2.6正多邊形與圓解析版-2021-2022學(xué)年九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)同步全優(yōu)小卷蘇科版

第2章對(duì)稱圖形－圓〔2.6正多邊形與圓)選擇題〔每題3分，共24分〕1．正十邊形的中心角是〔〕A．18° B．36° C．72° D．144°【解析】正十邊形的每個(gè)中心角相等，且其和是360°，故一個(gè)中心角的度數(shù)為：360°÷10=36°應(yīng)選：B2．圓內(nèi)接正十邊形的外角和為〔〕A．180° B．360° C．720° D．1440°【解析】解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，所以圓內(nèi)接正十邊形的外角和為360°，應(yīng)選：B．3．如圖，正五邊形內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)為上一點(diǎn)〔點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合〕，連接，，，垂足為，那么等于〔〕A．72° B．54° C．36° D．64°【解析】解：∵正五邊形內(nèi)接于，∴∵與所對(duì)的弧相同∴∴=應(yīng)選：B．4．假設(shè)⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，那么n的值為〔〕A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：∵內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，正n邊形的中心角為，∵，n的值為6，應(yīng)選：C．5．等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為()A．1∶∶ B．1∶2∶ C．1∶∶2 D．1∶2∶3【解析】如圖，連接OD、OE；因?yàn)锳B、AC切圓O與E.

D，所以O(shè)E⊥AB，OD⊥AC，又因?yàn)锳O=AO，EO=DO，所以△AEO≌△ADO(HL)，故∠DAO=∠EAO；又∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60，∴∠OAC=60×=30，∴OD:AO=1:2.∵OF=OD，所以O(shè)D:AF=1:〔2+1〕=1:3，所以內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比是1:2:3.應(yīng)選D.6．如圖，假設(shè)干全等正五邊形排成形狀，圖中所示的是前個(gè)正五邊形，那么要完成這一圓環(huán)還需這樣的正五邊形〔〕A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【解析】解：∵多邊形是正五邊形，∴正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為，如以下圖所示：∴∠O=360°-3×108°=36°，∵圍成一圈，O處的周角為360°，∴共需要正五邊形的個(gè)數(shù)為：360°÷36°=10個(gè)，故還需要10-3=7個(gè)，應(yīng)選：B．7．一個(gè)適當(dāng)大的正六邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)邊長為定值的小正六邊形的中心重合，且與邊、相交于、〔如圖〕．圖中陰影局部的面積記為，三條線段、、的長度之和記為，在大正六邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，以下說法正確的選項(xiàng)是〔〕A．變化，不變 B．不變，變化C．變化，變化 D．與均不變【解析】如下圖，連接OA，OC，由正六邊形的性質(zhì)可知，OA=OC，∠AOC=∠GOH=120°，∠OAG=∠OCH=60°，∴∠AOG=∠COH，在△AOG與△COH中，∴△AOG≌△COH(ASA)，∴，AG=CH，∴，，∵正六邊形ABCDEF的邊長為定值，∴l(xiāng)不改變，四邊形OABC的面積不改變，即S不改變，應(yīng)選：D．8．如圖，將正五邊形繞中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，與原正五邊形構(gòu)成新的圖形，假設(shè)要使該圖形既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形，那么的最小角度為〔〕A． B． C． D．【解析】解：∵旋轉(zhuǎn)后的圖形既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形，∴旋轉(zhuǎn)后的正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)前的正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形是正十邊形，∵正五邊形的中心角是72°，正十邊形的中心角是36°，∴的最小角度為36°．應(yīng)選：B．二、填空題〔每題3分，共24分〕9．如圖，將邊長相等的正六邊形和正五邊形拼接在一起，那么∠ABC的度數(shù)為_____°．【解析】由題意得：正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120°，正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案為：132．10．如圖，AD，BE，CF是正六邊形ABCDEF的對(duì)角線，圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)有____個(gè)．【解析】如圖，AD，BE，CF是正六邊形ABCDEF的對(duì)角線,交于點(diǎn)，是等邊三角形．所以四邊形是平行四邊形，同理：四邊形,四邊形,四邊形,四邊形,四邊形都是平行四邊形，共6個(gè)．故答案為：6．11．一個(gè)正六邊形的外接圓半徑為2，那么這個(gè)正六邊形的周長為________．【解析】解：如圖，由題意得：∵正六邊形是等邊三角形，正六邊形的周長是故答案為：12．如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，假設(shè)，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為________．【解析】解：連接OA，OB，∵A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，∴點(diǎn)A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的同一個(gè)圓上，∵∠ADB=15°，∴∠AOB=2∠ADB=30°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)==12，故答案為：12．13．如圖，四邊形為⊙O的內(nèi)接正四邊形，為⊙O的內(nèi)接正三角形，假設(shè)恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正邊形的一邊，那么的值為_________．【解析】解：連接OA、OD、OF，如圖，∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，∴n==12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊．