(x)的切線方程的求法步驟(1)設(shè)切點(diǎn)(x0,f(x0)).(3)解方程得k=f'(x0),x0,f(x0),從而寫(xiě)出切線方程.3.本例考查了切線的含義及切線方程的求法.體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).變式訓(xùn)練4求過(guò)點(diǎn)(-1,0)與曲線y=x2+x+1相切的直線方程.當(dāng)x0=0時(shí),切線斜率k=1,過(guò)點(diǎn)(-1,0)的切線方程為y-0=x+1,即x-y+1=0.當(dāng)x0=-2時(shí),切線斜率k=-3,過(guò)點(diǎn)(-1,0)的切線方程為y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.故所求切線方程為x-y+1=0或3x+y+3=0.探究點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷函數(shù)圖象【例5】

已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其部分圖象如圖所示,設(shè)

=a,則下列不等式正確的是(

)A.f'(1)<a<f'(2)B.a<f'(1)<f'(2)C.f'(2)<f'(1)<aD.f'(1)<f'(2)<aA規(guī)律方法

導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率,在比較導(dǎo)數(shù)大小的問(wèn)題上可以用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決.(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過(guò)x0處的切線刻畫(huà).f'(x0)>0說(shuō)明曲線在x0處的切線的斜率為正值,從而得出在x0附近曲線是上升的;f'(x0)<0說(shuō)明在x0附近曲線是下降的.(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況,由切線的傾斜程度,可以判斷出曲線升降的快慢.變式訓(xùn)練5函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,下列不等關(guān)系正確的是(

)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

C解析

如圖所示,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得f'(2)表示切線l1的斜率k1>0,f'(3)表示切線l3的斜率k3>0,又由平均變化率的定義,可得

=f(3)-f(2),表示割線l2的斜率k2,結(jié)合圖象,可得0<k3<k2<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故選C.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)導(dǎo)數(shù)的概念.(2)導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.(3)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線的切線方程.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū):求切線方程時(shí)f(x0),f'(x0)混淆.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練18192021D1234567891011121314151617181920212.[探究點(diǎn)二(角度1)]如圖,直線l是曲線y=f(x)在x=4處的切線,則f'(4)=(

)A. B.3 C.4 D.5A1234567891011121314151617181920213.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知曲線y=f(x)=-x2-2上一點(diǎn)P(1,-),則在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為(

)A.30° B.45° C.135° D.165°C1234567891011121314151617181920214.[探究點(diǎn)二(角度1)]若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y+1=0,則(

)A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在C解析

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得f'(x0)=-2<0.1234567891011121314151617181920215.[探究點(diǎn)二(角度1)]設(shè)曲線y=f(x)=ax2在點(diǎn)(2,4a)處的切線與直線4x-y+4=0垂直,則a等于(

)B1234567891011121314151617181920216.[探究點(diǎn)一(角度1)]若點(diǎn)(0,1)在曲線f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,則a+b=

.

21234567891011121314151617181920217.[探究點(diǎn)一(角度2)]在曲線y=x2+2的圖象上取一點(diǎn)(1,3)及附近一點(diǎn)(1+Δx,3+Δy),則21234567891011121314151617181920218.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知函數(shù)y=ax2+b在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2,則

=

.

21234567891011121314151617181920219.[探究點(diǎn)二(角度1)]曲線f(x)=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸,直線x=2所圍成的三角形的面積為

.

12345678910111213141516171819202110.[探究點(diǎn)二(角度1)]已知曲線y=-x2,求該曲線在點(diǎn)P(2,-2)處的切線方程.12345678910111213141516171819202111.

[探究點(diǎn)二(角度1)]在曲線y=x2上哪一點(diǎn)處的切線分別滿足下列條件:(1)平行于直線y=4x-5;(2)垂直于直線2x-6y+5=0;(3)與x軸成135°的傾斜角.12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202112.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知曲線,求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程.123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021B級(jí)關(guān)鍵能力提升練13.已知

=-2,則y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為(

)A.-4 B.4 C.2 D.-2D12345678910111213141516171819202114.若曲線y=f(x)=x+上任意一點(diǎn)P處的切線斜率為k,則k的取值范圍是(

)A.(-∞,-1) B.(-1,1)C.(-∞,1) D.(1,+∞)C123456789101112131415161718192021A12345678910111213141516171819202116.(多選題)下列各點(diǎn)中,在曲線y=f(x)=x3-2x上,且在該點(diǎn)處的切線傾斜角為

的是(

)A.(0,0) B.(1,-1)C.(-1,1) D.(1,1)BC12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202117.已知直線x+y=b是函數(shù)f(x)=ax+的圖象在點(diǎn)(1,m)處的切線,則a+b=

,m=

.

5312345678910111213141516171819202118.若拋物線y=f(x)=x2-x+c上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-2,拋物線在點(diǎn)P的切