高中理科數(shù)學(xué)各類型概率統(tǒng)計(jì)分布列解答題

高中理科數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)、各類分布列解答題類型以隨機(jī)事件概率為背景離散型隨機(jī)變量的分布列、均值【背一背重點(diǎn)知識(shí)】隨機(jī)變量SKIPIF1<0所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，各事件概率之和為1．2．求隨機(jī)事件概率為背景的離散型隨機(jī)變量的均值與方差公式SKIPIF1<03．注意事件中所包含關(guān)鍵詞，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含義．【講一講提高技能】1、必備技能：分類討論要保證不重不漏，且相互互斥．靈活運(yùn)用排列組合相應(yīng)方法進(jìn)行計(jì)數(shù)．等可能性是正確解題的關(guān)鍵，在計(jì)數(shù)及求概率過程中嚴(yán)格保證事件的等可能性．【練一練提升能力】1．某中學(xué)高一年級(jí)共8個(gè)班，現(xiàn)從高一年級(jí)選10名同學(xué)組成社區(qū)服務(wù)小組，其中高一（1）班選取3名同學(xué)，其它各班各選取1名同學(xué)．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．（1）求選出的3名同學(xué)來自不同班級(jí)的概率；（2）設(shè)X為選出同學(xué)中高一（1）班同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）設(shè)拋擲5次的得分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0；（2）求恰好得到SKIPIF1<0分的概率．3、某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修．每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為13(1)問該廠至少有多少名工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資．每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人．求該廠每月獲利的均值．以二項(xiàng)分布為背景離散型隨機(jī)變量的分布列、均值【背一背重點(diǎn)知識(shí)】1．若隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布，則SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的事件是兩兩獨(dú)立重復(fù)的，概率SKIPIF1<0為事件成功的概率．2．求二項(xiàng)分布為背景的離散型隨機(jī)變量的均值與方差公式:若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【講一講提高技能】必備技能：利用離散型隨機(jī)變量的均值與方差的定義，也可求出二項(xiàng)分布為背景的離散型隨機(jī)變量的均值與方差，但計(jì)算較繁．因此判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布是解決問題的關(guān)鍵．判斷方法有兩個(gè)，一是從字面上理解是否符合獨(dú)立重復(fù)條件，二是通過計(jì)算，歸納其概率規(guī)律是否滿足二項(xiàng)分布．【練一練提升能力】1.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識(shí)有獎(jiǎng)競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為eq\f(2,3).(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．對(duì)服務(wù)滿意對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品滿意80對(duì)商品不滿意合計(jì)2002.近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展．2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺(tái)的銷售業(yè)績高達(dá)516億元人民幣，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)該網(wǎng)購平臺(tái)的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)系統(tǒng)．從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購者對(duì)商品的滿意率為0．6，對(duì)服務(wù)的滿意率為0．75，其中對(duì)商品和服務(wù)都滿意的交易為80次．(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)服務(wù)滿意之間有關(guān)系”？(Ⅱ)若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺(tái)上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．附：K2=n(P0．150．100．050．0250．010k2．0722．7063．8415．0246．6353.(12分)某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)：(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕?；(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記ξ表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．以正態(tài)分布為背景離散型隨機(jī)變量的分布列、均值1、正態(tài)分布概念：若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，其中為常數(shù)，且，則稱服從正態(tài)分布，簡記為～。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的圖象稱為正態(tài)曲線。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線2、正態(tài)分布的期望與方差若～，則3、正態(tài)曲線的性質(zhì)：（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交．（2）曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱．（3）曲線在x=μ時(shí)位于最高點(diǎn)．（4）曲線與x軸之間的面積為1（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨μ的變化而沿x軸平移（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中．4、正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值1、語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如下：（I）如果成績大于135的為特別優(yōu)秀，這500名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設(shè)數(shù)學(xué)成績?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的）（II）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（I）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．，則，．2、．為評(píng)估設(shè)備SKIPIF1<0生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備SKIPIF1<0生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件最為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值SKIPIF1<0，標(biāo)準(zhǔn)差SKIPIF1<0，以頻率值作為概率的估計(jì)值．（1）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零點(diǎn)中任意抽取一件，記其直徑為SKIPIF1<0，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（SKIPIF1<0表示相應(yīng)事件的頻率）；①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙，若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備SKIPIF1<0的性能等級(jí)．（2）將直徑小于等于SKIPIF1<0或直徑大于SKIPIF1<0的零件認(rèn)為是次品（?。脑O(shè)備SKIPIF1<0的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0；（ⅱ）從樣本中隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．3．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：（=1\*ROMANI）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值SKIPIF1<0和樣本方差SKIPIF1<0（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（=2\*ROMANII）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本方差SKIPIF1<0．（=1\*romani）利用該正態(tài)分布，求SKIPIF1<0；（=2\*romanii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記SKIPIF1<0表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間SKIPIF1<0的產(chǎn)品件數(shù)．利用（=1\*romani）的結(jié)果，求SKIPIF1<0．