8.4.1平面課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

8.4.1平面

在初中，我們已經(jīng)對點和直線有了一定的認識，知道它們都是由現(xiàn)實事物抽象得到的.生活中也有一些物體給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面(plane)”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的.無限延展不計大小絕對的平平面的特征不計厚薄黑板面課桌面平靜的水面一、平面的描述與特征

與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面．我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面．平面的表示畫法平面水平放置平面豎直放置

表示①平行四邊形的四個頂點：平面

；（逆時針）②對角頂點：平面

或平面

；③希臘字母：平面

，平面

，平面

γABCDACBDαβ【練】判斷下列各題的說法正確與否：1.一個平面長4米，寬2米；

()2.平面上一條直線可以把這個平面分成兩部分；()3.10個平面疊在一起要比一個平面厚；

()4.菱形的面積可以等于4cm2；

()5.一個平面可以把空間分成兩部分;()6.平面的形狀是平行四邊形.()√××√√×【思考】能否從集合的角度理解點、線、面之間的關(guān)系?點動成線、線動成面點——元素線、面——點集二、點、直線、平面之間的位置關(guān)系

文字語言符號語言圖形語言

分別用文字語言、符號語音、圖形語言來描述，點A，直線l、m，平面α的位置關(guān)系【思考】如何用數(shù)學(xué)語言表示點、線、面之間的位置關(guān)系?文字語言符號語言圖形語言

【練】若一直線a在平面α內(nèi)，則正確的作圖是√文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.答案(1)P∈AB.(2)C?AB.(3)M∈平面AC.(4)A1?平面AC.(5)AB∩BC＝B.(6)AB?平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝AB.【例2】用符號表示下列語句，并畫出圖形.(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B.解：（1）用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖1.圖1(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上.（2）用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖2.圖2注意實線和虛線【練】如圖所示，用符號語言可表述為A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n√基本事實1

過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．“不共線三點確定一個平面”不在一條直線上的三個點A、B、C所確定的平面，可以記成“平面ABC”．ABCα【思考】我們知道，兩點確定一條直線，要確定一個平面需要幾個點呢？【思考】過空間一點有幾個平面？兩個點呢？三個點呢？三、基本事實

如果一根直尺邊緣上的任意兩點在桌面上，那么直尺的整個邊緣就落在了桌面上.上述經(jīng)驗和類似的事實可以歸納為以下基本事實：ABα基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個

平面內(nèi)．基本事實2也可以用符號表示為

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?

l?α．【思考】

如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線l與平面α有兩個公共點呢？

如圖，由基本事實1，給定不共線三點A，B，C，它們可以確定一個平面ABC；連接AB，BC，CA，由基本事實2，這三條直線都在平面ABC內(nèi)，進而連接這三條直線上任意兩點所得直線也都在平面ABC內(nèi)，所有這些直線可以編織成一個“直線網(wǎng)”，這個“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面ABC．組成這個“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”．B

想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去穿越課桌面．可以想象，兩個平面相交于一條直線（且這條直線必過該點）．

由此我們得到又一個基本事實：【思考】

把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？

基本事實3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實3也可以用符號表示為

P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l．兩相交平面的畫法【注意】在畫兩個平面相交時，一定要畫出交線，如果其中一個平面的一部分被另一個平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立體感更強一些，如圖.利用基本事實1和2再結(jié)合“兩點確定一條直線”，可得到下面三個推論：推論一

經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．a(chǎn)【證明】如圖，設(shè)點A是直線a外一點，在直線a上任取兩點B、C，則由基本事實1，經(jīng)過A、B、C三點確定一個平面α．再由基本事實2，直線a也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過直線a和點A．即一條直線和這條直線外一點確定一個平面．推論二

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．【證明】如圖，設(shè)點A、B分別是直線a、b上異于P的點，則由基本事實1，經(jīng)過A、B、P三點確定一個平面α．再由基本事實2，直線a和直線b也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過直線a和直線b．即兩條相交直線確定一個平面．推論三

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．【證明】因為當(dāng)兩條直線在同一個平面內(nèi)，且不相交時叫做平行線，所以兩條平行直線a和b必在某個平面α內(nèi)，就是說過兩條平行直線有一個平面.如果過a和b還有一個平面β，那么在a上的任意一點A一定在β內(nèi)，這樣過點A和直線b有兩個平面α和β，這和推論1矛盾，所以過平行直線a和b的平面只有一個．即兩平行線確定一個平面．基本事實1和2的三個推論：推論一

經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．推論二

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論三

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．基本事實3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的

公共直線．基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實1

過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．基本事實3用符號表示為

P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l．基本事實2用符號表示為

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?

l?α．【練一練】在下列條件下分別可以確定幾個平面？不共面的四個點；三條平行直線；三條共點直線；一條直線與兩條平行直線都相交.41或31或31【例3】已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有且只有一個平面.難點：點、線共面問題證明：∵a∥b，∴過a，b有且只有一個平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α，即過a，b，l有且只有一個平面.【練】證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．

已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求證：直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．證明：因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α.因為l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因為l2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因為B∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．（推論2）（點在線上，線在面內(nèi)，則點在面內(nèi)）（基本事實2）方法一(納入法)方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2和l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).證明點、線共面問題的常用方法：納入法、同一法M【例4】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中“E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M”，求證：點D，A，M三點共線.難點：共線、共點問題【總結(jié)】證明三點共線的方法【練】如圖，已知△ABC在平面α外，AB∩α=P,AC∩α=R，BC∩α=Q.求證:P，Q，R三點共線.P難點：共線、共點問題【總結(jié)】證明三線共點的步驟【練】如圖，已知平面α