4.2.4隨機變量的數(shù)字特征（第2課時離散型隨機變量的方差）課件高二上學期數(shù)學人教B版選擇性

第四章概率與統(tǒng)計4.2.4

隨機變量的數(shù)字特征第2課時離散型隨機變量的方差人教B版

數(shù)學

選擇性必修第二冊課程標準1.通過實例,理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念和意義.2.會求離散型隨機變量的方差、標準差.3.會利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.基礎落實·必備知識全過關知識點

離散型隨機變量的方差

a2D(X)p(1-p)np(1-p)名師點睛離散型隨機變量ξ的期望與方差過關自診1.[人教A版教材習題改編]將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次,X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù).則E(X)=

,D(X)=

.

2.已知隨機變量X,D(X)=,則X的標準差為

.

2

1解析

∵X~B(4,0.5),∴E(X)=4×0.5=2,D(X)=4×0.5×0.5=1.3.已知X的分布列為

X-101P0.50.30.2求D(X).解

E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一求隨機變量的方差與標準差【例1】

已知X的分布列如下:(1)求X2的分布列;(2)計算X的方差;(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.(3)因為Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.規(guī)律方法

方差的計算方法方差的計算需要一定的運算能力,注意方差性質的應用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).變式訓練1[人教A版教材習題]已知隨機變量X的分布列為

X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X+7).(注:σ(X)是指隨機變量X的標準差)解

由題意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,∴D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84,∴D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36,探究點二兩點分布與二項分布的方差【例2】

設X的分布列為

(k=0,1,2,3,4,5),則D(3X)=(

)A.10 B.30 C.15 D.5A變式探究

本例題條件不變,求D(5X+2).規(guī)律方法

求離散型隨機變量的均值與方差的關注點(1)寫出離散型隨機變量的分布列.(2)正確應用均值與方差的公式進行計算.(3)對于二項分布,關鍵是通過題設環(huán)境確定隨機變量服從二項分布,然后直接應用公式計算.變式訓練2(多選題)[2023浙江杭州高二期中]某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為,記X=a2+a3+a4+a5,則當程序運行一次時(

)A.X服從二項分布ABC探究點三均值、方差的實際應用【例3】

甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊水平.解

(1)由題意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績比較穩(wěn)定,所以甲比乙的射擊水平高.規(guī)律方法

利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.(2)在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.(3)下結論.依據(jù)均值和方差得出結論.變式訓練3甲、乙兩種零件某次性能測評的分值ξ,η的分布如下,則性能更穩(wěn)定的零件是

.

ξ8910P0.30.20.5η8910P0.20.40.4乙

解析

由題意知E(ξ)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,E(η)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,所以D(ξ)=0.3×(8-9.2)2+0.2×(9-9.2)2+0.5×(10-9.2)2=0.76,D(η)=0.2×(8-9.2)2+0.4×(9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2=0.56.因為D(η)<D(ξ),所以乙更穩(wěn)定.成果驗收·課堂達標檢測123456789101112131415A級必備知識基礎練1.[探究點二]設隨機變量X服從二項分布,且期望E(X)=3,p=,則方差D(X)等于(

)C解析

由于二項分布的數(shù)學期望E(X)=np=3,所以二項分布的方差D(X)=np(1-p)=,故選C.1234567891011121314152.[探究點一]已知隨機變量X的分布列為

A123456789101112131415A1234567891011121314154.[探究點二]設隨機變量X,Y滿足Y=4X+1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,則D(Y)=(

)A. B.3 C.6 D.8C1234567891011121314155.[探究點一·2023吉林長春高二階段練習](多選題)設0<p<1,已知隨機變量ξ的分布列如下表,則下列結論正確的是(

)ξ012Pp-p2p21-pA.P(ξ=0)<P(ξ=2)B.P(ξ=2)的值最大C.E(ξ)隨著p的增大而增大AD1234567891011121314156.[探究點一]已知隨機變量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,則P(X=2)=

.(結果用數(shù)字表示)

1234567891011121314157.[探究點二]若隨機事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為p(0<p<1),用隨機變量X表示事件A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù),則方差D(X)的最大值為

;的最大值為

.

