模型04一線三等角模型(原卷版+解析)

模型介紹模型介紹一線三等角：兩個三角形中相等的兩個角落在同一條直線上，另外兩條邊所構成的角與這兩個角相等，這三個相等的角落在同一直線上，故稱“一線三等角”如下圖所示，一線三等角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角類型一：一線三直角模型如圖，若∠1、∠2、∠3都為直角，則有△ACP∽△BPD．類型二：一線三銳角與一線三鈍角模型如圖，若∠1、∠2、∠3都為銳角，則有△ACP∽△BPD．證明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD如圖，若∠1、∠2、∠3都為鈍角，則有△ACP∽△BPD．（證明同銳角）R【解題關鍵】構造相似或全等三角形.例題例題精講考點一：一線三等角直角模型【例1】.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，則△BCD的面積為cm2．變式訓練【變式1-1】．如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米，則△CDE的面積等于平方厘米．【變式1-2】．如圖，一塊含45°的三角板的一個頂點A與矩形ABCD的頂點重合，直角頂點E落在邊BC上，另一頂點F恰好落在邊CD的中點處，若BC＝12，則AB的長為．【變式1-3】．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，則B，C兩點的坐標分別是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，3），（﹣，4） C．（，），（﹣，4） D．（，），（﹣，4）【變式1-4】．如圖，在平面直角坐標系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過A，B兩點．若點A的坐標為（n，1），則k的值為（）A． B． C． D．考點二：一線三等角銳角或鈍角模型【例2】．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB＝9，BD＝3，則CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4變式訓練【變式2-1】．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，CD＝3BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為12，則△ACF與△BDE的面積之和為．【變式2-2】．如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，以O為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO＝PD，那么AP的長是．【變式2-3】．如圖1，在正方形ABCD中，E是邊BC的中點，F是CD上一點，已知∠AEF＝90°．（1）求證：＝；（2）平行四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，F是邊CD上一點，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如圖2，若∠AFE＝45°，求的值．

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，則DE的長是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內點F的位置，連接AF，若，則CE＝（）A． B． C． D．3.如圖，已知l1∥l2∥lA．13B.617C．554．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D、E、F分別為邊AC、AB、CB上的點，且△DEF為等邊三角形，若AD＝CD．則的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝4，P是邊AB上一點，BP＝，D是邊BC上一點（點D不與端點重合），作∠PDQ＝60°，DQ交邊AC于點Q．若CQ＝a，滿足條件的點D有且只有一個，則a的值為（）A． B． C．2 D．36．△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內．若求五邊形DECHF的面積，則只需知道（）A．△ABC的面積 B．△BFG的面積 C．四邊形AFGH的周長 D．△BDE的面積7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為AB邊上一點，點F在BC邊上，且BF＝1，將點E繞著點F順時針旋轉90°得到點G，連接DG，則DG的長的最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．8．設O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝4x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值為（）A． B． C． D．19．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點D作DE⊥AD，交AB于點E，則EB的長為．10．如圖，在平面直角坐標系中，點A（6，0），點B（0，2），點P是直線y＝﹣x﹣1上一點，且∠ABP＝45°，則點P的坐標為．11．已知反比例函數y＝，經過點E（3，4），現請你在反比例函數y＝上找出一點P，使∠POE＝45°，則此點P的坐標為．12．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是BC邊上一點，△ADE是等邊三角形，若，＝．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．

14．如圖所示，邊長為2的等邊三角形ABC中，D點在邊BC上運動（不與B，C重合），點E在邊AB的延長線上，點F在邊AC的延長線上，AD＝DE＝DF．（1）若∠AED＝30°，則∠ADB＝°．（2）求證：△BED≌△CDF．（3）點D在BC邊上從B至C的運動過程中，△BED周長變化規(guī)律為．A．不變B．一直變小C．先變大后變小D．先變小后變大15．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．（1）求證：△ABE∽△ECM；（2）當線段BE為何值時，線段AM最短，最短是多少？（3）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．16．如圖①，正方形ABCD中，點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿A→B→C→D→A勻速運動，同時動點Q以相同的速度在x軸正半軸上運動，當點P到達A點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．（1）當P點在邊AB上運動時點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；（3）在（1）中，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式并寫出自變量的取值范圍．（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

