2022-2023學(xué)年北京市豐臺區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知向量，.若，則實數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗向量，，若，則有，則.故選：C.2.若為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負半軸為始邊，終邊關(guān)于原點對稱.若角的終邊與單位圓⊙交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗角與角終邊關(guān)于原點對稱，且若角的終邊與單位圓⊙交于點，所以角的終邊與單位圓⊙交于點，故.故選：B.4.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，則.故選：A.5.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，在該書的第五卷“三斜求積”中，提出了由三角形的三邊直接求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”把以上這段文字寫成公式，就是（其中為三角形面積，為小斜，為中斜，為大斜）.在中，若，，，則的面積等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，若，，，則的面積．故選：B．6.已知是兩條不重合直線，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（）A.若∥，∥，則∥B.若，∥，則C.若，，，則D.若，，，則∥〖答案〗D〖解析〗對于A，如圖在長方體中，∥，∥，此時，所以A錯誤；對于B，如圖在長方體中，，∥，此時∥，所以B錯誤；對于C，如圖在長方體中，，，，此時∥，所以C錯誤；對于D，如圖，設(shè)，在平面作直線于點，因為，所以，因為，所以∥，因為，，所以∥，所以D正確.故選：D.7.將函數(shù)圖象上的點向右平移個單位長度得到點P′.若P′位于函數(shù)的圖象上，則（）A.，的最小值為 B.，的最小值為C.，的最小值為 D.，的最小值為〖答案〗A〖解析〗點在函數(shù)上，所以，則，，將，代入中可得，，可得或，由于，所以的最小值為．故選：A.8.如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，則，，，當(dāng)時，有最大值6．故選：C．9.如圖，在正方形中，分別為邊，的中點.現(xiàn)沿線段，及把這個正方形折成一個四面體，使三點重合，重合后的點記為.在該四面體中，作平面，垂足為，則是的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心〖答案〗A〖解析〗如下圖所示，在四面體中，連接，由題意知，，，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，因為平面，平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，，則是的垂心.故選：A.10.如圖，已知直線，為之間一定點，并且點到的距離為2，到的距離為1.為直線上一動點，作，且使與直線交于點，則△面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解法一：不妨將圖形順時針旋轉(zhuǎn)，然后以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，直線的斜率存在，設(shè)方程為：，，則直線的方程為：，，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的面積最小值為2．解法二：設(shè)角則，故所以的面積由于，所以，故當(dāng)時，面積取最小值2.故選：C.二、填空題.共5小題，每小題5分，共25分.11.已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則其側(cè)面積為______________.〖答案〗〖解析〗由題意，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得其側(cè)面積為.故〖答案〗為：.12.某運動員射擊一次，命中環(huán)的概率為，命中環(huán)的概率為，則他射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過的概率為___________.〖答案〗〖解析〗由題意，射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過8的概率為．故〖答案〗為：0.4.13.在復(fù)平面內(nèi)，是原點，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.若，則___________.〖答案〗〖解析〗因為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，所以，，因為，所以，得.故〖答案〗為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的一個取值為___________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，可得，此時函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以常數(shù)的一個取值可以為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)為線段的中點時，兩點之間距離的最小值為；②當(dāng)為線段的中點時，三棱錐的體積為定值；③存在點，，使得平面；④當(dāng)為靠近點的三等分點時，平面截該正方體所得截面的周長為.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.〖答案〗②③〖解析〗對于①，當(dāng)為線段的中點時，連接，如圖所示，則為線段的中點，是邊長為的正三角形，兩點之間距離的最小值為到的垂線段長度，此時，故①錯誤；對于②，當(dāng)為線段的中點時，連接，如圖所示，顯然，到平面的距離為定值，面積為定值，結(jié)合三棱錐體積公式可知，三棱錐的體積為定值，故②正確；對于③，當(dāng)與重合，與重合時，如圖所示，由正方體可知平面，，因為平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，又因為平面，，所以平面，即平面，所以存在點，，使得平面，故③正確；對于④，當(dāng)為靠近點的三等分點時，延長交于點，取中點，連接，如圖所示，由得四邊形是平行四邊形，所以，由可知，即，所以是中點，又因為是中點，所以，，所以平面截該正方體所得截面為等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周長為，即當(dāng)為靠近點的三等分點時，平面截該正方體所得截面的周長為，故④錯誤.故〖答案〗為：②③.三、解答題.共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在△中，.（1）求；（2）若，且△的面積為，求的值.解：（1）因為，所以由正弦定理得，因為、，所以，所以，即，即，所以.（2）由（1）知，，因為，的面積為，所以由，解得，由余弦定理，所以.17.如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求證：平面平面.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.