2022-2023學(xué)年福建省龍巖市高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省龍巖市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項：1．考生將自己的姓名、準考證號及所有的〖答案〗均填寫在答題卡上．2．答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”．第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求請把〖答案〗填涂在答題卡上．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，則.故選：A2.投擲一個骰子，記事件，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，，，則，所以.故選：D3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，令，所以該函數(shù)在，當時，，函數(shù)為增函數(shù)；當時，，函數(shù)為減函數(shù)；當時，，函數(shù)為增函數(shù)；當時，，函數(shù)為減函數(shù)；故函數(shù)有兩個極大值，一個極小值，所以〖答案〗為D.故選：D4.如圖，在平行六面體中，M為的交點．若，，，則向量＝（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵在平行六面體中，M為的交點．若，，，∴向量.故選：A．5.已知直三棱柱中，，，，D是的中點，則異面直線與CD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中點，連接，在直三棱柱中，，因為分別為，的中點，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，為異面直線與所成的角，因為，，所以，，，在直三棱柱中，，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：B6.已知甲、乙盒子各裝有形狀大小完全相同的小球，其中甲盒子內(nèi)有2個紅球，1個白球；乙盒子內(nèi)有3個紅球，2個白球．若第一次先從甲盒子內(nèi)隨機抽取1個球放入乙盒子中，則第二次從乙盒子中抽1個球是紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記為從甲盒子中取出一個紅球，為從甲盒子中取出一個紅球，為從乙盒子中取出一個紅球，所以，，，，所以.故選：C7.，，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，根據(jù)題干條件，，即，故，為常數(shù)，即，于是，整理可得，令，整理可得，解得.故選：D8.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，令且，則，故上，此時單調(diào)遞增，故，所以，令且，則，即此時單調(diào)遞增，所以，則，令得：，故，則，綜上．故選：B二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．請把〖答案〗填涂在答題卡上．9.下列說法正確的是（）A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B.運用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心C.在一個列聯(lián)表中，計算得到的值，若的值越小，則可以判斷兩個變量有關(guān)的概率越大D.利用獨立性檢驗推斷“與是否有關(guān)”，根據(jù)數(shù)據(jù)算得,已知，，則有超過的把握認為與無關(guān)〖答案〗AB〖解析〗對于A：兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，故A正確；對于B：運用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，故B正確；對于C：在一個列聯(lián)表中，計算得到的值，若的值越小，則可以判斷兩個變量有關(guān)的概率越小，故C錯誤；對于D：因為，所以有超過的把握認為與有關(guān)，故D錯誤；故選：AB10.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實數(shù)m的取值可能為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗已知，函數(shù)定義域為，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值，極小值，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，此時，解得，當，即時，整理得，解得或，所以，綜上，滿足條件的取值范圍為，．故選：CD．11.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，C.若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是D.若關(guān)于x的方程有6個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗當時，，在單調(diào)遞減，且漸近線為和，當時，，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，時，當時，，作出圖象如下圖所示，對于A，函數(shù)的值域為，故A正確；對于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，故B正確；對于C，若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則或共有3個不相等的實數(shù)根，又因為解得或，所以與有1個公共點，所以或，故C錯誤.對于D，若關(guān)于x的方程有6個不相等的實數(shù)根，即或有6個不相等實數(shù)根，又因為解得或，所以與有4個公共點，作出圖象如下圖所示，顯然實數(shù)a的取值范圍是，故D正確.故選：ABD12.在棱長為2的正方體中，點N滿足，其中，，異面直線BN與所成角為，點M滿足，則下列選項正確的是（）A.B.C.當線段MN取最小值時，D.當時，與AM垂直的平面截正方體所得的截面面積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗因為點N滿足，其中，，則點N在正方形內(nèi)（包括邊界），又因為∥，則異面直線BN與所成角即為，可得，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，所以A錯誤；因為且，所以點M在線段上（包括端點），因為平面，平面，則，又因為為正方形，則，，平面，所以平面，且平面，所以，所以B正確；因為，當且僅當三點共線時，等號成立，又因為當時，取到最小值，此時是的中點時，結(jié)合對稱性可知：當是的中點時，也為圓弧的中點時，則，所以，即，所以，故C正確；當時，則，即與重合，與垂直的平面，即與體對角線垂直的平面，因為平面，且平面，所以，同理可證：，且，平面，所以平面，而與平面平行且面積最大的截面應(yīng)當過正方體的中心，此時截面為邊長是的正六邊形，所以截面面積的最大值為，故D正確．