人教版(2024)八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題專題13.9分類討論思想與等腰三角形的綜合運用【八大題型】(舉一反三)(人教版)(學(xué)生版+解析)

專題13.9分類討論思想與等腰三角形的綜合運用【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1與邊有關(guān)的討論】 1【題型2與角有關(guān)的討論】 1【題型3與中線有關(guān)的討論】 2【題型4與高有關(guān)的討論】 2【題型5與垂直平分線有關(guān)的討論】 3【題型6與動點有關(guān)的討論】 3【題型7與三角形形狀有關(guān)的討論】 4【題型8與構(gòu)造三角形有關(guān)的討論】 4【題型1與邊有關(guān)的討論】【例1】（23-24八年級·陜西西安·期末）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰△ABC的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A．12 B．43 C．43或2 D．【變式1-1】（23-24八年級·寧夏銀川·期中）已知等腰三角形的一邊等于10cm另一邊等于6cm，則它的周長為．【變式1-2】（23-24八年級·四川遂寧·期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足2a?b?1+A．8 B．11 C．13 D．11或13【變式1-3】（23-24八年級·湖北武漢·期中）用一條長為20cm的細繩圍成一個等腰三角形，已知一邊長是另一邊長的2倍，則腰長為cm【題型2與角有關(guān)的討論】【例2】（23-24八年級·云南昆明·期末）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=75°，則它的特征值k=．【變式2-1】（23-24·重慶沙坪壩·八年級期末）已知等腰三角形的一個底角為35°，則等腰三角形的頂角的度數(shù)為．【變式2-2】（23-24八年級·江蘇南通·周測）在等腰三角形ABC中，CA=CB，過點A作△ABC的高AD．若∠ACD=30°，則這個三角形的底角與頂角的度數(shù)比為（

）A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10【變式2-3】（23-24八年級·浙江·期末）若一個三角形的兩個內(nèi)角之差是第三個內(nèi)角的12，則稱這個三角形是“差半角三角形”．若一個等腰三角形是“差半角三角形”，則它的底角度數(shù)是【題型3與中線有關(guān)的討論】【例3】（23-24八年級·山東日照·階段練習(xí)）已知在△ABC中，AB=AC，周長為24，AC邊上的中線BD把△ABC分成周長差為6的兩個三角形，則△ABC各邊的長分別為（

）A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12【變式3-1】（23-24八年級·浙江寧波·階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線將這個三角形的周長分成12，9兩部分，則等腰三角形的腰長為．【變式3-2】（23-24八年級·江蘇南通·周測）已知一個等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個三角形的周長分為3：2的兩部分，則這個等腰三角形的腰長為．【變式3-3】（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AD是中線，點E是AC邊上一點，若△ADE是等腰三角形，則∠EDC的度數(shù)是．【題型4與高有關(guān)的討論】【例4】（23-24八年級·河南駐馬店·期末）已知等腰△ABC的周長為16，其中一邊長為6，AD為底邊BC上的高，則BD的長為（