應(yīng)選：C．14．如圖，的頂點(diǎn)B、C、D在半圓O上，頂點(diǎn)E在直徑上，連接，假設(shè)，那么的度數(shù)為__________度．【解析】解：∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE∥BC，∴∠CDE+∠C=180°，∵，∴∠C=112°，∵∠C+∠A=180°，∴∠A=68°；故答案為68．15．如圖，點(diǎn)為正八邊形的中心，那么的度數(shù)為______．【解析】解：作正八邊形的外接圓，連接OA、OB，如圖：∴，F(xiàn)、O、B共線，由圓周角定理得：；故答案為：．16．如圖，圓O的半徑為1，是圓O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)D．E在圓上，四邊形EBCD為矩形，這個(gè)矩形的面積是_____________【解析】連結(jié)BD、OC，如圖，∵四邊形BCDE為矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD為⊙O的直徑，∴BD＝2，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，而OB＝OC，∴∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，∴矩形BCDE的面積＝BC?CD＝故填：．三、解答題〔每題8分，共72分〕17．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，假設(shè)AB=cm，求⊙O的半徑．【解析】過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，連接BO，∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴點(diǎn)O即是三角形內(nèi)心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，設(shè)OD＝x,那么BO＝2x,∴解得：x=1,∴BO=2，即⊙O的半徑為2cm．18．如圖，是⊙O的內(nèi)接正五邊形．求證：AE∥BD.【解析】證明：∵是正五邊形，∴.又∵，∴，∴，∴，∴AE∥BD19．如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，為上的一點(diǎn)，連接，．〔1〕求的度數(shù)；〔2〕當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，是⊙O的內(nèi)接正邊形的一邊，求的值．【解析】解：〔1〕連接，，∵正方形內(nèi)接于，∴．∴；〔2〕連接，，∵正方形內(nèi)接于，∴．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴∠COP=∠BOP，∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，∴，∴．20．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．〔1〕求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分．〔2〕設(shè)⊙O的面積為，六邊形ABCDEF的面積為，求的值．【解析】解：〔1〕連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是的內(nèi)接正六邊形，∴EF=ED=CD=BC，∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，即過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分；〔2〕過點(diǎn)O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)圓O的半徑為r，∴EF=BC=ED=r，AD=2r，在正六邊形ABCDEF中，∠OED=∠ODE=60°，∴∠EOG=30°，∴EG=r，∴OG==r，∴正六邊形ABCDEF的面積==，圓O的面積=，∴==．21．請(qǐng)用無刻度直尺完成以下作圖，不寫畫法，保存畫圖痕跡〔用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果〕．〔1〕如圖1，E是平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)A畫一條直線，使其與EC平行；〔2〕如圖2，正六邊形ABCDEF〔六邊相等，六角相等的六邊形〕，在圖中畫一條直線，使其垂直平分AF；〔3〕如圖3，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，且AB＝BC＝CD，在圖中畫一條異于BC的直線，使其與AD平行．【解析】解：〔1〕如圖1，直線AF即為所求作．〔2〕如圖2，直線GH即為所求作．〔3〕如圖3，直線EF即為所求作．22．如圖，⊙O外接于正方形為弧上一點(diǎn)，且，求正方形的邊長和的長．【解析】解：連接，作于點(diǎn)，如下圖．∵四邊形是正方形，，是的直徑，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，．正方形的邊長為的長為．23．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，AD是的內(nèi)接正十二邊形的一條邊長，連接CD，假設(shè)，求的半徑．【解析】解：如下圖，連接OA、OD、OC，等邊內(nèi)接于，AD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，，，，，是等腰直角三角形，，即的半徑為6cm．24．〔閱讀理解〕如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點(diǎn)．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，那么．〔類比探究〕如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點(diǎn)．假設(shè)正方形的面積為S，請(qǐng)用含S的式子表示四邊形的面積〔寫出具體探究過程〕．〔拓展應(yīng)用〕如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點(diǎn)．假設(shè)四邊形面積為，請(qǐng)直接寫出正六邊形的面積．【解析】解：類比探究：如圖2，∵為正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點(diǎn)∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展應(yīng)用：如圖3，∵為正六邊形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點(diǎn)∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為6．25．〔1〕小迪同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接正多邊形時(shí)，發(fā)現(xiàn)：如圖1，假設(shè)是圓內(nèi)接正三角形的外接圓的上任一點(diǎn)，那么，在上截取，連接，可證明是_______〔填“等腰〞、“等邊〞或“直角〞〕三角形，從而得到，再進(jìn)一步證明_______，得到