故選：BCD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，，若，則________．〖答案〗〖解析〗空間向量，，且即，故〖答案〗為：.14.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B有如下關(guān)系：．某地有A，B兩個游泳館，甲同學(xué)決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學(xué)周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學(xué)周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件為“甲同學(xué)周日去A館”，事件為“甲同學(xué)周六去A館”，即求，根據(jù)題意得，，，則.故〖答案〗：.15.在棱長為2的正方體中，P是側(cè)面上的動點，且滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗以為空間直角坐標系的原點，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標系，設(shè).則，故，，由可得，解得，故的軌跡是線段，則的最小值為到線段的距離.故〖答案〗為：16.函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗法一：依題意：在上恒成立，設(shè)，，則，令，，則在上單調(diào)遞增，又，，所以使，當時，在單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞增，所以，由得，，設(shè)，，則，，所以上單調(diào)遞增，所以，即，，故，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為；法二：，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時取“”，令，，即，，當，即時，，此時不等式恒成立；當，即時，設(shè)，在上單調(diào)遞增，，，，使，即，所以與恒成立矛盾，故舍去，綜上可得．故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間.解：（1）因為所以，所以，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為：；（2）由函數(shù)在處取得極值可知：，即，解得：，此時，，，當，時，，當時，，所以符合題意.綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，點E為棱PC的中點．（1）求證：平面PAD；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．解：（1）如圖所示，取中點，連接．因為分別為的中點，所以，且．又由已知，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以又因為平面，平面．所以平面．（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則．由為棱的中點，得．向量，．設(shè)為平面的法向量，則．不妨令，得，即為平面的一個法向量．又向量，設(shè)直線與平面所成角為，所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．19.第22屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行．為了讓中學(xué)生了解亞運會，某市舉辦了一次亞運會知識競賽，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分布表（見表）．分組（百分制）頻數(shù)頻率100.1200.2300.3250.25150.15合計1001（1）由頻率分布表可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績X服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且．利用該正態(tài)分布，求；（2）預(yù)賽成績不低于80分的學(xué)生將參加復(fù)賽，現(xiàn)用樣本估計總體，將頻率視為概率．從該市參加預(yù)賽的學(xué)生中隨機抽取2人，記進入復(fù)賽的人數(shù)為Y，求Y的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，；．解：（1）由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值為：，又由，，．（2）由題意，抽取2人進入復(fù)賽的人數(shù)，的概率分布列為012的數(shù)學(xué)期望為．20.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，平面平面．（1）求證：；（2）若的面積為，試判斷在線段上是否存在點D，使得二面角的大小為．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）,E是的中點，又平面平面，平面平面，且平面．平面．又平面，．（2）在直三棱柱中，平面．又平面，．又，平面且，平面．又平面平面．平面，、從而可得兩兩垂直．所以如圖以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．的面積為，且矩形中可得解得．則，．設(shè)，．又，設(shè)平面的法向量，則，不妨取，則，∴，由（1）平面，∴平面的一個法向量，．解得,又可知又由圖可知當為的中點時，二面角為鈍二面角符合題意，綜上，在上存在一點D，此時，使得二面角的大小為．21.三年疫情對我們的學(xué)習生活以及各個行業(yè)都產(chǎn)生了影響，某房地產(chǎn)開發(fā)公司為了回籠資金，提升銷售業(yè)績，公司旗下的某個樓盤統(tǒng)一推出了為期7天的優(yōu)惠活動．負責人用表格記錄了推出活動以后每天售樓部到訪客戶的人次，表格中x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天來訪的人次，根據(jù)表格繪制了以下散點圖．x（天）1234567y（人次）122242681322023924.248705070134.821406.961.78表中，．（1）（i）請根據(jù)散點圖判斷，以下兩個函數(shù)模型與（a，b，c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果以及表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程．