浙江省紹興市柯橋區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE24-浙江省紹興市柯橋區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合的補集，然后求解交集即可.【詳解】解：由已知，所以，故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，基本學(xué)問的考查.2.若實數(shù)，滿意約束條件，則的最大值是（）A.-1 B.0 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合可得最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】解：由約束條件作出可行域如圖，

化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，

由圖可知，當(dāng)直線過點A時，直線在軸上的截距最小，最大，為.

故選：D.【點睛】本題考查了簡潔的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.3.雙曲線的焦點到其漸近線的距離是（）A.1 B.C.2 D.【答案】C【解析】分析】求出雙曲線的，可得焦點坐標(biāo)和漸近線方程，運用點到直線的距離公式，可得所求值.【詳解】解：雙曲線的，焦點為，

漸近線方程為，即，

即有焦點到漸近線的距離為，

故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的焦點和漸近線，考查運算實力，屬于基礎(chǔ)題.4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（）（單位：）A.2 B.6C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】由三視圖可得原幾何體為四棱錐，利用棱錐的體積公式求結(jié)果.【詳解】解：由三視圖可得原幾何體為四棱錐，如圖：則體積，故選：A.【點睛】本題主要考查三視圖和幾何體體積計算，考查學(xué)生空間想象實力，是基礎(chǔ)題.5.已知則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：，其表示的是如圖陰影圓弧部分，其表示的是如圖陰影部分，所以“”是“”的必要不充分條件.故答案選考點：命題的充分必要性.6.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)逐一推斷，可得結(jié)果.【詳解】解：對A，由圖知中的，中的，符合；對B，由圖知中的，的圖沒有過，不符；對C，由圖知中的，中的，不符；對D，由圖知中的，此時中的，不符；故選：A.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.7.已知多項式，則（）A.-15 B.-20 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】令，原多項式轉(zhuǎn)化為，利用通項公式求綻開式第四項的系數(shù)即可.【詳解】解：令，原多項式轉(zhuǎn)化為，則，故選：C.【點睛】本題考查二項綻開式的確定項的系數(shù)，利用換元法可簡化原多項式，是基礎(chǔ)題.8.斜三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)面是矩形，且，是的中點，記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】過點作面交面于點，連結(jié)，過點作交于點，連結(jié)，則，，表示出這些角然后比較大小即可.【詳解】解：如圖：過點作面交面于點，連結(jié)，過點作交于點，連結(jié)，則，，因為直線與平面所成的角為直線與平面內(nèi)全部直線所成的角中最小的，故，又因為，故，故選：B.【點睛】本題主要考查空間中直線與直線，直線與平面所成角的大小及二面角的大小，考查空間想象實力及分析問題的實力，是一道難度較大的題目.9.已知函數(shù)，則滿意“對于隨意給定的不等于1的實數(shù)，都有唯一的實數(shù)，使得”的實數(shù)的值（）A.不存在 B.有且只有一個C.有且只有兩個 D.多數(shù)個【答案】A【解析】【分析】求出，然后將題目轉(zhuǎn)化為直線一旦和的圖像相交，則必有兩個交點且交點橫坐標(biāo)不為1，畫出的圖像，視察即可得結(jié)果.【詳解】解：由已知得，“對于隨意給定的不等于1的實數(shù)，都有唯一的實數(shù)，使得”即直線一旦和的圖像相交，則必有兩個交點且交點橫坐標(biāo)不為1，現(xiàn)在探討的圖像，若，明顯不行能；若，當(dāng)時，完整的拋物線的圖像其對稱軸，與軸交點坐標(biāo)，開口向上；當(dāng)，單調(diào)遞增，與軸交點坐標(biāo)，圖像如圖：由圖可知，不行能存在這樣的直線一旦和的圖像相交，必有兩個交點，故選：A.【點睛】本題考查等式恒成立問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為圖像的交點個數(shù)問題，是一道難度較大的題目10.已知數(shù)列滿意，，若對于隨意，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用解除法，將，代入驗證解除，即可得結(jié)果.【詳解】解：用解除法：當(dāng)時，，明顯有，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，，成立；假設(shè)當(dāng)時，成立，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，成立，綜上：對隨意，都有；另外，所以，所以當(dāng)時，恒成立，解除CD；當(dāng)時，，若，則，因為，此時是有可能的，故解除A，故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性，值域，利用解除法可便利得出結(jié)果，是一道難度較大的題目.二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)條件利用復(fù)數(shù)相等列方程組求解即可.【詳解】解：設(shè)，則，，解得，，故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的求解，關(guān)鍵是理解復(fù)數(shù)相等，是基礎(chǔ)題.12.設(shè)直線與圓：相交于，兩點，若，則______，當(dāng)改變時，弦中點軌跡的長度是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】第一空：利用垂徑定理列方程可求出的值；其次空：設(shè)，弦中點，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理通過消去參數(shù)可得弦中點軌跡，依據(jù)軌跡可得軌跡的長度.【詳解】解：由垂徑定理可得，解得；設(shè)，弦中點，則，聯(lián)立，消去得，，解得，，，即，消去得，又由得，故弦中點軌跡長度為半徑為1的圓的周長的，如圖：所以弦中點軌跡長度為，故答案為：；.【點睛】本題考查消參法求軌跡方程，要特殊留意參數(shù)是有范圍，使得軌跡只是圖形的一部分，本題難度較大，主要是易錯.13.設(shè)隨機變量的分布列是-101若，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用分布列以及期望列出方程，然后求解即可.【詳解】解：由題意可得：，可得，解得,