123456789101112131415B級關鍵能力提升練8.(多選題)袋子中有2個黑球,1個白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分數(shù)為X,則(

)ACD1234567891011121314159.將3個完全相同的小球放入3個盒子中,盒子的容量不限,且每個小球落入盒子的概率相等.記X為分配后所?？蘸械膫€數(shù),Y為分配后不空盒子的個數(shù),則(

)A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)C123456789101112131415D12345678910111213141511.某人共有三發(fā)子彈,他射擊一次命中目標的概率是,擊中目標后射擊停止,射擊次數(shù)X為隨機變量,則方差D(X)=

.

12345678910111213141512.已知袋中裝有大小相同質地均勻的5個球,其中3個黑球和2個白球,從袋中無放回地隨機取出3個球,記取出黑球的個數(shù)為X,則E(X)=

,D(X)=

.

12345678910111213141513.某財經雜志發(fā)起一項調查,旨在預測某地經濟前景,隨機訪問了100位業(yè)內人士,根據(jù)被訪問者的問卷得分(滿分10分)將經濟前景預期劃分為三個等級(悲觀、尚可、樂觀).分級標準及這100位被訪問者得分頻數(shù)分布情況如下:經濟前景等級悲觀尚可樂觀問卷得分12345678910頻數(shù)23510192417974假設被訪問的每個人獨立完成問卷(互不影響),根據(jù)經驗,這100位人士的意見即可代表業(yè)內人士意見,且他們預測各等級的頻率可估計未來經濟各等級發(fā)生的可能性.123456789101112131415(1)該雜志記者又隨機訪問了兩名業(yè)內人士,試估計至少有一人預測該地經濟前景為“樂觀”的概率;(2)某人有一筆資金,現(xiàn)有兩個備選的投資意向:物聯(lián)網(wǎng)項目或人工智能項目,兩種投資項目的年回報率都與該地經濟前景等級有關,根據(jù)經驗,大致關系如下(正數(shù)表示贏利,負數(shù)表示虧損):經濟前景等級樂觀尚可悲觀物聯(lián)網(wǎng)項目年回報率/%124-4人工智能項目年回報率/%75-2根據(jù)以上信息,請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差,并用統(tǒng)計學知識給出投資建議.123456789101112131415

123456789101112131415設投資物聯(lián)網(wǎng)和人工智能項目年回報率的期望分別為E(X1),E(X2),方差分別為D(X1),D(X2),則E(X1)=0.2×12%+0.7×4%+0.1×(-4%)=4.8%,E(X2)=0.2×7%+0.7×5%+0.1×(-2%)=4.7%,D(X1)=0.2×(12%-4.8%)2+0.7×(4%-4.8%)2+0.1×(-4%-4.8%)2=0.001

856,D(X2)=0.2×(7%-4.7%)2+0.7×(5%-4.7%)2+0.1×(-2%-4.7%)2=0.000

561.∵E(X1)>E(X2),∴投資物聯(lián)網(wǎng)項目比投資人工智能項目平均年回報率要高,但二者相差不大.∵D(X1)>D(X2),∴投資人工智能項目比投資物聯(lián)網(wǎng)項目年回報率穩(wěn)定性更高,風險要小,∴建議投資人工智能項目.123456789101112131415C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練14.已知m,n均為正數(shù),隨機變量X的分布列如下表:X012Pmnm則下列結論一定成立的是(

)A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1C.mn≤ D.D(X+1)<1BCD12345678910111213141512345678910111213141515.某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為5元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應,每天的銷售數(shù)據(jù)按照[15,25],(25,35],(35,45],(45,55]分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.試銷結束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱50瓶,批發(fā)成本85元;小箱每箱30瓶,批發(fā)成本65元.由于酸奶保質期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為(45,55]時看作銷量為50瓶).123456789101112131415(1)設早餐店批發(fā)一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量X,批發(fā)一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量Y,求X和Y的分布列;(2)從早餐店的收益角度和利用所學的知識作為決策依據(jù),該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱?(必須作出一種合理的選擇)123456789101112131415解

(1)若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為