）A．2 B．3 C．4或6 D．2或3【變式4-1】（23-24八年級·河北邢臺·期末）已知等腰△ABC，AD為BC邊上的高，且AD=12BC，則等腰△ABCA．45° B．75°或60° C．45°或75° D．以上都不對【變式4-2】（23-24八年級·黑龍江大慶·期中）等腰三角形的頂角是n°A．90°?n°2 B．90?n°【變式4-3】（23-24八年級·河北廊坊·期末）已知△ABC是等腰三角形，BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．15°或90° B．75° C．15°或75° D．15°或75°或90°【題型5與垂直平分線有關(guān)的討論】【例5】（23-24八年級·四川成都·期末）在△ABC中，AB=AC，過AB的中點D作AB的垂線，交直線AC于點E，若∠AED=58°，則∠B=°．【變式5-1】（23-24八年級·浙江紹興·階段練習(xí)）已知線段AB的垂直平分線上有兩點E，F(xiàn)，直線EF交AB于點C，且∠AEC=70°，∠AFC=45°，則∠EAF=．【變式5-2】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）在△ABC中，DF是AB的垂直平分線，交BC于D，EG是AC的垂直平分線，交BC于E，若∠DAE=20°，則∠BAC等于．【變式5-3】（23-24八年級·上海黃浦·期末）已知等腰△ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線交直線AC于點D，若∠BDC=48°，則∠BAC的度數(shù)為【題型6與動點有關(guān)的討論】【例6】（23-24八年級·重慶渝中·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC的中點，若動點P以2cm/秒的速度從點A出發(fā)沿A→B→A方向運動設(shè)運動時間為t秒，連接PQ，當(dāng)△APQ是等腰三角形時，則t的值為【變式6-1】（23-24八年級·陜西咸陽·期中）如圖，∠AOB=60°，C是BO延長線上一點，OC=12cm，動點M從點C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動，動點N從點O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動，如果點M、N同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為【變式6-2】（23-24八年級·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，B是射線AD上動點，∠A=50°，若△ABC為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可能是．【變式6-3】（23-24八年級·河北廊坊·期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ【題型7與三角形形狀有關(guān)的討論】【例7】（23-24·上海·模擬預(yù)測）如果兩個不全等的等腰三角形的腰長相等、面積也相等，那么我們把這兩個等腰三角形稱為一對合同三角形．設(shè)一對合同三角形的底角分別為x°和y°，那么y=．（用x的代數(shù)式表示）【變式7-1】（23-24春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）若等腰三角形腰長為4，面積是4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為(

)A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°【變式7-2】（23-24春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）若等腰三角形的腰長為8，腰上的高為4，則此三角形的頂角是(

)A.30° B.150° C.30°

或150° D.30°或120°【變式7-3】（23-24春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）從一個等腰三角形紙片的頂角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角等于(