（2）此樓盤共有N套房，其中200套特價房，活動期間共賣出300套房，其中50套特價房，試給出N的估計值（以使得最大的N的值作為N的估計值，X表示賣出的300套房中特價房的數(shù)目）．附：對于樣本（，2，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．解：（1）（?。└鶕?jù)散點圖可得隨的增大，增長速度越來越快，不滿足線性回歸，故判斷適合作為人次關(guān)于活動推出天數(shù)的回歸方程類型．（ⅱ）由（?。┲?，，兩邊同時取對數(shù)得，令．則由題意知，又，所以，所以，所以，，，則關(guān)于的回歸方程為．（2）依題意服從超幾何分布，當時，，當時，，記，則，由解得，所以當時，當時，當時，故當或時最大，所以的估計值為．22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，且是的兩個零點，，證明：．解：（1），①若，則，即在單調(diào)遞減，②若，令，有，令，有，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，綜上：，在單調(diào)遞減，若，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2），令得：，因為，，因為是的兩個零點，所以，，所以，，要證明，只需證，即證明變形為，令，則證明，設(shè)，，在單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)，，在單調(diào)遞減，所以，，即，，綜上：．福建省龍巖市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項：1．考生將自己的姓名、準考證號及所有的〖答案〗均填寫在答題卡上．2．答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”．第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求請把〖答案〗填涂在答題卡上．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，則.故選：A2.投擲一個骰子，記事件，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，，，則，所以.故選：D3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，令，所以該函數(shù)在，當時，，函數(shù)為增函數(shù)；當時，，函數(shù)為減函數(shù)；當時，，函數(shù)為增函數(shù)；當時，，函數(shù)為減函數(shù)；故函數(shù)有兩個極大值，一個極小值，所以〖答案〗為D.故選：D4.如圖，在平行六面體中，M為的交點．若，，，則向量＝（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵在平行六面體中，M為的交點．若，，，∴向量.故選：A．5.已知直三棱柱中，，，，D是的中點，則異面直線與CD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中點，連接，在直三棱柱中，，因為分別為，的中點，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，為異面直線與所成的角，因為，，所以，，，在直三棱柱中，，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：B6.已知甲、乙盒子各裝有形狀大小完全相同的小球，其中甲盒子內(nèi)有2個紅球，1個白球；乙盒子內(nèi)有3個紅球，2個白球．若第一次先從甲盒子內(nèi)隨機抽取1個球放入乙盒子中，則第二次從乙盒子中抽1個球是紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記為從甲盒子中取出一個紅球，為從甲盒子中取出一個紅球，為從乙盒子中取出一個紅球，所以，，，，所以.故選：C7.，，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，根據(jù)題干條件，，即，故，為常數(shù)，即，于是，整理可得，令，整理可得，解得.故選：D8.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，令且，則，故上，此時單調(diào)遞增，故，所以，令且，則，即此時單調(diào)遞增，所以，則，令得：，故，則，綜上．故選：B二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．請把〖答案〗填涂在答題卡上．9.下列說法正確的是（）A.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1B.運用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心C.在一個列聯(lián)表中，計算得到的值，若的值越小，則可以判斷兩個變量有關(guān)的概率越大D.利用獨立性檢驗推斷“與是否有關(guān)”，根據(jù)數(shù)據(jù)算得,已知，，則有超過的把握認為與無關(guān)〖答案〗AB〖解析〗對于A：兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，故A正確；對于B：運用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，故B正確；對于C：在一個列聯(lián)表中，計算得到的值，若的值越小，則可以判斷兩個變量有關(guān)的概率越小，故C錯誤；對于D：因為，所以有超過的把握認為與有關(guān)，故D錯誤；故選：AB10.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實數(shù)m的取值可能為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗已知，函數(shù)定義域為，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值，極小值，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，此時，解得，當，即時，整理得，解得或，所以，綜上，滿足條件的取值范圍為，．故選：CD．11.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，C.若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是D.