解：（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以四邊形是平行四邊形，因為分別為棱的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，于是，又平面平面，所以平面.（2）選①：由（1）知，，且，所以，因為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.選②：因為，且為棱的中點，所以，因為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值以及取得最大值時的值.解：（1）由圖可得，且，所以，即，所以，又，所以，即，所以，又，所以，故.（2）因為，所以，因為，所以，所以當(dāng)，即時，有最大值為2.19.在新高考背景下，北京高中學(xué)生需從思想政治?歷史?地理?物理?化學(xué)?生物這6個科目中選擇3個科目學(xué)習(xí)并參加相應(yīng)的等級性考試.為提前了解學(xué)生的選科意愿，某校在期中考試之后，組織該校高一學(xué)生進行了模擬選科.為了解物理和其他科目組合的人數(shù)分布情況，某教師整理了該校高一（1）班和高一（2）班的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：物理+化學(xué)物理+生物物理+思想政治物理+歷史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名學(xué)生，高一（2）班共有38名學(xué)生.假設(shè)所有學(xué)生的選擇互不影響.（1）從該校高一（1）班和高一（2）班所有學(xué)生中隨機選取1人，求此人在模擬選科中選擇了“物理+化學(xué)”的概率；（2）從表中選擇“物理+思想政治”的學(xué)生中隨機選取2人參加座談會，求這2人均來自高一（2）班的概率；（3）該校在本學(xué)期期末考試之后組織高一學(xué)生進行了第二次選科，現(xiàn)從高一（1）班和高一（2）班各隨機選取1人進行訪談，發(fā)現(xiàn)他們在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.根據(jù)這一結(jié)果，能否認為在第二次選科中選擇“物理+歷史”人數(shù)發(fā)生了變化？說明理由.解：（1）依題意得高一（1）班和高一（2）班學(xué)生共有人，即該隨機試驗的樣本空間有78個樣本點，設(shè)事件“此人在模擬選科中選擇了“物理+化學(xué)”，則事件包含個樣本點，所以.（2）依題意得高一（1）班選擇“物理+思想政治”的學(xué)生有2人，分別記為；高一（2）班選擇“物理+思想政治”的學(xué)生有3人，分別記為，該隨機試驗的樣本空間可以表示為：{}，即，設(shè)事件“這2人均來自高一（2）班”，則，所以，故.（3）設(shè)事件“從高一（1）隨機選取1人，此人在第二次選科中選擇了“物理+歷史”，事件“從高一（2）班隨機選取1人，此人在第二次選科中選擇了“物理+歷史”，事件“這兩人在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”，假設(shè)第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)沒有發(fā)生變化，則由模擬選科數(shù)據(jù)可知，，所以，〖答案〗示例1：可以認為第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)發(fā)生變化.理由如下：比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)發(fā)生了變化.〖答案〗示例2：無法確定第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)是否發(fā)生變化，理由如下：事件是隨機事件，雖然比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生，所以無法確定第二次選科中選擇“物理+歷史”的人數(shù)是否有變化.20.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，為棱的中點，平面與棱交于點.（1）求證：為棱的中點；（2）若平面平面，，△為等邊三角形，求四棱錐的體積.解：（1）因為四邊形是矩形，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以，即，又為棱的中點，所以為棱的中點.（2）因為四邊形是矩形，所以，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因為為等邊三角形，為棱的中點，所以，因為平面，，所以平面，即點到平面的距離為，因為，所以，等邊三角形中，，則直角梯形的面積，所以四棱錐的體積.21.設(shè)非零向量，，并定義（1）若，求；（2）寫出之間的等量關(guān)系，并證明；（3）若，求證：集合是有限集.解：（1）因，所以.依題意得，所以，即，所以.（2）的等量關(guān)系是，證明如下：依題意得，所以，因為，所以即，所以，故.（3）由（2）及得.依此類推得，可設(shè)，則，依題意得，，，所以，同理得，，，，所以，綜上，集合是有限集.北京市豐臺區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題.共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知向量，.若，則實數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗向量，，若，則有，則.故選：C.2.若為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負半軸為始邊，終邊關(guān)于原點對稱.若角的終邊與單位圓⊙交于點，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗角與角終邊關(guān)于原點對稱，且若角的終邊與單位圓⊙交于點，所以角的終邊與單位圓⊙交于點，故.故選：B.4.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，則.故選：A.5.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，在該書的第五卷“三斜求積”中，提出了由三角形的三邊直接求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”把以上這段文字寫成公式，就是（其中為三角形面積，為小斜，為中斜，為大斜）.在中，若，，，則的面積等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，若，，，則的面積．故選：B．6.已知是兩條不重合直線，是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（）A.若∥，∥，則∥B.若，∥，則C.若，，，則D.若，，，則∥〖答案〗D〖解析〗對于A，如圖在長方體中，∥，∥，此時，所以A錯誤；對于B，如圖在長方體中，，∥，此時∥，所以B錯誤；對于C，如圖在長方體中，，，，此時∥，所以C錯誤；對于D，如圖，設(shè)，在平面作直線于點，因為，所以，因為，所以∥，因為，，所以∥，所以D正確.故選：D.7.將函數(shù)圖象上的點向右平移個單位長度得到點P′.若P′位于函數(shù)的圖象上，則（）A.，的最小值為 B.，的最小值為C.，的最小值為 D.，的最小值為〖答案〗A〖解析〗點在函數(shù)上，所以，則，，將，代入中可得，，可得或，由于，所以的最小值為．故選：A.8.