2022-2023學(xué)年遼寧省丹東市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為，所以對應(yīng)的點為，它位于第二象限.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知圓臺的上?下底面的面積分別為和，其母線的長為，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓臺的上、下底面面積分別為和，圓臺的上、下底面半徑分別為6和7，圓臺的母線長為，如圖為圓臺的軸截面，分別為的中點，過作于，則，所以，圓臺的高，圓臺的體積．故選：A．4.要得到的圖象，只要將的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度〖答案〗D〖解析〗對于選項A：將的圖象向左平移個單位長度，得到，故A錯誤；對于選項B：將的圖象向右平移個單位長度，得到，故B錯誤；對于選項C：將的圖象向左平移個單位長度，得到，故C錯誤；對于選項D：將的圖象向右平移個單位長度，得到，故D正確.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：.故選：C.6.已知直線平面，直線平面，給出下列四個命題：①；②；③；④其中正確的命題個數(shù)為（

）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗因為直線平面，直線平面，對于①，若，則，從而，故①對；對于②，若，則或，則與的位置關(guān)系不確定，故②錯；對于③，若，則，因為平面.，則，故③對；對于④，因為，，則或，則或、相交、重合，故④錯.故選：B.7.已知函數(shù)，且，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗因為且，所以，即，所以，即，所以，，則，，不妨取，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，結(jié)合各選項可知只有D正確.故選：D.8.在長方體中，為的中點，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在長方體中，為的中點，，，所以為等腰直角三角形，則其外接圓的圓心為斜邊的中點，且，所以三棱錐外接球的球心在經(jīng)過點且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，連接、、，則外接球的半徑，設(shè)（或其延長線）與平面交于，連接，，則，，所以球心在平面的外部，設(shè)，則，，所以，解得，所以，則三棱錐外接球的表面積.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在復(fù)平面內(nèi)，是坐標(biāo)原點，，則（）A.的虛部為 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為，所以的虛部為，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，所以，故D錯誤.故選：BC.10.在中，角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A當(dāng)時，B.當(dāng)是銳角三角形時，角的取值范圍為C.外接圓的半徑為2D.周長的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗A中，因為，由正弦定理可得，再由大邊對大角可知正確；B中，因為是銳角三角形，則，解得，即，所以B正確；C中，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，則C不正確；D中，，，由余弦定理可得，即，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又在三角形中，，所以，，所以周長的取值范圍為，故D正確．故選：ABD．11.在菱形中，是的中點，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為是菱形，所以，，所以，所以A正確；對于D，因為是的中點，所以，所以，所以B正確；對于C，因為，所以，因為，所以，所以C錯誤；對于D，過作于，因為，所以∥，因為是的中點，所以為的四等分點，所以，所以D正確.故選：ABD.12.在正四棱柱中，點是的中點，，則（）A.是等腰三角形B.三棱錐的體積為C.∥平面D.平面截該長方體所得截面面積為3〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：由題意可知：，顯然互不相等，所以不是等腰三角形，故A錯誤；對于選項B：三棱錐的體積為，故B正確；對于選項C：設(shè)，連接，可知：分別為的中點，則∥，且平面，平面，所以∥平面，故C正確；對于選項D：分別取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，，且∥，，可得∥，，可得為平行四邊形，則∥，又因為分別為的中點，則∥，，可得為平行四邊形，則∥，所以∥，同理可證：∥，所以平面截該長方體所得截面為平行四邊形，在中，由選項A可知：，則，可得鈍角，且，所以截面面積為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖所示的圖象是的一部分，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，的周期為：，解得，根據(jù)正切函數(shù)的定義域可知，，即，結(jié)合可得，則，此時，又，于是.故〖答案〗為：.14.已知中，角的對邊分別為，，則角__________．〖答案〗〖解析〗因為，則，即，可得，且，所以.故〖答案〗：.15.已知，且是第三象限的角，則__________．