數(shù)學(xué)-江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月期初質(zhì)量監(jiān)測試題和答案

2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高三期初試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為2．已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|2－x＞0，x∈N}，則A∩B=A．{3，4}B．{0，3．已知x＞0，y＞0，xy＝4，則x＋2y的最小值為4．由數(shù)字2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為5．若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為6．隨機(jī)變量X服從N(μ,σ2)，若P(X≥1)＝P(X≤3)，則下列選項(xiàng)一定正確的是A．P(X|≥3)＝1B.σ=1C.μ=2D．P(X≥3)＋P(X≤1)＝17．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)N為側(cè)面四邊形CDD1C1的中心，則四面體NCB1C1的外接球的體積為8．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，滿足f(1－x)f(1－y)＋f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(－1)=0，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是第14題(圖)A．f(1)＝0B．f(x)圖象關(guān)于(2，0)對稱C．f(x)圖象關(guān)于(1，0)對稱D．f(x)為偶函數(shù)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是′=3exB.′=2cosxD.10．已知P則下列說法正確的是11．函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，對于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，恒滿足則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”．下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是=lnxB．f＝exC．f＝x2D．f三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格．若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為▲.13．已知二次函數(shù)f(x)從1到1+Δx的平均變化率為2Δx＋3，請寫出滿足條件的一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式f(x)=▲.14．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸(如圖)．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是▲.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算.(1)求一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；(2)若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA＝2V3，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD⊥平面PAB，PD⊥AB，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC的中點(diǎn).(1)證明：DF∥平面ACE；(2)求二面角A－CE－B的正弦值.(第16題圖)我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab等號成立.(1)證明“三元不等式”：a3＋b3＋c3≥3abc(a，b，c∈[0，+∞)).(2)已知函數(shù)f(x)＝x2+.①解不等式f(x)≥5；②對任意x∈(0，+∞)，f(x)≥m2＋2m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.在如圖所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD＝45°,∠BAD＝60°,(1)求AC1的長度；(2)求二面角B－AA1－D的大?。?3)求平行六面體ABCD－A1B1C1D1的體積.(第18題圖)(1)函數(shù)y＝f(x)是否具有奇偶性?為什么?(2)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若f(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)x1，x2，證明：f2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高三期初試卷1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】借助百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.故選：C.【答案】B故選：B.A.4B.42C.6D.82【答案】B 的最小值為4-2.故選：C故選：B4.由數(shù)字2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為()A.B.C.D.【答案】A而其中偶數(shù)有兩種情況：所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有2+2=4種，所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件A，則P故選：A.5.若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為()A.3B.C.D.【答案】C取BC中點(diǎn)D，連接AD，取等邊三角形ABC的中心O，連接PO，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，即三棱錐P-ABC的高為PO，則下列選項(xiàng)一定正確的是()AP（X≥31B.σ=1.【答案】C由正態(tài)分布的對稱性，可得μ=2，正態(tài)分布方差無法判斷，P(X≥3)<1，P(X≥3)+P(X≤1)<1，所以ABD錯(cuò)誤.故選:：C7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)N為側(cè)面四邊形CDD1C1的中心，則四面體NCB1C1的外A.2πB.4πC.2πD.【答案】D【解析】如圖：取B1C中點(diǎn)O，連結(jié)NO,NC,NC1,NB1,ND1,B1D1，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1的棱長為2的正方體，所以O(shè)C=iOB1=OC1=，且B1D1所以四面體NCB1C1的外接球的球心為為O，且外接球半徑R=2，所以四面體NCB1C1的外接球的體積.