江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試卷+答案

2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高三期初試卷數(shù)學(xué)2024.9注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為A．6B．7C．8D．92．已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|2－x＞0，x∈N}，則A∩B＝A．{3，4}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{2，3，4}3．已知x＞0，y＞0，xy＝4，則x＋2y的最小值為A．4B．4eq\r(,2)C．6D．8eq\r(,2)4．由數(shù)字2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為A．eq\f(2,3)B．eq\f(5,6)C．eq\f(3,4)D．eq\f(1,2)5．若正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3，則該正三棱錐的體積為A．3eq\r(,3)B．eq\f(\r(,2),12)C．eq\f(9\r(,2),4)D．eq\r(,6)6．隨機(jī)變量X服從N(μ，σ2)，若P(X≥1)＝P(X≤3)，則下列選項(xiàng)一定正確的是A．P(X|≥3)＝1B．σ＝1C．μ＝2D．P(X≥3)＋P(X≤1)＝17．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)N為側(cè)面四邊形CDD1C1的中心，則四面體NCB1C1的外接球的體積為A．2πB．4πC．2eq\r(,2)πD．eq\f(8\r(,2)π,3)8．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，滿足f(1－x)f(1－y)＋f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(－1)＝0，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是A．f(1)＝0B．f(x)圖象關(guān)于(2，0)對(duì)稱C．f(x)圖象關(guān)于(1，0)對(duì)稱D．f(x)為偶函數(shù)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是A．(e3x)′＝3exB．(eq\f(x\s(2),2x＋1))′＝xC．(2sinx－3)′＝2cosxD．(lneq\f(x,2－x))′＝eq\f(2,x(2－x))10．已知P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(4,5)，則下列說(shuō)法正確的是A．P(AB)＝eq\f(12,25)B．P(A|B)＞eq\f(2,5)C．P(A＋B)＝eq\f(23,25)D．eq\f(2,3)≤(B|A)≤111．函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，對(duì)于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，恒滿足f(EQ\F(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2),2))≥EQ\F(f(x\S\DO(1))＋f(x\S\DO(2)),2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”．下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是A．f(x)＝lnxB．f(x)＝exC．f(x)＝x2D．f(x)＝eq\r(,x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對(duì)其中3道試題才能合格．若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為▲．13．已知二次函數(shù)f(x)從1到1＋x的平均變化率為2x＋3，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式f(x)＝▲．14．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來(lái)回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸(如圖)．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是▲．第14題(圖)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．(13分)某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算．(1)求一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；(2)若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．16．(15分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA＝2eq\r(,3)，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD⊥平面PAB，PD⊥AB，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：DF∥平面ACE；(2)求二面角A－CE－B的正弦值．(第16題圖)17．(15分)我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab等號(hào)成立．(1)證明“三元不等式”：a3＋b3＋c3≥3abc(a，b，c∈[0，＋∞))．(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(2,x)．①解不等式f(x)≥5；②對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥m2＋2m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．(17分)在如圖所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，AB＝1，AD＝2，AA1＝2eq\r(,2)．(1)求AC1的長(zhǎng)度；(2)求二面角B－AA1－D的大??；(3)求平行六面體ABCD－A1B1C1D1的體積．(第18題圖)19．(17分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(e\s(x)－1,e\s(2x))＋ax．(1)函數(shù)y＝f(x)是否具有奇偶性?為什么?(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若f(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(x1)＋f(x2)＜eq\f(7,8)．2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高三期初試卷數(shù)學(xué)2024.9注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】借助百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】由，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，則.故選：B.3.已知，，，則的最小值為（）．A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.故選：B4.由數(shù)字2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有種，而其中偶數(shù)有兩種情況：①以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種②以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有種，所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則.故選：A.5.若正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3，則該正三棱錐的體積為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】如圖，正三棱錐，，取中點(diǎn)，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C6.隨機(jī)變量服從若則下列選項(xiàng)一定正確的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橛烧龖B(tài)分布的對(duì)稱性，可得，正態(tài)分布方差無(wú)法判斷，，，所以ABD錯(cuò)誤.故選:：C7.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖：取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)榈睦忾L(zhǎng)為的正方體，所以，且，所以四面體的外接球的球心為為，且外接球半徑，所以四面體的外接球的體積.故選：D.8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足，且，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.圖象關(guān)于對(duì)稱C.圖象關(guān)于對(duì)稱 D.為偶函數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A，令，則，所以f1=0，故A正確；對(duì)于B，令，則，即，解得：或，因?yàn)?，所以，令，，所以，所以圖象不關(guān)于2,0對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則有即，故圖象關(guān)于1,0對(duì)稱，故C正確.對(duì)于D，令，則有即，即，即，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：B.公眾號(hào)：高中試卷君二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，D正確.故選：CD.10.已知事件A與B發(fā)生的概率分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，由于題目中沒(méi)確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，不一定成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，則，則，故B正確；對(duì)于C，由于題目中沒(méi)確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以，也不一定成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，故D正確；故選：BD.11.函數(shù)y=fx的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，對(duì)于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（）A. B.C D.【答案】AD【解析】對(duì)A：，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價(jià)于，化簡(jiǎn)可得，故滿足題意，故A正確；對(duì)B：，，，取，，可得，，又，故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，，化簡(jiǎn)得恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，，左右平方后化簡(jiǎn)可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對(duì)其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】解：某人參加考試，4道題目中，答對(duì)的題目數(shù)滿足二項(xiàng)分布，所以故答案為：13.已知二次函數(shù)從1到的平均變化率為，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式_______．【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)fx則，由題意知，解之得，顯然c的取值不改變結(jié)果，不妨取，則.故答案為：14.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來(lái)回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖）．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是_______．【答案】【解析】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，由對(duì)稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，設(shè)正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算．（1）求一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)詳解【解析】【小問(wèn)1詳解】從6張獎(jiǎng)券中，任取2張獎(jiǎng)券共有種選法，抽到的兩張獎(jiǎng)券相同的有3種選法，所以一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率為.【小問(wèn)2詳解】的所有可能取值為80，85，90，，，，的分布列為：808590.16.如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，是平面?nèi)兩條相交直線，平面，又平面，，所以兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A0,0,0，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=則，即，令，得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，，設(shè)二面角的平面角為，，則.所以二面角的正弦值為.17.我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．公眾號(hào)：高中試卷君（1）證明“三元不等式”：．（2）已知函數(shù)．①解不等式；②對(duì)任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①；②.【解析】小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以