)A.90° B.72° C.108° D.90°或108°【題型8與構(gòu)造三角形有關(guān)的討論】【例8】（2024八年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點E滿足△OCE是等腰三角形，∠AEC的度數(shù)為．【變式8-1】（23-24八年級·云南普洱·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BAD的度數(shù)為．【變式8-2】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知在△ABC中，∠A=40°，D為邊AC上一點，△ABD和△BCD都是等腰三角形，則∠C的度數(shù)可能是．【變式8-3】（2024八年級·江蘇·專題練習(xí)）定義：如果一個三角形能被過頂點的一條線段分割成兩個等腰三角形，則稱這個三角形為特異三角形，如圖，△ABC中，∠A=36°,∠B為鈍角，則使得△ABC是特異三角形所有可能的∠B的度數(shù)為．專題13.9分類討論思想與等腰三角形的綜合運用【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1與邊有關(guān)的討論】 1【題型2與角有關(guān)的討論】 3【題型3與中線有關(guān)的討論】 6【題型4與高有關(guān)的討論】 8【題型5與垂直平分線有關(guān)的討論】 14【題型6與動點有關(guān)的討論】 18【題型7與三角形形狀有關(guān)的討論】 21【題型8與構(gòu)造三角形有關(guān)的討論】 26【題型1與邊有關(guān)的討論】【例1】（23-24八年級·陜西西安·期末）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰△ABC的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A．12 B．43 C．43或2 D．【答案】D【分析】分8為腰長和底邊長，兩種情況進行討論即可．【詳解】解：當(dāng)8為腰長時，∵等腰△ABC的周長為20，∴△ABC的底邊長為：20?8?8=4，∴“優(yōu)美比”為48當(dāng)8為底邊長時，△ABC的腰長為：12∴“優(yōu)美比”為86故選D．【點睛】本題考查等腰三角形的定義．熟練掌握等腰三角形的兩腰相等，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．【變式1-1】（23-24八年級·寧夏銀川·期中）已知等腰三角形的一邊等于10cm另一邊等于6cm，則它的周長為．【答案】22cm或【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，三角形三邊之間的關(guān)系等知識點，熟練掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分情況討論即可．【詳解】解：①當(dāng)6cm為腰，10∵6+6>10，6+10>6，∴能構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的周長=6+6+10=22cm②當(dāng)10cm為腰，6∵10+10>6，10+6>10，∴能構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的周長=10+10+6=26cm故答案為：22cm或26【變式1-2】（23-24八年級·四川遂寧·期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b，且a、b滿足2a?b?1+A．8 B．11 C．13 D．11或13【答案】D【分析】首先根據(jù)|2a-b-1|+（b-a-2）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周長即可．【詳解】解：∵|2a-b-1|+（b-a-2）2=0，∴2a?b?1＝0b?a?2＝0解得：a＝3b＝5當(dāng)3為腰時，三邊為3，3，5，由三角形三邊關(guān)系定理可知，周長為：3+3+5=11．當(dāng)5為腰時，三邊為5，5，3，符合三角形三邊關(guān)系定理，周長為：5+5+3=13．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理．關(guān)鍵是根據(jù)3，5，分別作為腰，由三邊關(guān)系定理，分類討論．【變式1-3】（23-24八年級·湖北武漢·期中）用一條長為20cm的細繩圍成一個等腰三角形，已知一邊長是另一邊長的2倍，則腰長為cm【答案】8【分析】可設(shè)一邊長為x，則另一邊長為2x，然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長解出x，再利用三角形三邊關(guān)系進行驗證即可．【詳解】解：設(shè)一邊為xcm，則另一邊為2xcm，①當(dāng)長為xcm的邊為腰時，此時三角形的三邊長分別為xcm、xcm、2xcm，由題意可列方程：x+x+2x=20，解得x=5，此時三角形的三邊長分別為：5、5和10，因為5+5=10，不符合三角形三邊之間的關(guān)系，所以不符合題意；②當(dāng)長為xcm的邊為底時，此時三角形的三邊長分別為：xcm、2xcm、2xcm，由題意可列方程：x+2x+2x=20，解得：x=4，此時三角形的三邊長分別為：4、8、8，滿足三角形的三邊之間的關(guān)系，∴這個三角形的腰長為8cm；故答案為8.【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，分情況討論且進行三邊驗證是解題的關(guān)鍵．【題型2與角有關(guān)的討論】【例2】（23-24八年級·云南昆明·期末）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=75°，則它的特征值k=．【答案】107或【分析】分∠A為頂角和底角兩類進行討論，計算出其他角的度數(shù)，根據(jù)特征值k的定義計算即可．【詳解】當(dāng)∠A為頂角時，等腰三角形的兩底角為180°?75°2=52.5°，∴特征值當(dāng)∠A為底角時，等腰三角形的頂角為180°?75°×2=30°，∴特征值k=故答案為：107或【點睛】本題考查了等腰三角形的分類，等腰三角形的分類討論是解題中易錯點．一般可以考慮從角或邊兩類進行討論．【變式2-1】（23-24·重慶沙坪壩·八年級期末）已知等腰三角形的一個底角為35°，則等腰三角形的頂角的度數(shù)為．【答案】110°/110度【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．利用三角形的內(nèi)角和求角度是一種很重要的方法，要熟練掌握．已知給出了一個底角為35°，利用三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°即可解本題．【詳解】解：因為其底角為35°，所以其頂角=180°?35°×2=110°．故答案為：110°．【變式2-2】（23-24八年級·江蘇南通·周測）在等腰三角形ABC中，CA=CB，過點A作△ABC的高AD．若∠ACD=30°，則這個三角形的底角與頂角的度數(shù)比為（