17．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+（1﹣m）x﹣m（m＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．（1）求線段AB的長（用含m的代數式表示）；（2）當2≤m≤4時，拋物線過點（a，b）和（a+5，b），求a的取值范圍；（3）如圖，在y軸上有一點P（0，3），當∠APB＝∠ABC時，求m的值．模型介紹模型介紹一線三等角：兩個三角形中相等的兩個角落在同一條直線上，另外兩條邊所構成的角與這兩個角相等，這三個相等的角落在同一直線上，故稱“一線三等角”如下圖所示，一線三等角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角類型一：一線三直角模型如圖，若∠1、∠2、∠3都為直角，則有△ACP∽△BPD．類型二：一線三銳角與一線三鈍角模型如圖，若∠1、∠2、∠3都為銳角，則有△ACP∽△BPD．證明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD如圖，若∠1、∠2、∠3都為鈍角，則有△ACP∽△BPD．（證明同銳角）【解題關鍵】構造相似或全等三角形.例題精講例題精講考點一：一線三等角直角模型【例1】.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，則△BCD的面積為8cm2．解：過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠HCD+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠HCD，在△ABC和△CHD中，，∴△ABC≌△CHD（AAS），∴DH＝BC＝4，∴△BCD的面積＝×BC×DH＝×4×4＝8（cm2），故答案為：8．變式訓練【變式1-1】．如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7平方厘米和11平方厘米，則△CDE的面積等于平方厘米．解：過E作EH⊥CD于H，如圖，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，又∵∠EHD＝∠DAG＝90°，ED＝DG，∴△EDH≌△DGA，∴EH＝AG，∵SABCD＝7cm2，SDGFE＝11cm2，∴CD＝AD＝cm，DG＝，∴在Rt△ADG中，AG＝，∴S△CDE＝CD×EH＝CD×AG＝××2＝cm2，故答案為：．【變式1-2】．如圖，一塊含45°的三角板的一個頂點A與矩形ABCD的頂點重合，直角頂點E落在邊BC上，另一頂點F恰好落在邊CD的中點處，若BC＝12，則AB的長為8．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，BE＝CF，∵點F是CD的中點，∴CF＝CD，∴BE＝CF＝AB，∵BE+CE＝BC＝12，∴AB+AB＝12，∴AB＝8，故答案為：8．【變式1-3】．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是（﹣2，1），點C的縱坐標是4，則B，C兩點的坐標分別是（）A．（，3），（﹣，4） B．（，3），（﹣，4） C．（，），（﹣，4） D．（，），（﹣，4）解：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F．∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE．∵在△ACF和△OBE中，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3．∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE．∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴＝，即＝，∴OE＝，即點B（，3），∴AF＝OE＝，∴點C的橫坐標為：﹣（2﹣）＝﹣，∴點C（﹣，4）．故選：B．【變式1-4】．如圖，在平面直角坐標系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過A，B兩點．若點A的坐標為（n，1），則k的值為（）A． B． C． D．解如圖：過A作AC⊥y軸，垂足為C，作BD⊥AC，垂足為D∵∠BAO＝90°∴∠OAC+∠BAD＝90°且∠BAD+∠ABD＝90°∴∠ABD＝∠CAO且∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB∴△ACO≌△DAB∴AD＝CO，BD＝AC∵A（n，1）（n＞0）∴OC＝AD＝1，AC＝BD＝n．∴B（1+n，1﹣n）∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過A，B兩點∴n×1＝（1+n）（1﹣n）∴n＝∴k＝1×n＝故選：A．考點二：一線三等角銳角或鈍角模型【例2】．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB＝9，BD＝3，則CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4解：如圖，∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝120°，∠ADB+∠FDC＝120°∴∠BAD＝∠FDC又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△CDF，∴AB：BD＝CD：CF，即9：3＝（9﹣3）：CF，∴CF＝2．故選：B．變式訓練【變式2-1】．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，CD＝3BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為12，則△ACF與△BDE的面積之和為3．解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠EBA+∠BAE，∠BAC＝∠FAC+∠BAE，∴∠EBA＝∠FAC，∠AEB＝∠CFA，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）．∴△ABE的面積＝△ACF的面積，∵CD＝3BD，∴BC＝4BD，∴△ABD的面積＝△ABC的面積＝×12＝3，∴△ACF與△BDE的面積之和＝△ABD的面積＝3；故答案為：3．【變式2-2】．如圖，在等邊△ABC中，AC＝9，點O在AC上，且AO＝3，點P是AB上一動點，連接OP，以O為圓心，OP長為半徑畫弧交BC于點D，連接PD，如果PO＝PD，那么AP的長是6．解：連接OD，∵PO＝PD，∴OP＝DP＝OD，∴∠DPO＝60°，∵等邊△ABC，∴∠A＝∠B＝60°，AC＝AB＝9，∴∠OPA＝∠PDB＝∠DPA﹣60°，∴△OPA≌△PDB，∵AO＝3，∴AO＝PB＝3，∴AP＝6．故答案是：6．【變式2-3】．如圖1，在正方形ABCD中，E是邊BC的中點，F是CD上一點，已知∠AEF＝90°．（1）求證：＝；（2）平行四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，F是邊CD上一點，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如圖2，若∠AFE＝45°，求的值．（1）證明：如圖1中，設正方形的邊長為2a．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∴△ABE∽△ECF，∴＝∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，∴CF＝a，DF＝CD﹣CF＝a，∴＝＝．（2）如圖2中，在AD上取一點H，使得FH＝DF．