2024年天津市高考數(shù)學試卷含答案

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨立，那么．球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，2，3，，，3，4，，則A．，2，3， B．，3， C．， D．2．設，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列圖中，相關性系數(shù)最大的是A． B． C． D．4．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是A． B． C． D．5．若，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．6．若，為兩條直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則與相交7．已知函數(shù)的最小正周期為．則函數(shù)在的最小值是A． B． C．0 D．8．雙曲線的左、右焦點分別為、．是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．9．一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分。10．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)．11．在的展開式中，常數(shù)項為．12．的圓心與拋物線的焦點重合，兩曲線與第一象限交于點，則原點到直線的距離為．13．，，，，五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加，甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．14．在正方形中，邊長為1．為線段的三等分點，，，則；若為線段上的動點，為中點，則的最小值為．15．若函數(shù)有唯一零點，則的取值范圍為．三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（14分）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．17．（15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點到平面的距離．18．（15分）已知橢圓的離心率，左頂點為，下頂點為，是線段的中點，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點的動直線與橢圓有兩個交點，，在軸上是否存在點使得恒成立．若存在，求出這個點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．19．（15分）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，若，．（1）求數(shù)列前項和；（2）設，，其中是大于1的正整數(shù)．當時，求證：；求．20．（16分）設函數(shù)．（1）求圖像上點，（1）處的切線方程；（2）若在時恒成立，求的值；（3）若，，證明．

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學參考答案與試題解析一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，2，3，，，3，4，，則A．，2，3， B．，3， C．， D．【分析】：根據(jù)集合交集的概念直接求解即可．【解析】：集合，2，3，，，3，4，，則，3，．故選：．2．設，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】：說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.【解析】：，，根據(jù)在R上單調(diào)遞增，則“”可得；根據(jù)在R上單調(diào)遞增，則“”可得；所以，，則“”是“”的充要條件．故選：．3．下列圖中，相關性系數(shù)最大的是A． B． C． D．【分析】：由點的分布特征可直接判斷．【解析】：觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，相關關系強，呈現(xiàn)明顯的正相關，值相比于其他3圖更接近1，相關程度也就越大．故選：．4．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是A． B． C． D．【解析一】：，，定義域為，（1），，則（1），不符合題意；，，定義域為，，即為偶函數(shù)，符合題意；，由題意得，，定義域關于原點不對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；，函數(shù)定義域為，，即為奇函數(shù)，不符合題意．故選：．【分析】：根據(jù)偶函數(shù)的判定方法判斷．解析二：由題易知：和均為偶函數(shù)，且恒為正，對于A，由于是非奇非偶函數(shù)，所以也是非奇非偶函數(shù)；對于B，是偶函數(shù)，所以是偶函數(shù)；對于C，易知的定義域不關于原點對稱，所以也是非奇非偶函數(shù)；對于D，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)．故選：B．5．若，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．【分析】：利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷．【解析】：在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：．6．若，為兩條直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則與相交【分析】：根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.【解析】：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，若，，則與平行或異面，錯誤；對于，若，，則與異面、平行或相交，錯誤；對于，設直線，滿足且，若，則，而，則，正確；對于，若，，則與相交或異面垂直，錯誤．故選：．7．已知函數(shù)的最小正周期為．則函數(shù)在的最小值是A． B． C．0 D．【分析】：先由誘導公式化簡，結(jié)合周期公式求出，得，再整體求出時，求出的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.【解析】：函數(shù)，，，可得，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故函數(shù)取最小值是．故選：．8．雙曲線的左、右焦點分別為、．是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【分析】：可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【解析一】：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：設，，則，因為△是面積為8的直角三角形，所以，，因為直線的斜率為2，所以，所以，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，即，所以，所以雙曲線的方程為．故選：C．解析二如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設，，由，求得，因為，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C．9．一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．【分析】：采用補形法，補成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【解析一】：延長到，使，延長到，使，連接、，可得，結(jié)合，可知為三棱柱，因為四邊形與四邊形全等，所以，由，且它們兩兩之間的距離為1．可知：當為正三棱柱時，底面邊長為1，高為3，此時．根據(jù)棱柱的性質(zhì)，若為斜三棱柱，根據(jù)體積公式V=sh，體積也是，因此，，可得該五面體的體積．故選：．解析二：用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應）與該五面體相嵌，使得；;重合，因為，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分。10．