）A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10【答案】D【分析】分等腰三角形頂角是鈍角和銳角兩種情況討論即可.【詳解】解：情況1：如圖：∵∠ACD=30°，∴∠ACB=180°?∠ACD=150°，∵CA=CB，∴∠B=∠CAB=15o，底角與頂角的度數(shù)比為：15o:150o=1:10；情況2：如圖：∵∠ACD=30°，CA=CB，∴∠B=∠CAB=180°?30°2底角與頂角的度數(shù)比為：75o:30o=5:2，綜上，這個三角形的底角與頂角的度數(shù)比為5:2或1:10，故選：D.【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.分情況討論是解答此題的關(guān)鍵.【變式2-3】（23-24八年級·浙江·期末）若一個三角形的兩個內(nèi)角之差是第三個內(nèi)角的12，則稱這個三角形是“差半角三角形”．若一個等腰三角形是“差半角三角形”，則它的底角度數(shù)是【答案】72或360【分析】設(shè)底角為α°，則另一個底角為α°，頂角為180°－2α°，根據(jù)差半角三角形的定義得出方程，由此解方程即可求得答案．【詳解】解：設(shè)底角為α°，則另一個底角為α°，頂角為180°－2α°，當(dāng)α°－（180°－2α°）＝12解得：α＝72，當(dāng)（180°－2α°）－α＝12解得：α＝3607故答案為：72或3607【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)列出方程是解答此題的關(guān)鍵．【題型3與中線有關(guān)的討論】【例3】（23-24八年級·山東日照·階段練習(xí)）已知在△ABC中，AB=AC，周長為24，AC邊上的中線BD把△ABC分成周長差為6的兩個三角形，則△ABC各邊的長分別為（

）A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12【答案】A【分析】結(jié)合圖形可知兩周長的差就是腰長與底邊的差的絕對值，因為腰長與底邊的大小不明確，所以分腰長大于底邊和腰長小于底邊兩種情況討論．【詳解】解：如圖，由題意可知，分成兩部分的周長的差等于腰長與底邊的差的絕對值．

分兩種情況：（1）若AB>BC，則AB?BC=6，又因為2AB+BC=24，聯(lián)立方程組并求解得：AB=10，BC=4，10、10、4三邊能夠組成三角形；（2）若AB<BC，則BC?AB=6，又因為2AB+BC=24，聯(lián)立方程組并求解得：AB=6，BC=12，6、6、12三邊不能夠組成三角形；因此三角形的各邊長為10、10、4．故選：A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；做題中利用了分類討論的思想，注意運用三角形三邊關(guān)系對三角形的組成情況作出判斷，這是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24八年級·浙江寧波·階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線將這個三角形的周長分成12，9兩部分，則等腰三角形的腰長為．【答案】6或8【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；設(shè)腰長為x，底邊長為y，根據(jù)等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為12和9兩部分，列方程解得即可．【詳解】解：設(shè)腰長為x，底邊長為y，則x+x2=12解得：x=8y=5或x=6經(jīng)檢驗，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此三角形的底邊長為9或5，等腰三角形的腰長為6或8．故答案為：6或8【變式3-2】（23-24八年級·江蘇南通·周測）已知一個等腰三角形的周長為45cm，一腰上的中線將這個三角形的周長分為3：2的兩部分，則這個等腰三角形的腰長為．【答案】9cm或21cm【分析】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立方程組，進而可求得等腰三角形的腰長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是否滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：設(shè)該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm.根據(jù)題意得x+x2=45×解得x=18y=9或x=12經(jīng)檢驗，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此三角形的腰長為18cm或12cm.故答案為：18cm或12cm．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確3：2兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級·廣東廣州·期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AD是中線，點E是AC邊上一點，若△ADE是等腰三角形，則∠EDC的度數(shù)是．【答案】15°或60°【分析】先證明AD⊥BC,∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=30°,再分三種情況討論即可．【詳解】解：如圖，∵△ABC為等邊三角形，AD是中線，∴AD⊥BC,∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=30°,∵△ADE為等腰三角形，當(dāng)AD=AE,則∠ADE=1∴∠EDC=90°?75°=15°,當(dāng)EA=ED,則∠ADE=∠EAD=30°,∴∠EDC=90°?30°=60°,當(dāng)DA=DE,此時E不在邊AC上，舍去，綜上：∠EDC為15°或60°.故答案為：15°或60°.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握“等腰三角形的兩個底角相等，三線合一以及清晰的分類討論”是解本題的關(guān)鍵．【題型4與高有關(guān)的討論】【例4】（23-24八年級·河南駐馬店·期末）已知等腰△ABC的周長為16，其中一邊長為6，AD為底邊BC上的高，則BD的長為（