〖答案〗〖解析〗因為，則，解得，又因為，且是第三象限的角，則，所以.故〖答案〗為：.16.“阿基米德多面體”稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形?六個面為正方形的一種半正多面體．則異面直線AB與CD所成角的余弦值為__________，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，由題意可知，三角形為等邊三角形，因為，所以或其補角為異面直線AB與CD所成角，因為三角形為等邊三角形，所以，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為；設(shè)半正多面體的棱長為，則，設(shè)點到平面的距離為，由題意可得點到平面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以，則，則直線AB與平面BCD所成角的正弦值為.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知向量.（1）若，求；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍．解：（1）由題意可得：，因為，解得，所以，故.（2）令，解得，若與共線，則，解得，因為與的夾角為銳角，則，且與不共線，所以的取值范圍為.18.如圖，一條河的對岸有兩點，在這條河的一側(cè)有兩個觀測點，分別測得，已知在同一個水平面上，求的長．解：在中，可得，，所以，在中，可得，，由正弦定理，所以，在中，由余弦定理可得：，所以.19.如圖所示多面體中，是等邊三角形，平面平面，平面平面．（1）求證：//平面；（2）若，求多面體的體積．解：（1）過在平面內(nèi)作，垂足為，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的判定，則平面，過在平面內(nèi)作，垂足為，同理可推出平面，垂直于同一平面的兩條直線平行，故.由題意，，故是全等的等邊三角形，則這兩個三角形對應(yīng)高，于是四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故//平面.（2）連接，則該幾何體的體積，由（1）知，為棱錐的高，易得，，故，連接交于，由（1）得，為中位線，故//，故，又，根據(jù)和相似可得，，故到平面的距離是到平面距離的一半，故，于是.20.在中，角的對邊分別為．（1）求證：；（2）若是上一點，平分，求．解：（1），，在中，由正弦定理得.（2）設(shè)，則，由（1）知，，所以，因為為的角平分線，所以，即，所以，由余弦定理知，化簡整理得，，所以.21.如圖（1）所示，，，，如圖（2）所示，把沿折起，使平面平面，為的中點，連接，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）分別取，的中點，，連接，，，因為為的中點，所以，因為平面，所以平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，所以是二面角的平面角，又，，，所以，，所以，在直角中，，，，所以，即二面角的正弦值為．22.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求的值域；（2）若滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求：①的最小正周期；②方程的所有根之和．解：（1）由題意，當(dāng)，，當(dāng)時，，所以，則，即的值域為.（2）①因為，因為且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以過點，即，，所以，，又，，解得，，又，所以，且，解得，綜上所述可得，所以函數(shù)的最小正周期為.②由①可得，由，解得或，由于，所以，令，即，令，則，當(dāng)時方程在上有兩個根，記作，，且兩根關(guān)于對稱，所以，設(shè)方程的兩根為，，則，所以，令，即，則當(dāng)時，方程在上有三個根，，，則，，，設(shè)方程的三根為，，，則，所以，所以的所有根之和為．遼寧省丹東市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為，所以對應(yīng)的點為，它位于第二象限.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知圓臺的上?下底面的面積分別為和，其母線的長為，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓臺的上、下底面面積分別為和，圓臺的上、下底面半徑分別為6和7，圓臺的母線長為，如圖為圓臺的軸截面，分別為的中點，過作于，則，所以，圓臺的高，圓臺的體積．故選：A．4.要得到的圖象，只要將的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度〖答案〗D〖解析〗對于選項A：將的圖象向左平移個單位長度，得到，故A錯誤；對于選項B：將的圖象向右平移個單位長度，得到，故B錯誤；對于選項C：將的圖象向左平移個單位長度，得到，故C錯誤；對于選項D：將的圖象向右平移個單位長度，得到，故D正確.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：.故選：C.6.已知直線平面，直線平面，給出下列四個命題：①；②；③；④其中正確的命題個數(shù)為（

