高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義第1章第01節(jié)集合

第一節(jié)集合考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)集合2017·全國卷Ⅰ·T1·5分集合運算與一次不等式的解法數(shù)學(xué)運算2017·全國卷Ⅱ·T1·5分并集運算2017·全國卷Ⅲ·T1·5分交集運算2016·全國卷Ⅰ·T1·5分集合的交集運算數(shù)學(xué)運算2016·全國卷Ⅱ·T1·5分集合運算與二次不等式的解法2016·全國卷Ⅲ·T1·5分集合補集運算2015·全國卷Ⅰ·T1·5分集合交集運算數(shù)學(xué)運算2015·全國卷Ⅱ·T1·5分集合交集運算命題分析集合的基本運算以及一元二次方程、函數(shù)定義域、值域的綜合問題是高考的熱點；難點是以集合及相關(guān)知識為背景的綜合問題.1．元素與集合(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A．(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常用數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN＋或N*ZQR2.集合與集合之間的基本關(guān)系描述關(guān)系文字語言符號語言集合間的基本關(guān)系子集A中任何一元素都是B中的元素A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于AAB或BA相等如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，同時集合B中的任何一個元素都是集合A中的元素A＝B空集空集是任何集合的子集??A空集是任何非空集合的真子集?B且B≠?3.集合間的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}提醒：(1)若集合A含有n個元素，則其子集有2n個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個．(2)在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮?是否成立，以防漏解．(3)集合的運算性質(zhì)①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B；②A∩A＝A，A∩?＝?；③A∪A＝A，A∪?＝A；④A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A．(4)Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)集合{x2＋x,0}中實數(shù)x可取任意值．()(2)任何集合都至少有兩個子集．()(3)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，則A?B．()(4)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材習(xí)題改編)若集合A＝{x∈N＋|x≤8}，a＝2eq\r(2)，則下面結(jié)論中正確的是()A．{a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?A解析：選D因為2eq\r(2)不是正整數(shù)，所以a?A．3．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的個數(shù)為2.故選B．4．(2016·全國卷Ⅲ)設(shè)集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，則?AB＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：選C?AB＝{0,2,6,10}．5．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)＝()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：選D因為A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{4}．集合及集合間的關(guān)系[明技法](1)與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略一看元素，二看限制條件，三列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)．注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．(2)判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法①化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關(guān)系．②用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系．[提能力]【典例】(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍為____________解析：(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b為1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4個元素．(2)∵B?A，∴若B＝?，則2m－1<m＋1，此時m<2.若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.②由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．答案：(1)B(2)(－∞，3][母題變式]在本例(2)中，若A?B，如何求解？解：若A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3.))所以m的取值范圍為?.[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是()A．A＝B B．A∩B＝?C．A?B D．B?A解析：選D因為A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，所以結(jié)合數(shù)軸可得B?A．2．(2018·萊州模擬)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C?A}，則集合B中元素的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選CA＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4個子集，因此集合B中元素的個數(shù)為4，選C．集合的運算[析考情]集合的基本運算是歷年高考的熱點．高考中主要考查求集合的交、并、補運算，常與解不等式、求函數(shù)定義域和值域等知識相結(jié)合．考查題型以選擇題為主，屬容易題，分值5分．[提能力]命題點1：求交集或并集【典例1】(1)(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：選C∵A∩B＝{1}，∴1∈B．∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．(2)(2017·浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：選A∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，故選A．命題點2：交、并、補的綜合運算【典例2】(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：選B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴?RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(?RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．(2)(2018·柳州模擬)設(shè)全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，則(?UA)∩B＝________.解析：由題意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，則?UA＝{4,6,7,9,10}，∴(?UA)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}命題點3：集合的新定義問題【典例3】設(shè)A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，則A?B＝________.解析：由已知，A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥0))，A∩B＝{x|0<x<2}，故由新定義結(jié)合數(shù)軸得A?B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[悟技法]解決集合運算問題的四個關(guān)注點(1)看元素構(gòu)成：集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵．(2)對集合化簡：有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決．(3)應(yīng)用數(shù)形：常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．(4)創(chuàng)新性問題：以集合為依托，對集合的定義、運算、性質(zhì)進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識來解決．[刷好題]1．(2018·蘭州一模)已知集合M＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，N＝{x|－2≤x≤2}，則M∩N＝()A．[－2，－1] B．[－1,2]C．[－1,1] D．[1,2]解析：選A由(x－3)(x＋1)≥0，解得：x≤－1或x≥3，∴M＝{x|x≤－1或x≥3}，∵N＝{x|－2≤x≤2}，則M∩N＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．2．(2018·晉中一模)設(shè)U＝R，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，則A∩(?UB)＝()A．{1,2} B．{－1,0,1}C．{－2，－1,0} D．{－2，－1,0,1}解析：選C因為全集U＝R，集合B＝{x|x≥1}，所以?UB＝{x|x＜1}＝(－∞，1)，且集合A＝{－2，－1,0,1,2}，所