）A．2 B．3 C．4或6 D．2或3【答案】D【分析】分BC=6，和AB=AC=6，兩種情況進行討論，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求解，本題考查了，等腰三角形三線合一，解題的關(guān)鍵是：分情況討論．【詳解】解：當(dāng)BC=6時，∵AD⊥BC，AB=AC，∴BD=1當(dāng)AB=AC=6時，BC=16?6?6=4，∵AD⊥BC，∴BD=1故選：D．【變式4-1】（23-24八年級·河北邢臺·期末）已知等腰△ABC，AD為BC邊上的高，且AD=12BC，則等腰△ABCA．45° B．75°或60° C．45°或75° D．以上都不對【答案】D【分析】分三種情況討論，先根據(jù)題意分別畫出圖形，當(dāng)AB=AC時，根據(jù)已知條件得出AD=BD=CD，從而得出底角的度數(shù)；當(dāng)AB=BC時，先求出∠ABD的度數(shù)，再根據(jù)AB=BC求出底角的度數(shù)，當(dāng)AB=BC時，求出底角．【詳解】解：①當(dāng)AB=AC時，如圖，則∠B=∠C；

∵AD為BC邊上的高，∴BD=CD，∵AD=1∴AD=BD=CD，∴∠DAB=∠B，∠C=∠DAC，∴∠DAB=∠B=∠C=∠DAC，而這四個角和為180°，∴底角為∠B=∠C=45°；②當(dāng)AB=BC時，如圖，

∵AD=1∴AD=1∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=75°，∴底角為75°；③當(dāng)AB=BC時，如圖，

∵AD=1∴AD=1∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠BCA=15°，∴底角為15°；故選：D．【點睛】此題考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意不要漏解．【變式4-2】（23-24八年級·黑龍江大慶·期中）等腰三角形的頂角是n°A．90°?n°2 B．90?n°【答案】C【分析】分兩種情況：當(dāng)高在等腰三角形內(nèi)時；當(dāng)高在等腰三角形外時，然后分別進行計算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)高在等腰三角形內(nèi)時，如圖：

在△ABC中，AB=AC，∠A=n°，BD⊥AC∵AB=AC，∠A=n°∴∠ABC=∠C=180∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=90°?∠C=n當(dāng)高在等腰三角形外時，如圖：