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)．【分析】借助復數(shù)的乘法運算法則計算即可得.【解析】：．故答案為：．11．在的展開式中，常數(shù)項為20．【分析】：根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.【解析】：的常數(shù)項為．故答案為：20．12．的圓心與拋物線的焦點重合，兩曲線與第一象限交于點，則原點到直線的距離為．【分析】：先求出圓心坐標，從而可求焦準距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.【解析】：的圓心與拋物線的焦點重合，，，，聯(lián)立，得或，兩曲線與第一象限交于點，，直線的方程為，即，原點到直線的距離為．故答案為：．13．，，，，五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加，甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．【分析】：結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動，他再選擇活動的概率.【解析一】：設事件表示“選到”，事件表示“選到”，則甲從中選3個．甲選到的概率為（A），，乙選了活動，他再選擇活動的概率為：．故答案為：，．解析二：列舉法從五個活動中選三個的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲選到得概率為：；乙選活動有6種可能性：，其中再選則有3種可能性：，故乙選了活動，他再選擇活動的概率為.14．在正方形中，邊長為1．為線段的三等分點，，，則；若為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求，即可得，設，求，結(jié)合數(shù)量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求，即可得，設，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標運算求的最小值.【解析一】：由題意可知，，，，，如圖：設，則，為中點，，正方形的邊長為1，，，，對于函數(shù)，對稱軸為，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最小值，即的最小為．故答案為：；．解析二：以點A為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，所以，因為，所以，所以，所以，由可得直線BE的方程為，設，則，所以所以，所以當時，取得最小值為15．若函數(shù)有唯一零點，則的取值范圍為．【分析】：結(jié)合函數(shù)零點與兩函數(shù)的交點的關系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點，分、與進行討論，當時，計算函數(shù)定義域可得或，計算可得時，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點，則只需找到當時，在軸右側(cè)無交點的情況即可得；當時，按同一方式討論即可得.【解析】：根據(jù)題意，可得，令，即．①當時，，有，則，不符合題意，舍去；②當時，由，可得或，則，即函數(shù)與函數(shù)，有唯一公共點，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，或（正值舍去），當時，或，有兩解，不符合題意，舍去，綜上所述，當，時，在時有唯一解，因此，當，時，方程在時需無解，當，，且時，由函數(shù)關于對稱，令，可得，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，即，故時，圖案為雙曲線右支在軸上方部分向右平移所得，由雙曲線的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為2，又，，即在時的斜率，，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；③當時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，（負值舍去）或，當時，或，有兩解，舍去，即當，時，在時有唯一解，則當，時，在時需無解，當，，且時，由函數(shù)關于對稱，令，可得或．且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時，圖像為雙值的左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，，即在時的斜率，，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，．故答案為：．解析二：①當時，，令時，，即有兩個零點，不合題意。②當時，令，則，由可得，則，解得，若，則由可得，化簡得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，，作出大致圖像如圖所示（2）若，因為不是的零點，所以。由可得，化簡得，令，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，，時，，作出大致圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，若恰有一個零點，則，解得，即取值范圍為三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（14分）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．【分析】：（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【解析一】：（1）在中，，，設，則，，，解得，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得．（3），，是銳角，且，，，．解析二：（1）在中，，，設，則，，，解得，；（2）由余弦定理得，因為，則（3），則，因為為三角形內(nèi)角，所以，所以17．（15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點到平面的距離．【分析】：（1）取中點，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當空間直角坐標系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；（3）借助空間中點到平面的距離公式計算即可得解.【解答】（1）證明：取中點，連接，，由是的中點，得，且，由是的中點，得，且，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，則，，，，，設平面的法向量為，，則，3，，設平面的法向量為，，則，1，，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：因為，平面的法向量為，所以點到平面的距離為．18．（15分）已知橢圓的離心率，左頂點為，下頂點為，是線段的中點，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點的動直線與橢圓有兩個交點，，在軸上是否存在點使得恒成立．若存在，求出這個點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．【分析】：（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標準方程.（2）設該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達定理和向量數(shù)量積的坐標運算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【解析】：（1）因為橢圓的離心率為，所以，即，其中為半焦距，，則，所以，，，，解得，故，，故橢圓方程為；（2）①若過點的動直線的斜率不存在，則，或，，此時，②若過點的動直線的所率存在，則可設該直線方程為：，設，，，，，化簡整理可得，，故△，；，，故，恒成立，故，解得，若恒成立．結(jié)合①②可知，．故這個點縱坐標的取值范圍為，．19．（15分）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，若，．（1）求數(shù)列前項和；（2）設，，其中是大于1的正整數(shù)．當時，求證：；求．【分析】（1）設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項相消法分析求解.【解析】：（1），，可得，整理得，解得或，因為數(shù)列的公比大于0，所