）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗因為直線平面，直線平面，對于①，若，則，從而，故①對；對于②，若，則或，則與的位置關(guān)系不確定，故②錯；對于③，若，則，因為平面.，則，故③對；對于④，因為，，則或，則或、相交、重合，故④錯.故選：B.7.已知函數(shù)，且，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗因為且，所以，即，所以，即，所以，，則，，不妨取，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，結(jié)合各選項可知只有D正確.故選：D.8.在長方體中，為的中點，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在長方體中，為的中點，，，所以為等腰直角三角形，則其外接圓的圓心為斜邊的中點，且，所以三棱錐外接球的球心在經(jīng)過點且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，連接、、，則外接球的半徑，設(shè)（或其延長線）與平面交于，連接，，則，，所以球心在平面的外部，設(shè)，則，，所以，解得，所以，則三棱錐外接球的表面積.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在復(fù)平面內(nèi)，是坐標(biāo)原點，，則（）A.的虛部為 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因為，所以的虛部為，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，所以，故D錯誤.故選：BC.10.在中，角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A當(dāng)時，B.當(dāng)是銳角三角形時，角的取值范圍為C.外接圓的半徑為2D.周長的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗A中，因為，由正弦定理可得，再由大邊對大角可知正確；B中，因為是銳角三角形，則，解得，即，所以B正確；C中，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，則C不正確；D中，，，由余弦定理可得，即，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又在三角形中，，所以，，所以周長的取值范圍為，故D正確．故選：ABD．11.在菱形中，是的中點，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為是菱形，所以，，所以，所以A正確；對于D，因為是的中點，所以，所以，所以B正確；對于C，因為，所以，因為，所以，所以C錯誤；對于D，過作于，因為，所以∥，因為是的中點，所以為的四等分點，所以，所以D正確.故選：ABD.12.在正四棱柱中，點是的中點，，則（）A.是等腰三角形B.三棱錐的體積為C.∥平面D.平面截該長方體所得截面面積為3〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：由題意可知：，顯然互不相等，所以不是等腰三角形，故A錯誤；對于選項B：三棱錐的體積為，故B正確；對于選項C：設(shè)，連接，可知：分別為的中點，則∥，且平面，平面，所以∥平面，故C正確；對于選項D：分別取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，，且∥，，可得∥，，可得為平行四邊形，則∥，又因為分別為的中點，則∥，，可得為平行四邊形，則∥，所以∥，同理可證：∥，所以平面截該長方體所得截面為平行四邊形，在中，由選項A可知：，則，可得鈍角，且，所以截面面積為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖所示的圖象是的一部分，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意，的周期為：，解得，根據(jù)正切函數(shù)的定義域可知，，即，結(jié)合可得，則，此時，又，于是.故〖答案〗為：.14.已知中，角的對邊分別為，，則角__________．〖答案〗〖解析〗因為，則，即，可得，且，所以.故〖答案〗：.15.已知，且是第三象限的角，則__________．〖答案〗〖解析〗因為，則，解得，又因為，且是第三象限的角，則，所以.故〖答案〗為：.16.“阿基米德多面體”稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形?六個面為正方形的一種半正多面體．則異面直線AB與CD所成角的余弦值為__________，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，連接，由題意可知，三角形為等邊三角形，因為，所以或其補角為異面直線AB與CD所成角，因為三角形為等邊三角形，所以，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為；設(shè)半正多面體的棱長為，則，設(shè)點到平面的距離為，由題意可得點到平面的距離為，所以三棱錐的體積為，所以，則，則直線AB與平面BCD所成角的正弦值為.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知向量.（1）若，求；（2）若與的夾角為銳角，求的取值范圍．解：（1）由題意可得：，因為，解得，所以，故.（2）令，解得，若與共線，則，解得，因為與的夾角為銳角，則，且與不共線，所以的取值范圍為.18.如圖，一條河的對岸有兩點，在這條河的一側(cè)有兩個觀測點，分別測得，已知在同一個水平面上，求的長．解：在中，可得，，所以，在中，可得，，由正弦定理，所以，在中，由余弦定理可得：，所以.19.如圖所示多面體中，是等邊三角形，平面平面，平面平面．（1）求證：//平面；（2）若，求多面體的體積．解：（1）過在平面內(nèi)作，垂足為，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的判定，則平面，過在平面內(nèi)作，垂足為，同理可推出平面，垂直于同一平面的兩條直線平行，故.