在△ABC中，AB=AC，∠A=n°，BD⊥AC∵AB=AC，∠A=n°∴∠C=180°?n°∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=90°?∠C=n綜上所述：若等腰三角形的頂角為n°，則它一腰上的高與底邊的夾角等于n故選：C【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級·河北廊坊·期末）已知△ABC是等腰三角形，BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．15°或90° B．75° C．15°或75° D．15°或75°或90°【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)；本題要分情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)來分析：①當(dāng)AD在三角形的內(nèi)部，②AD在三角形的外部以，③BC邊為等腰三角形的底邊三種情況．【詳解】解：如圖，分三種情況：①AB=BC，延長BD到點E，使DE=AD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠EDB，又BD=BD,∴△ADB≌△EDB,∴AB=EB,∠ABD=∠EBD,又AD=1∴AB=AE=BE,即△ABE是等邊三角形，∴∠BAE=60°,∴∠BAC=30°,∵AB=BC,∴∠BAC=1②AC=BC，同理可得∠ACD=30°,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB又∠ACD=30°=∠B+∠CAB，∴∠BAC=15°；③AC=BC，由等腰三角形的底邊上的高與底邊上中線，頂角的平分線重合知，點D為BC的中點，由題意知，AD=1∴△ABD，∴∠BAD=∠CAD=45°，∴∠BAC=90°，∴∠BAC的度數(shù)為90°或75°或15°，故選：D．【題型5與垂直平分線有關(guān)的討論】【例5】（23-24八年級·四川成都·期末）在△ABC中，AB=AC，過AB的中點D作AB的垂線，交直線AC于點E，若∠AED=58°，則∠B=°．【答案】74或16【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．分△ABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況討論即可．【詳解】解：分兩種情況：①如果△ABC是銳角三角形，如圖1，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠AED=58°，∴∠A=90°?∠AED=90°?58°=32°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°?∠A②如果△ABC是鈍角三角形，如圖2，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠AED=58°，∴∠BAC=∠ADE+∠AED=90°+58°=148°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=180°?∠A綜上所述，∠B的度數(shù)為74°或16°．故答案為：74或16．【變式5-1】（23-24八年級·浙江紹興·階段練習(xí)）已知線段AB的垂直平分線上有兩點E，F(xiàn)，直線EF交AB于點C，且∠AEC=70°，∠AFC=45°，則∠EAF=．【答案】25°或65°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ACE=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠FAC=45°,∠EAC=20°，當(dāng)點E，F(xiàn)在直線AB的同旁時；當(dāng)點E，F(xiàn)在直線AB的兩旁時，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵線段AB的垂直平分線上有兩點E，F(xiàn)，直線EF交AB于點C，∴∠ACE=90°，∵∠AEC=70°，∠AFC=45°，∴∠FAC=45°,∠EAC=20°，如圖1，當(dāng)點E，F(xiàn)在直線AB的同旁時，∠EAF=∠FAC?∠EAC=25°；如圖2，當(dāng)點E，F(xiàn)在直線AB的兩旁時，∠EAF=∠FAC+∠EAC=65°，綜上所述，∠EAF的度數(shù)為25°或65°，