所以,

故答案為：；.【點睛】本題考查離散型隨機變量的期望與方差的求法，考查計算實力.14.在中，，，點在線段上，滿意，且，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先求出，然后由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系得，利用兩個差的余弦公式代入角的三角函數(shù)值計算即可；在中，利用正弦定理即可求得【詳解】解：在中，，，，在中，，，故答案為：；【點睛】本題考查求解三角形的邊與角，關(guān)鍵是對公式要熟識，并能敏捷應(yīng)用，考查了計算實力，難度不大.15.已知雙曲線：的右焦點關(guān)于直線的對稱點在直線上，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】先求出點到漸近線的距離，在利用，得，代入數(shù)據(jù)整理計算即可得雙曲線的離心率.詳解】如圖：，由已知點到漸近線的距離，由對稱性可得，由題得，所以，即，整理得，故，故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求解，關(guān)鍵是要依據(jù)題目條件找到之間的等量關(guān)系，是中檔題.16.已知正三角形的邊長為4，是平面內(nèi)一點，且滿意，則的最大值是______，最小值是______.【答案】(1).不存在(2).【解析】【分析】依據(jù)題意可得點在正三角形的外接圓的優(yōu)弧上，以為坐標(biāo)原點，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】解：設(shè)正三角形的外接圓為，則的直徑，，如圖以為坐標(biāo)原點，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，，則點在的優(yōu)弧上，設(shè)，又，，，，則，則的最大值不存在，最小值是.故答案為：最大值不存在，最小值是.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的最值問題，建立平面直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運算去解決問題會便利很多，本題難度較大.17.設(shè)實數(shù)、滿意，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】將的最大值問題轉(zhuǎn)化的角最小的問題，數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造以的大小為邊長的三角形，視察圖像，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值.【詳解】解：設(shè)，則的幾何意義為以為長度構(gòu)成的三角形中，長度為的邊所對角的余弦值，要最大，則須要最大，即須要最小，分別以為圓心，以為半徑作圓，會得到兩個圓環(huán)，圓環(huán)的公共區(qū)域滿意，又，當(dāng)點在弧，弧，線段圍成的封閉區(qū)域（包括邊界）內(nèi)時，，其中，要最小，則點必在弧上運動，此時，依據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，取最大值，最大值為，的最大值為，故答案為：.【點睛】本題考查最值的求法，留意運用不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算實力，是一道難度較大的題目.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟.18.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）最小正周期為，遞增區(qū)間是.【解析】【分析】（1）干脆將代入求值即可；（2）將變形為，然后即可求最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】解：（1）.（2），所以的最小正周期為，由得，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.19.如圖，三棱錐中，平面平面，，，分別是，中點，且.（1）證明：；（2）求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先由已知得到平面，從而，再加上，可得線面垂直，進而可得線線垂直；（2）取中點，連接與相交于，可得即為與平面所成角，利用余弦定理求解即可.【詳解】解：（1）因為平面平面，且，所以平面，所以，又由于，所以，所以平面，所以.（2）取中點，連接與相交于，由于平面平面，且，所以平面，所以，設(shè)，則，又，所以平面，所以平面平面，所以在平面上的射影在直線上，則即為與平面所成角.因為，則，所以，，由余弦定理可得：.所以與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查線線垂直的證明，以及線面角的求解，關(guān)鍵是要找到線面角的平面角，考查學(xué)生空間想象實力和作圖實力，是中檔題.20.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列的前項和為，滿意，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）記，，證明：.【答案】（1），.（2）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程組求出和，進而可得的通項公式；由，得，可得，利用，可得的通項公式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法,①當(dāng)時，左邊，右邊，不等式成立，②假設(shè)時成立，即，證明當(dāng)時，不等式也成立.【詳解】解：（1）設(shè)首項為，公差為，則，解得，，故，由，得，即，，所以，即，所以，故.（2）由（1）知，用數(shù)學(xué)歸納法：，①當(dāng)時，左邊，右邊，不等式成立，②假設(shè)時成立，即，即當(dāng)時，.即當(dāng)時，不等式也成立.由①，②可知，不等式對隨意都成立.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及法求數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列歸納法，是中檔題.21.已知拋物線：，直線截拋物線所得弦長為.（1）求的值；（2）若直角三角形的三個頂點在拋物線上，且直角頂點的橫坐標(biāo)為1，過點、分別作拋物線的切線，兩切線相交于點.①若直線經(jīng)過點，求點的縱坐標(biāo)；②求的最大值及此時點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）①-3.②最大值見解析，【解析】【分析】（1）聯(lián)立，求出交點，利用兩點距離公式列方程求解即可；（2）①設(shè)點，，，切線：，：，化歸為二次方程的根的問題，可得直線的方程，代入點，即可得點的縱坐標(biāo)；②由題設(shè)知，即，利用面積公式表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)求其最值.【詳解】解：（1），解得兩交點為，.所以，.（2）①設(shè)點，，.切線：，：，由題設(shè)知，，即，是方程的兩根，于是，.故直線：.又因為直線經(jīng)過點，所以，即點的縱坐標(biāo)為-3；②由題設(shè)知，即.則，若，令，，若，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，此時點的坐標(biāo)為.【點睛】本題考查直線與圓錐曲線方程的綜合問題，設(shè)而不求的思想，韋達(dá)定理的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性等學(xué)問，考查計算實力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題.22.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若對隨意，均有，求的取值范圍.【答案】（1）遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（2）【解析】【