附：SKIPIF1<0若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．與莖葉圖，頻率分布直方圖有關(guān)的概率，分布列與均值1．某校高一（I）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如下圖．（I）求分?jǐn)?shù)在SKIPIF1<0的頻率及全班人數(shù)；（II）求分?jǐn)?shù)在SKIPIF1<0之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中SKIPIF1<0間矩形的高；（III）若要從分?jǐn)?shù)在SKIPIF1<0之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份分?jǐn)?shù)在SKIPIF1<0之間的概率．2、2016年，某省環(huán)保部門制定了《省工業(yè)企業(yè)環(huán)境保護(hù)標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)基本要求及考核評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)》，為了解本省各家企業(yè)對(duì)環(huán)保的重視情況，從中抽取了40家企業(yè)進(jìn)行考核評(píng)分，考核評(píng)分均在[50，100]內(nèi)，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖（滿分為100分）．（Ⅰ）已知該省對(duì)本省每家企業(yè)每年的環(huán)保獎(jiǎng)勵(lì)y（單位：萬元）與考核評(píng)分x的關(guān)系式為y={（Ⅱ）在這40家企業(yè)中，從考核評(píng)分在80分以上（含80分）的企業(yè)中隨機(jī)抽取3家企業(yè)座談環(huán)保經(jīng)驗(yàn)，設(shè)X為所抽取的3家企業(yè)中考核評(píng)分在[80，90)內(nèi)的企業(yè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3、某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中三級(jí)跳遠(yuǎn)的成績?cè)?．0米(四舍五入，精確到0．1米)以上的進(jìn)入決賽，把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0．04，0．10，0．14，0．28，0．30，第6小組的頻數(shù)是7．（Ⅰ）求進(jìn)入決賽的人數(shù)；（Ⅱ）若從該校學(xué)生（人數(shù)很多）中隨機(jī)抽取兩名，記表示兩人中進(jìn)入決賽的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ)經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲成績均勻分布在8～10米之間，乙成績均勻分布在9．5～10．5米之間，現(xiàn)甲，乙各跳一次，求甲比乙遠(yuǎn)的概率．4、未來制造業(yè)對(duì)零件的精度要求越來越高．3D打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來實(shí)現(xiàn)的，常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造，已經(jīng)有使用這種技術(shù)打印而成的零部件．該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛，可以預(yù)計(jì)在未來會(huì)有廣闊的發(fā)展空間．某制造企業(yè)向A高校3D打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺(tái)3D打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的零件．該團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件，從中隨機(jī)抽取10件零件，度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖所示（單位：μm）．（I）計(jì)算平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ（Ⅱ）假設(shè)這臺(tái)3D打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑Z服從正態(tài)分布N（μ，σ）；該團(tuán)隊(duì)到工廠安裝調(diào)試后，試打了5個(gè)零件．度量其內(nèi)徑分別為（單位：μm）：86、95、103、109、118，試問此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0．9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0．9974，0．95443=0．87，0．99744=0．99，0．04562=0．002．以隨機(jī)事件為背景（答案）1、SKIPIF1<0，∴隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0隨機(jī)變量SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．2、即X的分布列為：X01234P16322481設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為X≤n，即X=0，X=1，X=2n01234P164872801∵7281≤90%≤8081，∴至少要(2)設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有右能取值為：18，13，8，P(Y=18)=P(P(即Y的分布列為：Y18138P7281則E(Y)=18×以二項(xiàng)分布為背景1、(1)選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，∴選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率P＝eq\f(8,27)＋eq\f(8,27)＝eq\f(16,27)；(2)依題意，ξ的可取取值為3、4、5，則有P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\f(2,3)·eq\f(1,3)＝eq\f(10,27)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\f(1,3)＝eq\f(8,27)，因此，有ξ345Peq\f(1,3)eq\f(10,27)eq\f(8,27)∴Eξ＝3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(10,27)＋5×eq\f(8,27)＝eq\f(107,27).2、(Ⅰ)2×2列聯(lián)表：對(duì)服務(wù)滿意對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品滿意8040120對(duì)商品不滿意701080合計(jì)15050200K2=200×所以能有99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)服務(wù)滿意之間有關(guān)系”．X的分布列為：X0123P27543683、【解】(1)眾數(shù)：8,6；中位數(shù)：8.75(2)由莖葉圖可知，幸福度為“極幸?！钡娜擞?人．設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人是“極幸?！保炼嘤?人是“極幸?！庇洖槭录嗀，則P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝eq\f(C\o\al(3,12),C\o\al(3,16))＋eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,12),C\o\al(3,16))＝eq\f(121,140)(3)從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極幸?！钡娜说母怕蕿閑q\f(4,16)＝eq\f(1,4)，故依題意可知，從該社區(qū)中任選1人，抽到“極幸?！钡娜说母怕蔖＝eq\f(1,4)ξ的可能取值為0,1,2,3P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)；P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,64)P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2eq\f(3,4)＝eq\f(9,64)；P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)Eξ＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝0.75另解由題可知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，所以Eξ＝3×eq\f(1,4)＝0.75.以正態(tài)分布為背景1、分布列為：0123………………11分?jǐn)?shù)學(xué)期望．2、3、試題分析：（=1\*ROMANI）由頻率分布直方圖可估計(jì)樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)．中位數(shù)為面積等分為SKIPIF1<0的點(diǎn)．均值為每個(gè)矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值．（=2\*ROMANII）（=1\*romani）由已知得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（=2\*romanii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當(dāng)于100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間SKIPIF1<0的產(chǎn)品件數(shù)SKIPIF1<0，故期望SKIPIF1<0．（=2\*romanii）由（=1\*romani）可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，依題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．與莖葉圖，頻率分布直方圖有關(guān)的概率，分布列與均值（答案）1、【答案】（I）頻率為SKIPIF1<0，全班人數(shù)為SKIPIF1<0；（II）頻數(shù)為