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）在△ABC中，DF是AB的垂直平分線，交BC于D，EG是AC的垂直平分線，交BC于E，若∠DAE=20°，則∠BAC等于．【答案】80°或100°【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運用角的和差關(guān)系：∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC或∠DAE=∠BAC?∠BAD?∠CAE．分兩種情況討論：∠BAC為銳角，∠BAC為鈍角．先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出DA=DB，EC=EA，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再根據(jù)關(guān)系式∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC或∠DAE=∠BAC?∠BAD?∠CAE，即可求得∠BAC的度數(shù)．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠BAC為銳角時，∵DF是AB的垂直平分線，EG是AC的垂直平分線，∴DA=DB，EC=EA，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∵∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC，且∠DAE=20°，∴20°=∠B+∠C?∠BAC，即20°=(180°?∠BAC)?∠BAC，解得∠BAC=80°．②如圖，當(dāng)∠BAC為鈍角時，∵DF是線段AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，同理∠C=∠EAC，∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE=180°，∴∠DAB+∠EAC=1∴∠BAC=180°?80°=100°，故答案為：80°或100°【變式5-3】（23-24八年級·上海黃浦·期末）已知等腰△ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線交直線AC于點D，若∠BDC=48°，則∠BAC的度數(shù)為【答案】24°或66°或114°【分析】本題主要考查了等邊對等角，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分當(dāng)△ABC是銳角三角形時，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，三種情況畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，再根據(jù)等邊對等角得到∠BAD=∠ABD，再根據(jù)角度之間的關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)△ABC是銳角三角形時，且點D在線段AC上，∵點D在線段AB的垂直平分線上，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠BDC=∠A+∠ABD=48°，∴∠A=24°；如圖所示，當(dāng)△ABC是銳角三角形時，且點D在線段AC的延長線上，∵點D在線段AB的垂直平分線上，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠BDC+∠A+∠ABD=180°，∠BDC=48°∴∠A=180°?∠BDC如圖所示，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，點D在線段CA的延長線上，∵點D在線段AB的垂直平分線上，∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD=180°?∠BDC∴∠BAC=180°?∠BDA=114°；綜上所述，∠BAC的度數(shù)為24°或66°或114°．故答案為；24°或66°或114°．【題型6與動點有關(guān)的討論】【例6】（23-24八年級·重慶渝中·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC的中點，若動點P以2cm/秒的速度從點A出發(fā)沿A→B→A方向運動設(shè)運動時間為t秒，連接PQ，當(dāng)△APQ是等腰三角形時，則t的值為【答案】1或3/3或1【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．由等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC的中點，可求得AQ的長，然后∠A=60°，可得△APQ為等邊三角形，分析△APQ【詳解】解：∵等邊△ABC的邊長為4cm，點Q是AC∴AQ=1∴當(dāng)△APQ是等腰三角形時，可得三角形APQ為等邊三角形，∴AP=AQ=PQ，∵AQ=2，∴AP=2，∵動點P的速度為2cm∴當(dāng)P從A→B時，t=2÷2=1，當(dāng)P從B→A時，t=4+2故答案為：1或3．【變式6-1】（23-24八年級·陜西咸陽·期中）如圖，∠AOB=60°，C是BO延長線上一點，OC=12cm，動點M從點C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動，動點N從點O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動，如果點M、N同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為【答案】4或12【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由題意知，當(dāng)0<t≤6時，OM=12?2t；當(dāng)6<t時，OM=2t?12，ON=t，由△MON是等腰三角形，可知當(dāng)0<t≤6時，OM=ON，即12?2t=t，計算求解即可；當(dāng)6<t時，證明△MON是等邊三角形，則OM=ON，即2t?12=t，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)0<t≤6時，OM=12?2t；當(dāng)6<t時，OM=2t?12，ON=t，∵△MON是等腰三角形，∴當(dāng)0<t≤6時，OM=ON，即12?2t=t，解得，t=4，當(dāng)6<t時，△MON是等腰三角形，∴△MON是等邊三角形，∴OM=ON，即2t?12=t，解得，t=12，綜上所述，t的值為4或12，故答案為：4或12．【變式6-2】（23-24八年級·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，B是射線AD上動點，∠A=50°，若△ABC為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可能是．【答案】80°，65°或50°【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)；分情況討論：當(dāng)∠C是頂角時；當(dāng)∠C是底角，∠A是頂角時；當(dāng)∠C、∠A都是底角時；分別利用等腰三角形的兩個底角相等結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：當(dāng)∠C是頂角時，∠A=∠B=50°，∴∠C=180°?∠A?∠B=80°；當(dāng)∠C是底角，∠A是頂角時，∴∠C=180°?∠A當(dāng)∠C、∠A都是底角時，∴∠C=∠A=50°；綜上，∠C的度數(shù)可能是80°，65°或50°，故答案為：80°，65°或50°．【變式6-3】（23-24八年級·河北廊坊·期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ【答案】5.5或6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定；利用等腰三角形的性質(zhì)可分為：CQ=BC和BQ=CQ兩種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【詳解】①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時∶BQ=CQ,如圖1所示，

則∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=∴BC+CQ=11∴t=11÷2=5.5(秒)；②當(dāng)△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時∶CQ=BC,如圖2所示，

則BC+CQ=12cm∴t=12÷2=6(秒)．故答案為：5.5或6．【題型7與三角形形狀有關(guān)的討論】【例7】（23-24·上海·模擬預(yù)測）如果兩個不全等的等腰三角形的腰長相等、面積也相等，那么我們把這兩個等腰三角形稱為一對合同三角形．設(shè)一對合同三角形的底角分別為x°和y°，那么y=．（用x的代數(shù)式表示）【答案】90?x/?x+90【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意，兩個等腰三角形的腰長相等，面積也相等，則腰上的高相等，分兩種情況討論：這兩個三角形都是銳角或鈍角三角形；兩個三角形一個是銳角三角形，一個是鈍角三角形，分別求解即可獲得答案．【詳解】解：∵兩個等腰三角形的腰長相等，面積也相等，∴腰上的高相等，可分兩種情況討論：①當(dāng)這兩個三角形都是銳角或鈍角三角形時，如下圖，則有AB=AC=DF=DE，CG=FH，∠B=∠ACB=x°，∠E=∠DFE=y°，在Rt△ACG和RtAC=DFCG=FH∴Rt△ACG≌∴∠A=∠D，∠B=1即有y=x；此時兩個等腰三角形全等，不符合題意；②當(dāng)兩個三角形一個是銳角三角形，一個是鈍角三角形時，如下圖，則有AB=AC=DF=DE，CG=EH，∠B=∠ACB=x°，∠F=∠DEF=y°，在Rt△ACG和RtAC=DFCG=FH∴Rt△ACG≌∴∠CAG=∠D，∴∠CAG=∠B+∠ACB=2x°，∠D=180°?∠F+∠DEF∴2x°=180°?2y°，∴y=90?x，此時兩個等腰三角形不全等，符合題意．故答案為：90?x．【變式7-1】（23-24春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）若等腰三角形腰長為4，面積是4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為(

