6.4.2平面與平面平行課件高一下學期數(shù)學北師大版

第六章立體幾何初步4.2平面與平面平行北師大版

數(shù)學

必修第二冊目錄索引基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.理解平面與平面平行的性質(zhì)定理的含義,并能用圖形語言、文字語言、符號語言進行描述.2.理解平面與平面平行的判定定理的含義,并能用圖形語言、文字語言、符號語言進行描述.3.能運用平面與平面平行的性質(zhì)定理和平面與平面平行的判定定理證明一些空間中相關的平行問題.基礎落實·必備知識全過關知識點一

平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線

圖形語言

符號語言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b

由面面平行得出線線平行作用證明兩條直線平行

簡記為“若面面平行,則線線平行”平行

名師點睛1.該定理中有三個條件:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.這三個條件缺一不可.2.已知兩個平面平行,雖然一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面,但是一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面內(nèi)的一條直線不一定互相平行,它們可能是平行直線,也可能是異面直線,但不可能是相交直線.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若三個平面α,β,γ滿足α∥β∥γ,且平面δ與這三個平面相交,交線分別為a,b,c,則有a∥b∥c成立.(

)(2)若直線a?平面α,直線b?平面β,且α∥β,則a,b無交點.(

)√√2.[人教A版教材例題]求證:夾在兩個平行平面間的平行線段相等.解析

如圖,α∥β,AB∥CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,求證:AB=CD.證明:過平行線AB,CD作平面γ,與平面α和β分別相交于AC和BD.∵α∥β,∴BD∥AC.又AB∥CD,∴四邊形ABDC是平行四邊形,∴AB=CD.知識點二

平面與平面平行的判定定理

文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條

直線與另一個平面

,那么這兩個平面平行

圖形語言

符號語言a?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β?α∥β

由線面平行,得出面面平行作用證明兩個平面

相交平行平行名師點睛應用面面平行判定定理應具備的條件(1)平面α內(nèi)兩條相交直線a,b,即a?α,b?α,a∩b=A.(2)兩條相交直線a,b都與β平行,即a∥β,b∥β.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若一個平面內(nèi)的兩條直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行.(

)(2)直線a∥平面β,直線b∥平面β,a?平面α,b?平面α?平面α∥平面β.(

)2.使三角板的一條邊所在直線與桌面平行,這個三角板所在的平面與桌面平行嗎?××提示

不一定,也可能相交.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一對兩個定理的理解角度1.對面面平行性質(zhì)定理的理解【例1】

(1)若平面α∥平面β,直線a?α,點B∈β,則在β內(nèi)過點B的所有直線中(

)A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一一條與a平行的直線D解析

因為a與B確定一個平面,該平面與β的交線即為符合條件的直線,只有唯一一條.(2)下列說法正確的有

.(填序號)

①α∩β=a,b?α?a∥b;③若平面α∥平面β,a?α,b?β,則a∥b;④平面α∥平面β,點P∈α,a∥β,且P∈a,則a?α.④解析

①中α∩β=a,b?α,則a,b可能平行也可能相交,故①不正確;②若a∥α,b?α,則a與b異面或a∥b,故②不正確;③若α∥β,a?α,b?β,則a∥b或a與b異面,故③不正確;④由α∥β,點P∈α,知P?β,則過點P且平行于β的直線a必在α內(nèi),故④正確.規(guī)律方法

定理的實質(zhì)是由面面平行得出線線平行,其應用過程是構造與兩個平行平面都相交的一個平面,由其結論可知此定理可用來證明線線平行.變式訓練1兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關系是(

)A.兩兩相互平行B.兩兩相交于一點C.兩兩相交但不一定交于同一點D.兩兩相互平行或交于同一點A解析

根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì),知四條直線兩兩相互平行.故選A.角度2.對面面平行判定定理的理解【例2】

下列說法中正確的是(

)①若一個平面內(nèi)有兩條直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行;②若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行;③若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面,則這兩個平面平行;④若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面,則這兩個平面平行.A.①③

