河北省滄州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)9月份月考數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章～第二章第3節(jié)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．已知，，，若，則（）A．5 B．4 C．1 D．3．如果且，那么直線不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在平行六面體中，，分別是，的中點(diǎn)．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．5．已知直線：，：，：，，，若，，則（）A．或 B． C．或 D．6．已知，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A． B． C． D．7．點(diǎn)到直線：（為任意實(shí)數(shù)）的距離的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在正三棱柱中，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A．2 B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段的延長(zhǎng)線（不含點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值可能為（）A． B． C． D．110．在正方體中，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量為（）A．，， B．，，C．，， D．，，11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．，，，四點(diǎn)共面B．與所成角的大小為C．在線段上存在點(diǎn)，使得平面D．在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的2倍，則直線的方程為_________．13．在四面體中，，，，，則_________．14．在中，頂點(diǎn)，點(diǎn)在直線：上，點(diǎn)在軸上，則周長(zhǎng)的最小值為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）在梯形中，，，已知，，．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求梯形的面積．16．（本小題滿分15分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，設(shè)，．（1）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離．17．（本小題滿分15分）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值．18．（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，平面平面，．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（本小題滿分17分）球面幾何在研究球體定位等問(wèn)題有重要的基礎(chǔ)作用．球面上的線是彎曲的，不存在直線，連接球面上任意兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)條曲線，它們長(zhǎng)短不一，其中這兩點(diǎn)在球面上的最短路徑的長(zhǎng)度稱為兩點(diǎn)間的球面距離．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖1，球的半徑為，，，為球面上三點(diǎn)，曲面（陰影部分）叫做球面三角形．若設(shè)二面角，，分別為，，，則球面三角形的面積為．（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；（2）將圖1中四面體截出得到圖2，若平面三角形為直角三角形，，設(shè)，，．①證明：；②延長(zhǎng)與球交于點(diǎn)，連接，，若直線，與平面所成的角分別為，，且，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值．2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)9月份月考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．B直線與軸垂直，所以傾斜角為．故選B．2．A，，因?yàn)?，所以，解得，，所以．故選A．3．C由且，可得，同號(hào)，，異號(hào)，所以，也是異號(hào)．令，得；令，得，所以直線不經(jīng)過(guò)第三象限．故選C．4．A如圖所示，，即．故選A．5．D由，得，且，解得，由，得，故．故選D．6．C，，，設(shè)平面的法向量，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離．故選C．7．B將直線方程變形為，所以解得由此可得直線恒過(guò)點(diǎn)，所以到直線的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于，到直線的最短距離為0，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．又，所以到直線的距離的取值范圍是．故選B．8．D因?yàn)樵谡庵?，為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)槭抢馍系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)?，所以，于是令，，所以，．又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即線段長(zhǎng)度的最小值為．故選D．9．BC由圖象可知要使與線段的延長(zhǎng)線（不含點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則，又，，則的斜率的取值范圍是．故選BC．10．AC空間的一組向量可以成為基底的充分必要條件是這組向量不共面．選項(xiàng)A中，直線，所在的平面是，而與平面相交，所以，，不共面，故這組向量可以成為基底，A正確；選項(xiàng)B中，，，滿足，所以這三個(gè)向量共面，這組向量不可以成為基底，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，直線，所在的平面是，而與平面相交，所以，，不共面，這組向量可以成為基底，C正確；選項(xiàng)D中，因?yàn)?，所以，，共面，這組向量不可以成為基底，D錯(cuò)誤．故選AC．11．AD以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，則，所以解得故，即，，，四點(diǎn)共面，故A正確；因?yàn)?，，所以，所以與所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意．設(shè)，則，若平面，則，．因?yàn)?，，所以此方程組無(wú)解，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，是定值，又的面積是定值，所以在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值，故D正確．故選AD．12．或設(shè)在軸上的截距為，則在軸上的截距為，若，則過(guò)原點(diǎn)，故的方程為，即；若，則的方程為，所以，所以，所以的方程為，即．綜上所述，直線的方程為，或．13．因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，，所以，所以，又，所以?4．設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，與的交點(diǎn)即為，與軸的交點(diǎn)即為．的長(zhǎng)即為周長(zhǎng)的最小值．設(shè)，則解得即，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，周長(zhǎng)的最小值為．15．解：（1）設(shè)，由，且直線的斜率存在，所以，，即，由，得，即，所以，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）方法一：，，又，所以梯形的面積．方法二：，，由，，得直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，所以梯形的面積．16．解：（1）由題意知，，所以，．又與互相垂直，所以，解得．（2）由（1）知，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離．17．解：如圖，在正三棱柱中，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則，，，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，，，，，．?）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，從而，．故．因此異面直線與所成角的余弦值為．（2）由于平面，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)為平面的法向量．由（1）得，．由得令，則．故．所以．所以二面角的正弦值為．18．（1）證明：在中，，，由余弦定理，得，所以，即．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．?）解：設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，連接，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又，所以，即，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，設(shè)，則，所以．，，設(shè)是平面的法向量，則即令，則，，即平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，又，則，即，解得．所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí)．19．（1）解：若平面，平面，平面兩兩垂直，有，所以球面三角形的面積為．（2）①證明：由余弦定理有且，消掉，可得．②解：由是球的直徑，則，，且，，，平面，所以平面，又平面，則，又，，平面，所以平面，由直線，與