高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第09章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)直線與圓的位置關(guān)系2016·全國(guó)卷Ⅱ·T4·5分圓與直線的位置關(guān)系數(shù)學(xué)運(yùn)算2017·全國(guó)卷Ⅱ·T9·5分雙曲線的漸近線與圓相交數(shù)學(xué)運(yùn)算2017·全國(guó)卷Ⅲ·T10·5分以橢圓頂點(diǎn)的線段為直徑的圓與直線相切數(shù)學(xué)運(yùn)算2015·全國(guó)卷Ⅱ·T7·5分求過(guò)三點(diǎn)的圓與y軸所交弦長(zhǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)也是最重要的知識(shí)之一，是高考的熱點(diǎn)，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，主要考查直線與圓位置關(guān)系的判斷或根據(jù)位置關(guān)系求參數(shù)的值.1．直線與圓的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.(2)兩種研究方法：①eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up7(聯(lián)立方程組消去xy),\s\do5(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交,Δ＝0?相切,Δ<0?相離))②eq\x(幾何法)eq\o(→,\s\up7(圓心到直線的距離為d),\s\do5(半徑為r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<r?相交，弦長(zhǎng),l＝2\r(r2－d2),d＝r?相切,d>r?相離))(3)圓的切線方程常用結(jié)論①過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.②過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解提醒：1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)對(duì)于圓的切線問(wèn)題，尤其是圓外一點(diǎn)引圓的切線，易忽視切線斜率k不存在的情形．(2)兩圓相切問(wèn)題易忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形．2．求圓的弦長(zhǎng)的常用方法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2－d2.(2)代數(shù)法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).注意：常用幾何法研究圓的弦的有關(guān)問(wèn)題．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件(2)過(guò)圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.()(3)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．()(4)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(5)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是()A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析：選C因?yàn)閳A心是(1,2)，所以將圓心坐標(biāo)代入各選項(xiàng)驗(yàn)證知選C．3．(教材習(xí)題改編)直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相切 B．直線過(guò)圓心C．直線不過(guò)圓心，但與圓相交 D．相離解析：選Bd＝eq\f(|－1－0＋1|,\r(12＋－12))＝0＜1＝r.直線過(guò)圓心．4．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離解析：選B兩圓的圓心距離為eq\r(17)，兩圓的半徑之差為1，之和為5，而1<eq\r(17)<5，所以?xún)蓤A相交．直線與圓的位置關(guān)系[明技法]判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的方法eq\x(幾何法)→eq\x(利用d與r的關(guān)系)eq\x(代數(shù)法)→eq\x(聯(lián)立方程后利用Δ判斷)eq\x(\a\al(點(diǎn)與圓的,位置關(guān)系法))→eq\x(若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交)注意：上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題．[提能力]【典例】(1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定解析：選A方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋y－12＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因?yàn)棣ぃ?6m2＋20>0，所以直線l方法二由題意知，圓心(0,1)到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，故直線l與圓相交．方法三直線l：mx－y＋1－m＝0過(guò)定點(diǎn)(1,1)，因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓相交．(2)圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是________.解析：方法一將直線方程代入圓方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．方法二圓心(0,0)到直線y＝kx＋2的距離d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是d＞1，即eq\f(2,\r(k2＋1))>1，解得k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．答案：k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))[刷好題]1．(2018·永州模擬)“m＝0”是“直線x＋y－m＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：選B若m＝0，則圓(x－1)2＋(y－1)2＝2的圓心(1,1)到直線x＋y＝0的距離為eq\r(2)，等于半徑，此時(shí)圓與直線相切，充分性成立；若直線x＋y－m＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，則圓心到直線的距離為eq\f(|1＋1－m|,\r(2))＝eq\r(2)，解得m＝0或4，故必要性不成立．2．(2018·黃山屯溪一中月考)若曲線x2＋y2－6x＝0(y＞0)與直線y＝k(x＋2)有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))解析：選C∵x2＋y2－6x＝0(y＞0)可化為(x－3)2＋y2＝9(y＞0)，∴曲線表示圓心為(3,0)，半徑為3的上半圓，它與直線y＝k(x＋2)有公共點(diǎn)的充要條件是：圓心(3,0)到直線y＝k(x＋2)的距離d≤3，且k＞0，∴eq\f(|3k－0＋2k|,\r(k2＋1))≤3，且k＞0，解得0＜k≤eq\f(3,4).故選C．圓與圓位置關(guān)系[析考情]圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用主要題型有給出兩圓的方程判定位置關(guān)系、公切線的條數(shù)，求參數(shù)的范圍、公共弦長(zhǎng)等，以選擇題、填空題為主，屬中檔題．[提能力]【典例】已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為()A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)解析：選C由圓C1與圓C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根據(jù)基本(均值)不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．故選C．[母題變式1]把本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值．解析：由C1與C2內(nèi)切得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，故ab的最大值為eq\f(1,4).[母題變式2]把本例條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?，求公共弦所在的直線方程．解：由題意得，把圓C1，圓C2的方程都化為一般方程．圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①圓C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0為所求公共弦所在直線方程[母題變式3]將本例條件“外切”變?yōu)椤叭魞蓤A有四條公切線”，試判斷直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置關(guān)系．解：由兩圓存在四條切線，故兩圓外離，故eq\r(a＋b2＋－2＋22)>3.∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.又圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))>1，∴直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1相離．[悟技法](1)判斷兩圓位置關(guān)系的方法(2)兩圓公共弦長(zhǎng)的求法[刷好題]1．(2018·太原一模)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：選C圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．從而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5，由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2即1＋eq\r(25－m)＝5，m＝9.故選C．2．(2018·湖南六校聯(lián)考)已知圓C1：x2＋y2－4x＋2y＋5－a2＝0與圓C2：x2＋y2－(2b－10)x－2by－10b＋16＝0相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，則b＝()A．eq\f(5,3) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)解析：選A兩圓公共弦AB所在的直線方程為(2b－14)x＋(2＋2b)y＋5－a2＋10b－16＝0，圓C1的圓心C1(2，－1)，因?yàn)閤eq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，所以|OA|＝|OB|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，故OC1⊥AB，kOC1·kAB＝－1，得eq\f(－1,2)×eq\f(14－2b,2＋2b)＝－1，得b＝eq\f(5,3).選A．直線與圓位置關(guān)系的綜合[析考情]直線與圓的綜合問(wèn)題，特別是直線與圓相交的有關(guān)問(wèn)題，是高考中的一個(gè)命題熱點(diǎn)，以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也以解答題的形式考查，難度中低．[提能力]命題點(diǎn)1：直線與圓相切問(wèn)題【典例1】(2015·山東卷)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)解析：選D圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3,2)，半徑r＝1.(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，－3).如圖所示，反射光線一定過(guò)點(diǎn)(2，－3)且斜率k存在，∴反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光線與已知圓相切，∴eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋－12))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3).命題點(diǎn)2：直線與圓相交問(wèn)題【典例2】(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解：(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1.解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由題設(shè)可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程為y＝x＋1.故圓心C在l上，所以|MN|＝2.命題點(diǎn)3：求弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例3】(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R＝2eq\r(3)，|AB|＝2eq\r(3)，所以|OM|＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，由eq\b