故選：D.8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，滿足f(1-x)f(1-y)+f(x+y)=f(x)f(y)，且f(0)≠0,f(-1)=0，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.f(1)=0B.f(x)圖象關(guān)于(2,0)對稱C.f(x)圖象關(guān)于(1,0)對稱D.f(x)為偶函數(shù)【答案】B【解析】對于A，令x=1,y=0，則f(0)f(1)+f(1)=f(1)f(0)，所以f1)=0，故A正確；對于B，令x=y=0，則f(1)f(1)+f(0)=f(0)f(0)，即f(0)=f2(0)，解得：f(0)=0或f(0)=1，因?yàn)閒(0)≠0，所以f(0)=1，令x=y=1，f(0)f(0)+f(2)=f(1)f(1)，所以f(2)=-1，所以f(x)圖象不關(guān)于2,0對稱，故B錯(cuò)誤；對于C，令y=1，則有f(1-x)f(0)+f(x+1)=f(x)f(1)即f(1-x)+f(x+1)=0，故f(x)圖象關(guān)于1,0對稱，故C正確.對于D，令y=-1，則有f(1-x)f(2)+f(x-1)=f(x)f(-1)即-f(1-x)+f(x-1)=0，即f(x-1)=f(1-x)，即f(x)=f(1-x-1)=f(-x)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故D正確.故選：B.公眾號：高中試卷君9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()C.(2sinx-3)/=2cosx【答案】CD【解析】對于A選項(xiàng)，(e3x)/=e3x.(3x)'=3e3x，A錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，(2sinx-3)/=2cosx，C正確；對于D選項(xiàng)D正確.故選：CD.10.已知事件A與B發(fā)生的概率分別為則下列說法正確的是()B.P(A|B)>【答案】BD【解析】對于A，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以不一定成立，故A錯(cuò)誤；對于B，由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB)≤1，則P(AB)≥,對于C，由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨(dú)立，所以也不一定成立，故C錯(cuò)誤；故選：BD.則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是A.f(x)=lnxB.f(x)=exCf(x)=x2D.f(x)=·.【答案】AD化簡可得2≥0，故滿足題意，故A正確；對B：x1，x2又故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對C：x1，x2化簡得(x1-x2)2≤0恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對D：x1，x2左右平方后化簡可得2≥0，故滿足題意，故D正確.故選：AD.12.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為.【答案】【解析】解：某人參加考試，4道題目中，答對的題目數(shù)X滿足二項(xiàng)分布故答案為：13.已知二次函數(shù)f(x)從1到1+Δx的平均變化率為2Δx+3，請寫出滿足條件的一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式f(x)=.【答案】2x2-x（答案不唯一）【解析】設(shè)fx=ax2+bx+c，顯然c的取值不改變結(jié)果，不妨取c=0，則f(x)=2x2-x.故答案為：2x2-x14.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是.【解析】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，由對稱性知，勒洛四面體ABCD內(nèi)切球球心是正四面體ABCD的內(nèi)切球、外接球球心O，設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為R，在Rt△BOO1中，R2=解得，因此，勒洛四面體ABCD內(nèi)切球半徑為故答案為：.15.某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算.（1）求一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).【答案】（12）答案見詳解從6張獎(jiǎng)券中，任取2張獎(jiǎng)券共有C=15種選法，抽到的兩張獎(jiǎng)券相同的有3種選法，所以一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率為【小問2詳解】X的所有可能取值為80，85，90，:X的分布列為：90 PD丄AB，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC的中點(diǎn).（1）證明：DF//平面ACE；（2）求二面角A-CE-B的正弦值.【答案】（1）證明見詳解如圖，連接EF，因?yàn)镋,F分別為PB,PC的中點(diǎn)，所以EF//BC，EF=又AD//BC，AD=，所以EF//AD，EF=AD，所以四邊形ADFE是平行四邊形，則DF//AE，因?yàn)锳E平面ACE，DF丈平面ACE，所以DF//平面ACE.【小問2詳解】因?yàn)锳D丄平面PAB，PA,AB平面PAB，所以AD丄AP，AD丄AB，又AB丄PD，AD,PA是平面PAD內(nèi)兩條相交直線，:AB丄平面PAD，又PA平面PAD，:AB丄PA，所以AB,AP,AD兩兩互相垂直，，，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為-=(x1,y1,Z1)，-設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為=(x2,y2,z2)，設(shè)二面角A-CE-B的平面角為θ, 所以二面角A-CE-B的正弦值為.a22=2ab等號成立．公眾號：高中試卷君①解不等式f(x)≥5；②對任意x∈0,+∞,f(x)≥m2+2m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.)，則a3+b3-(a2b+b2a)=a3-a2b+b3-b2a=a2(a-b)+b2(b-a)2b+b2a（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等同理a332c2a（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等b332c2b（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等2c2a2c2bc2+a2)3【小問2詳解】所以解得當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等，xx所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f(x)min=3，則m2 （1）求