模型38 圓-垂徑定理模型-解析版

圓模型（三十八）——垂徑定理模型垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧◎結(jié)論：如圖，CD是直徑，CD⊥AB，則①M(fèi)A＝MB，②＝垂徑定理中的五元素：①過圓心;②垂直弦;③平分弦（不是直徑）;④平分優(yōu)弧;⑤平分劣弧.知二推三：這五個(gè)元素中，知道任意兩個(gè)，可得其它三個(gè).【注意】平分弦（不是直徑）的原因：任意兩條直徑互相平分，但無法推出垂直,如圖：找殘缺圓的圓心方法：知二推三組合作法：在圓弧上找兩條不平行的線段，圓心在弦的垂直平分線上，交點(diǎn)為O1．（2022·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P為半徑OB的中點(diǎn)，若CD＝6，則直徑AB的長為（）A．2 B．6 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理可知AB垂直平分CD，連接OC，根據(jù)勾股定理即可求出半徑OC，最后求出直徑即可．【詳解】解：如圖，連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴，設(shè)⊙O的半徑為r，∵點(diǎn)P為OB中點(diǎn)，∴，在種，由勾股定理可得：，即：，解得：r=或：r=（舍），∴直徑為．故選∶C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握“垂直于弦的直徑平分弦”并構(gòu)建直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，的半徑OD垂直弦AB于點(diǎn)C，若，，則的半徑為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理可得,再利用勾股定理直接求得的長，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)半徑為，，，根據(jù)垂徑定理得：，，在中，，，，解得，即的半徑為5．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理得出結(jié)論，列式計(jì)算．3．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是⊙的直徑，弦于點(diǎn)，，⊙的半徑為，則弦的長為（

）A．3 B． C． D．9【答案】C【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠COB=60°，再根據(jù)垂徑定理得到CE=DE，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CE，從而得到CD的長．【詳解】解：∵，∴∠BOC=60°，∵，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，∵⊙的半徑為，即OC=2，∴OE=1，∴，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，也考查了圓周角定理，勾股定理．1．（2022·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，已知是的外接圓，且的半徑為5，則AB的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，連接OB，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖1：當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴BD==3，∵半徑為5，∴OB=OA=5，∴，∴AD=OA+OD=4+5=9，∴，如圖2：當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴BD==3，∵半徑為5，∴OB=OA=5，∴，∴AD=OA-OD=5-4=1，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，垂徑定理以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·北京市三帆中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，則OD長為（）A．3 B． C． D．2【答案】D【分析】先利用垂徑定理得到，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOD＝60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD的長．【詳解】解：∵CD⊥AB，AB是直徑，∴，∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×1＝2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．3．（2022·全國·九年級(jí)單元測試）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】連接BC，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB⊥CD，再由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A＝∠CDB＝30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AE＝3，AB＝4，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，，∴，∵，，∴，∵AB為⊙O的直徑，∴，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故選：C．【點(diǎn)晴】本題主要考查了垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等，特殊角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．1．（2016·陜西·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，過B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過E作EF∥BC交DC的延長線與點(diǎn)F，連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．．求證：（1）FC=FG（2）AB2=BC?CG．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FA=FD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對(duì)頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結(jié)論；（2）連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G，∴FC=FG；（2）連接AC，如圖所示：∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直徑，∵FD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴，∴=BC?BG．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形.2．（2019·安徽·中考真題）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長為6米，∠OAB=41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）【答案】6.64米【分析】通過垂徑定理求出AD，再通過三角函數(shù)解直角三角形，求出AO和OD的值，從而得到點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.【詳解】解：如圖：連接CO并延長，交AB于點(diǎn)D，∵OD⊥AB，AB=6，∴AD=AB=3，在