高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（北師大版）第8章第7節(jié)空間向量的應(yīng)用

第七節(jié)空間向量的應(yīng)用考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)空間向量的應(yīng)用2017·全國(guó)卷Ⅰ·T18·12分面面垂直的判定，二面角的計(jì)算直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2017·全國(guó)卷Ⅱ·T19·12分線面平行的判定，空間向量的應(yīng)用，線面角、二面角2015·全國(guó)卷Ⅱ·T19·12分利用面面平行的性質(zhì)作圖，求線面角命題分析從近幾年高考情況看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角(特別是二面角)是高考的熱點(diǎn)，考查頻率很高，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的平行、垂直、夾角問(wèn)題，難度中等，多以解答題形式出現(xiàn).1．空間位置關(guān)系(1)直線的方向向量與平面的法向量的確定①直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量．②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))(2)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝02.空間角(1)直線間的夾角①兩條直線的夾角當(dāng)兩條直線l1與l2共面時(shí)，我們把兩條直線交角中，范圍在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)的角叫作兩直線的夾角．②異面直線l1與l2的夾角當(dāng)直線l1與l2是異面直線時(shí)，在直線l1上任取一點(diǎn)A作AB∥l2，我們把直線l1和直線AB的夾角叫作異面直線l1與l2的夾角．設(shè)s1，s2分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2的夾角θs1與s2的夾角〈s1，s2〉范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(0，π)求法cosθ＝|cos〈s1，s2〉|＝eq\f(|s1·s2|,|s1||s2|)cos〈s1，s2〉＝eq\f(s1·s2,|s1||s2|)關(guān)系當(dāng)0＜〈s1，s2〉≤eq\f(π,2)時(shí)，θ＝〈s1，s2〉；當(dāng)eq\f(π,2)＜〈s1，s2〉＜π時(shí)，θ＝π－〈s1，s2〉(2)平面間的夾角如圖所示，平面π1與π2相交于直線l，點(diǎn)R為直線l上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R，在平面π1上作直線l1⊥l，在平面π2上作直線l2⊥l，則l1∩l2＝R.我們把直線l1和直線l2的夾角叫作平面π1與π2的夾角．已知平面π1和π2的法向量分別為n1和n2，當(dāng)0≤〈n1，n2〉≤eq\f(π,2)時(shí)，平面π1與π2的夾角等于〈n1，n2〉；當(dāng)eq\f(π,2)＜〈n1，n2〉≤π時(shí)，平面π1與π2的夾角等于π－〈n1，n2〉.(3)直線與平面的夾角平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的投影的夾角叫作該直線與此平面的夾角．設(shè)直線l的方向向量為s，平面π的法向量為n，直線l與平面π的夾角為θ，則sinθ＝|cos〈s，n〉|＝eq\f(|s·n|,|s||n|).3．空間距離(1)點(diǎn)到直線的距離如圖，AA′⊥l，垂足為A′，則點(diǎn)A到直線l的距離d等于線段AA′的長(zhǎng)度，而向量eq\o(PA,\s\up6(→))在s上的投影的大小|eq\o(PA,\s\up6(→))·s0|(s0為與s方向相同的單位向量)等于線段PA′的長(zhǎng)度，所以d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2)).(2)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離為|BO|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).提醒：1．平面的法向量的求法設(shè)出平面的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，利用其與該平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直，即數(shù)量積為0，列出方程組，兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，此時(shí)給其中一個(gè)變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一個(gè)非零解，即得到這個(gè)法向量的坐標(biāo)．注意，賦值不同得到法向量的坐標(biāo)也不同，法向量的坐標(biāo)不唯一．2．方向向量與法向量的作用利用直線的方向向量與平面的法向量證明線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系的關(guān)鍵就是把垂直與平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行關(guān)系，然后利用向量的數(shù)量積解決．當(dāng)然垂直與平行關(guān)系的判斷與證明也可以不利用向量方法，而利用定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明．兩種方法都要熟練掌握．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩異面直線夾角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直線與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的范圍是[0，π]．()(2)若兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為45°.()(3)已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則l與α所成的角為15°.()答案：(1)√(2)×(3)×2．(教材習(xí)題改編)若直線l1，l2的方向向量a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則()A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1與l2相交但不垂直 D．以上均不正確解析：選B因?yàn)閍·b＝(2,4，－4)·(－6,9,6)＝－12＋36－24＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2.3．(教材習(xí)題改編)如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么這條斜線與平面所成的角是()A．90° B．30°C．45° D．60°解析：選D∵cos〈a，b〉＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.4．在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為A．－eq\f(\r(10),10) B．－eq\f(1,20)C．eq\f(1,20) D．eq\f(\r(10),10)解析：選D如圖建立直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1))，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(D