B.②④C.②③④

D.③④D解析

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,在AB上任取一點E,過E點作EF∥AD交CD于點F.由線面平行的判定定理知,EF,BC都平行于平面ADD1A1.用同樣的方法可以在平面ABCD內(nèi)作出無數(shù)條直線都與平面ADD1A1平行,但是平面ABCD與平面ADD1A1不平行,因此①②都不正確,③正確,事實上,若一個平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個平面,則這兩個平面必無公共點(要注意“任意一條直線”與“無數(shù)條直線”的區(qū)別);④是平面與平面平行的判定定理,正確.規(guī)律方法

解決此類問題時,若判定一個命題正確,必須用相關定理嚴格證明;而要否定一個命題,只需舉出一個反例,此時使用幾何模型是非常有效的方法.變式訓練2a是平面α外的一條直線,過a作平面β,使β∥α,這樣的β(

)A.只能作一個B.至少可以作一個C.不存在D.至多可以作一個D解析

因為a是平面α外的一條直線,所以a∥α或a與α相交,當a∥α時,β只有一個;當a與α相交時,β不存在.故選D.探究點二平面與平面平行的性質(zhì)定理的應用【例3】

如圖,已知平面α∥平面β,點P是平面α,β外的一點(不在α與β之間),直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B和C,D.(1)求證:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.(1)證明

因為PB∩PD=P,所以直線PB和PD確定一個平面γ,則α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.(2)解由(1)得AC∥BD,變式探究在本例中,若P在α與β之間,在第(2)問條件下求CD的長.解

如圖,因為PB∩PC=P,所以PB,PC確定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,所以AC∥BD,所以△PAC∽△PBD,規(guī)律方法

應用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟

探究點三平面與平面平行的判定定理的應用【例4】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,E,F,G分別是PC,PD,BC的中點,DC∥AB,求證:平面PAB∥平面EFG.證明

因為E,G分別是PC,BC的中點,所以EG∥PB.又因為EG?平面PAB,PB?平面PAB,所以EG∥平面PAB.因為E,F分別是PC,PD的中點,所以EF∥CD.又因為AB∥CD,所以EF∥AB.因為EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB,又EF∩EG=E,EF?平面EFG,EG?平面EFG,所以平面PAB∥平面EFG.規(guī)律方法

證明兩個平面平行,可以用定義,也可以用判定定理.但用定義證明時,需說明兩個平面沒有公共點,這一點也不容易做到(可用反證法),所以通常用判定定理證明兩個平面平行,其步驟如下:變式訓練3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點.求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明

(1)因為GH是△A1B1C1的中位線,所以GH∥B1C1.又B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四點共面.(2)因為E,F分別為AB,AC的中點,所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因為A1G∥EB,且A1G=EB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形,所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF=E,A1E?平面EFA1,EF?平面EFA1,所以平面EFA1∥平面BCHG.探究點四線面平行、面面平行的綜合問題【例5】

如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中點,在棱AB上是否存在一點E,使DE∥平面AB1C1?證明你的結論.解

當E為棱AB的中點時,DE∥平面AB1C1.證明如下:如圖所示,取BB1的中點F,AB的中點E,連接EF,FD,DE.因為D,E,F分別為CC1,AB,BB1的中點,所以EF∥AB1.因為AB1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.因為EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.因為DE?平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.規(guī)律方法

1.證明直線與平面平行,除了定義法、判定定理法以外,還可以用兩平面平行的性質(zhì),也就是說為了證明直線與平面平行,也可以先證明兩平面平行,再由兩平面平行的性質(zhì)得到線面平行.2.空間中線線、線面、面面平行關系的轉化如下:本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)平面與平面平行的性質(zhì)定理;(2)平面與平面平行的判定定理.2.方法歸納:轉化與化歸、數(shù)形結合.3.常見誤區(qū):判定平面與平面平行的條件不充分.成果驗收·課堂達標檢測12341.設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是(

)A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行