)A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°【答案】B

【分析】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等有關(guān)知識，先求出BD，再結(jié)合含30°的直角三角形等定理，得出結(jié)果；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，可求得頂角的鄰補角為30°，可求得其頂角，綜合得出結(jié)果．

【解答】

解：當(dāng)該三角形為銳角三角形時，如圖1，

過點B作BD⊥AC于D，

∵12×BD×4=4，

∴BD=2，

∵在Rt△ABD中，AB=2BD=4，

∴∠A=30°，即△ABC的頂角為30°；

當(dāng)該三角形為鈍角三角形時，如圖2，

過點B作BD⊥AC于D，

∵12×BD×4=4，

∴BD=2，

在Rt△ABD中，∵AB=2BD=4，

∴∠BAD=30°，

∴∠BAC=150°，即△ABC的頂角為150°；

綜上可知該三角形的頂角為30°或【變式7-2】（23-24春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）若等腰三角形的腰長為8，腰上的高為4，則此三角形的頂角是(

)A.30° B.150° C.30°

或150° D.30°或120°【答案】C

【分析】

本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，難點在于要分情況討論．作出圖形，然后分等腰三角形是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況討論求解．

【解答】

解：如圖1，∵腰長AB=8，高線BD=4，

∴∠A=30°，即頂角是30°，

如圖2，∵腰長AC=8，高線CD=4，

∴∠CAD=30°，

∴頂角∠BAC=180°?30°=150°，

所以，此三角形的頂角是30°或150°．

故選：C．【變式7-3】（23-24春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）從一個等腰三角形紙片的頂角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角等于(

)A.90° B.72° C.108° D.90°或108°【答案】D

【分析】

此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到幾組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得到∠BAC與∠B的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得頂角的度數(shù)．

【解答】

解：當(dāng)是等腰鈍角三角形時，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

設(shè)∠B=∠C=x，

∵AB=BD，AD=DC，

∴∠BAD=∠BDA，∠DAC=∠C，

∴∠ADB=2∠C，

∴∠BAC=3x，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5x=180°，

∴x=36°，

∴∠BAC=3x=108°，

當(dāng)是等腰直角三角形時，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵AD=BD，AD=DC，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，

∵∠B+∠C+∠BAD+DAC=180°，

∴∠B=45°，

∴∠BAC=90°，

故選：D．【題型8與構(gòu)造三角形有關(guān)的討論】【例8】（2024八年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點E滿足△OCE是等腰三角形，∠AEC的度數(shù)為．【答案】60°或105°或150°【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，用了分類討論思想．求出∠AOC，根據(jù)等腰得出三種情況，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：如圖，∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，①當(dāng)E在E1時，OE=CE∵∠AOC=∠OCE=30°，∴∠OEC=180°?30°?30°=120°，∴∠AEC=180°?∠OEC=60°；②當(dāng)E在E2點時，OC=OE則∠OEC=∠OCE=∴∠AEC=180°?∠OEC=105°；③當(dāng)E在E3時，OC=CE則∠OEC=∠AOC=30°∴∠AEC=180°?∠OEC=150°；故答案為：60°或105°或150°．【變式8-1】（23-24八年級·云南普洱·期末）如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點