如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，其中，則，，，當(dāng)時，有最大值6．故選：C．9.如圖，在正方形中，分別為邊，的中點.現(xiàn)沿線段，及把這個正方形折成一個四面體，使三點重合，重合后的點記為.在該四面體中，作平面，垂足為，則是的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心〖答案〗A〖解析〗如下圖所示，在四面體中，連接，由題意知，，，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，因為平面，平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，，則是的垂心.故選：A.10.如圖，已知直線，為之間一定點，并且點到的距離為2，到的距離為1.為直線上一動點，作，且使與直線交于點，則△面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解法一：不妨將圖形順時針旋轉(zhuǎn)，然后以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，直線的斜率存在，設(shè)方程為：，，則直線的方程為：，，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的面積最小值為2．解法二：設(shè)角則，故所以的面積由于，所以，故當(dāng)時，面積取最小值2.故選：C.二、填空題.共5小題，每小題5分，共25分.11.已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則其側(cè)面積為______________.〖答案〗〖解析〗由題意，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得其側(cè)面積為.故〖答案〗為：.12.某運動員射擊一次，命中環(huán)的概率為，命中環(huán)的概率為，則他射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過的概率為___________.〖答案〗〖解析〗由題意，射擊一次命中的環(huán)數(shù)不超過8的概率為．故〖答案〗為：0.4.13.在復(fù)平面內(nèi)，是原點，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是.若，則___________.〖答案〗〖解析〗因為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，所以，，因為，所以，得.故〖答案〗為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的一個取值為___________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，可得，此時函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以常數(shù)的一個取值可以為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)為線段的中點時，兩點之間距離的最小值為；②當(dāng)為線段的中點時，三棱錐的體積為定值；③存在點，，使得平面；④當(dāng)為靠近點的三等分點時，平面截該正方體所得截面的周長為.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.〖答案〗②③〖解析〗對于①，當(dāng)為線段的中點時，連接，如圖所示，則為線段的中點，是邊長為的正三角形，兩點之間距離的最小值為到的垂線段長度，此時，故①錯誤；對于②，當(dāng)為線段的中點時，連接，如圖所示，顯然，到平面的距離為定值，面積為定值，結(jié)合三棱錐體積公式可知，三棱錐的體積為定值，故②正確；對于③，當(dāng)與重合，與重合時，如圖所示，由正方體可知平面，，因為平面，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，又因為平面，，所以平面，即平面，所以存在點，，使得平面，故③正確；對于④，當(dāng)為靠近點的三等分點時，延長交于點，取中點，連接，如圖所示，由得四邊形是平行四邊形，所以，由可知，即，所以是中點，又因為是中點，所以，，所以平面截該正方體所得截面為等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周長為，即當(dāng)為靠近點的三等分點時，平面截該正方體所得截面的周長為，故④錯誤.故〖答案〗為：②③.三、解答題.共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在△中，.（1）求；（2）若，且△的面積為，求的值.解：（1）因為，所以由正弦定理得，因為、，所以，所以，即，即，所以.（2）由（1）知，，因為，的面積為，所以由，解得，由余弦定理，所以.17.如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求證：平面平面.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.解：（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以四邊形是平行四邊形，因為分別為棱的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，于是，又平面平面，所以平面.（2）選①：由（1）知，，且，所以，因為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.選②：因為，且為棱的中點，所以，因為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值以及取得最大值時的值.解：（1）由圖可得，且，所以，即，所以，又，所以，即，所以，又，所以，故.（2）因為，所以，因為，所以，所以當(dāng)，即時，有最大值為2.19.在新高考背景下，北京高中學(xué)生需從思想政治?歷史?地理?物理?化學(xué)?生物這6個科目中選擇3個科目學(xué)習(xí)并參加相應(yīng)的等級性考試.為提前了解學(xué)生的選科意愿，某校在期中考試之后，組織該校高一學(xué)生進行了模擬選科.為了解物理和其他科目組合的人數(shù)分布情況，某教師整理了該校高一（1）班和高一（2）班的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：物理+化學(xué)物理+生物物理+思想政治物理+歷史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名學(xué)生，高一（2）班共有38名學(xué)生.假設(shè)所有學(xué)生的選擇互不影響.（1）從該校高一（1）班和高一（2）班所有學(xué)生中隨機選取1人，求此人在模擬選科中選擇了“物理+化學(xué)”的概率；（2）從表中選擇“物理+思想政治”的學(xué)生中隨機選取2人參加座談會，求這2人均來自高一（2）班的概率；（3）該校在本學(xué)期期末考試之后組織高一學(xué)生進行了第二次選科，現(xiàn)從高一（1）班和高一（2）班各隨機選取1人進行訪談，發(fā)現(xiàn)他們在第二次選科中都選擇了“物理+歷史”.根據(jù)這一結(jié)果，能否認為在第二次選科中選擇“物理+歷史”人數(shù)發(fā)生了變化？說明理由.解：（1）依題意得高一（1）班和高一（2）班學(xué)生共有人，即該隨機試驗的樣本空間有78個樣本點，設(shè)事件“此