若關(guān)于x的方程有6個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗當時，，在單調(diào)遞減，且漸近線為和，當時，，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，時，當時，，作出圖象如下圖所示，對于A，函數(shù)的值域為，故A正確；對于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，故B正確；對于C，若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則或共有3個不相等的實數(shù)根，又因為解得或，所以與有1個公共點，所以或，故C錯誤.對于D，若關(guān)于x的方程有6個不相等的實數(shù)根，即或有6個不相等實數(shù)根，又因為解得或，所以與有4個公共點，作出圖象如下圖所示，顯然實數(shù)a的取值范圍是，故D正確.故選：ABD12.在棱長為2的正方體中，點N滿足，其中，，異面直線BN與所成角為，點M滿足，則下列選項正確的是（）A.B.C.當線段MN取最小值時，D.當時，與AM垂直的平面截正方體所得的截面面積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗因為點N滿足，其中，，則點N在正方形內(nèi)（包括邊界），又因為∥，則異面直線BN與所成角即為，可得，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，所以A錯誤；因為且，所以點M在線段上（包括端點），因為平面，平面，則，又因為為正方形，則，，平面，所以平面，且平面，所以，所以B正確；因為，當且僅當三點共線時，等號成立，又因為當時，取到最小值，此時是的中點時，結(jié)合對稱性可知：當是的中點時，也為圓弧的中點時，則，所以，即，所以，故C正確；當時，則，即與重合，與垂直的平面，即與體對角線垂直的平面，因為平面，且平面，所以，同理可證：，且，平面，所以平面，而與平面平行且面積最大的截面應(yīng)當過正方體的中心，此時截面為邊長是的正六邊形，所以截面面積的最大值為，故D正確．故選：BCD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，，若，則________．〖答案〗〖解析〗空間向量，，且即，故〖答案〗為：.14.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B有如下關(guān)系：．某地有A，B兩個游泳館，甲同學(xué)決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學(xué)周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學(xué)周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件為“甲同學(xué)周日去A館”，事件為“甲同學(xué)周六去A館”，即求，根據(jù)題意得，，，則.故〖答案〗：.15.在棱長為2的正方體中，P是側(cè)面上的動點，且滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗以為空間直角坐標系的原點，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標系，設(shè).則，故，，由可得，解得，故的軌跡是線段，則的最小值為到線段的距離.故〖答案〗為：16.函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗法一：依題意：在上恒成立，設(shè)，，則，令，，則在上單調(diào)遞增，又，，所以使，當時，在單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞增，所以，由得，，設(shè)，，則，，所以上單調(diào)遞增，所以，即，，故，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為；法二：，令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時取“”，令，，即，，當，即時，，此時不等式恒成立；當，即時，設(shè)，在上單調(diào)遞增，，，，使，即，所以與恒成立矛盾，故舍去，綜上可得．故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間.解：（1）因為所以，所以，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為：；（2）由函數(shù)在處取得極值可知：，即，解得：，此時，，，當，時，，當時，，所以符合題意.綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，點E為棱PC的中點．（1）求證：平面PAD；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．解：（1）如圖所示，取中點，連接．因為分別為的中點，所以，且．又由已知，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以又因為平面，平面．所以平面．（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則．由為棱的中點，得．向量，．設(shè)為平面的法向量，則．不妨令，得，即為平面的一個法向量．又向量，設(shè)直線與平面所成角為，所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．19.第22屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行．為了讓中學(xué)生了解亞運會，某市舉辦了一次亞運會知識競賽，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分布表（見表）．分組（百分制）頻數(shù)頻率100.1200.2300.3250.25150.15合計1001（1）由頻率分布表可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績X服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且．利用該正態(tài)分布，求；（2）預(yù)賽成績不低于80分的學(xué)生將參加復(fù)賽，現(xiàn)用樣本估計總體，將頻率視為概率．從該市參加預(yù)賽的學(xué)生中隨機抽取2人，記進入復(fù)賽的人數(shù)為Y，求Y的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，；．解：（1）由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值為：，又由，，．（2）由題意，抽取2人進入復(fù)賽的人數(shù)，的概率分布列為012的數(shù)學(xué)期望為．20.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，平面平面．（1）求證：；（2）若的面積為，試判斷在線段上是否存在點D，使得二面角的大小為．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）,E是的中點，又平