∵∠AEF＝90°，∠AFE＝∠D＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝EF，∵FH＝FD，∴∠FHD＝∠D＝45°，∴∠AHF＝135°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝135°，∴∠AHF＝∠C，∵∠AFC＝∠D+∠FAH＝∠EFC+∠AFE，∠AFE＝∠D，∴∠HAF＝∠EFC，∴△AHF∽△FCE，∴EC：HF＝EF：AF＝1：＝：2，∴＝．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，則DE的長是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD與△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故選：C．2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，，E為CD邊上一點，將△BCE沿BE折疊，使得C落到矩形內點F的位置，連接AF，若，則CE＝（）A． B． C． D．解：過點F作MN∥AD，交AB于點M，交CD于點N，則MN⊥AB，MN⊥CD，由折疊可得，EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°，在Rt△AMF中，tan∠BAF＝，設FM＝x，則AM＝2x，BM＝4﹣2x，在Rt△BFM中，由勾股定理可得，，解得x＝1或x＝（舍去），∴FM＝1，AM＝BM＝2，FN＝MN﹣FM＝BC﹣FM＝﹣1，∵∠EFN+∠FEN＝∠EFN+∠BFM＝90°，∴∠FEN＝∠BFM，又∵∠FNE＝∠BMF，∴△EFN∽△FBM，∴，即，解得EF＝．∴EC＝．故選：C．3.如圖，已知l1∥l2∥lA．13B.617C．55解：如圖，過點A作AD⊥l1于點D，過點B作BE⊥l1于點B，設l1，l∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°∴△ACD≌△CBE∴CD=BE=1在Rt△ACD中AC=AD在等腰直角△ABC中AB=2AC=2×5=104．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D、E、F分別為邊AC、AB、CB上的點，且△DEF為等邊三角形，若AD＝CD．則的值為（）A． B． C． D．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，設AC＝1，則AB＝2AC＝2，∴BC＝＝，∵AD＝CD，AD+CD＝1，∴AD＝，CD＝，過點D作DH⊥AB于H點，∴∠ADH＝90°﹣∠A＝30°，∴AH＝AD＝，DH＝，∵△DEF是等邊三角形，∴DF＝DE，∠C＝∠DHE＝90°，∠FDE＝60°，∴∠CFD+∠CDF＝∠CDF+∠HDE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴∠CFD＝∠HDE，∵∠FCD＝∠DHE＝90°，DF＝ED，∴△DCF≌△EHD（AAS），∴HE＝CD＝，∴BE＝2﹣，AE＝，∴，故選：D．5．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝4，P是邊AB上一點，BP＝，D是邊BC上一點（點D不與端點重合），作∠PDQ＝60°，DQ交邊AC于點Q．若CQ＝a，滿足條件的點D有且只有一個，則a的值為（）A． B． C．2 D．3解：∵△ABC是等邊三角形，AB＝4，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，∵∠BPD+∠B＝∠QDC+∠PDQ，∠B＝∠PDQ＝60°，∴∠BPD＝∠CDQ，∴△BDP～CQD，∴，∵BC＝4，BP＝，CQ＝a，∴，∴2BD2﹣8BD+3a＝0，∵滿足條件的點D有且只有一個，∴方程2BD2﹣8BD+3a＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝64﹣4×2×3a＝0，解得：a＝，故選：B．6．△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內．若求五邊形DECHF的面積，則只需知道（）A．△ABC的面積 B．△BFG的面積 C．四邊形AFGH的周長 D．△BDE的面積解：∵△GFH為等邊三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，在△AFH和△CHG中，，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴S△AFH＝S△CGH，同理可求S△BGF＝S△AFH，∴S△AFH＝（S△ABC﹣S△GFH），∵△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，∴S△BDE＝S△FGH，∴S△BDE＝S△ABC﹣3S△AFH，∴五邊形DECHF的面積＝S△ABC﹣S△AFH﹣S△BDE＝2S△AFH＝2S△BFG，∴知道△BFG的面積可求五邊形DECHF的面積，故選：B．7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為AB邊上一點，點F在BC邊上，且BF＝1，將點E繞著點F順時針旋轉90°得到點G，連接DG，則DG的長的最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．解：過點G作GH⊥BC，垂足為H，∴∠GHF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴∠B＝∠GHF＝90°，由旋轉得：EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EFB+∠GFH＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠GFH，∴△EBF≌△FHG（AAS），∴BF＝GH＝1，∴點G在與BC平行且與BC的距離為1的直線上，∴當點G在CD邊上時，DG最小且DG＝4﹣1＝3，∴DG的最小值為3，故選：C．8．設O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝4x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值為（）A． B． C． D．1解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式為y＝4x2，則AE＝4a2，BF＝4b2，作AH⊥BF于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設點D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴＝，即＝，化簡得：m＝4ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB，∴＝，即＝，化簡得ab＝，則m＝4ab＝，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，），∵∠DCO＝90°，DO＝，∴點C是在以DO為直徑的圓上運動，∴當點C到y(tǒng)軸距離為DO＝時，點C到y(tǒng)軸的距離最大，故選：B．9．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點D作DE⊥AD，交AB于點E，則EB的長為．解：過點E作EM⊥BC，垂足為M，∴∠DME＝∠BME＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠CDA+∠EDM＝90°，∴∠CDA＝∠DEM，∵點D是BC的中點，∴CD＝BD＝BC＝2，∵∠C＝∠DME＝90°，∴△ACD∽△DME，∴＝＝，∴設EM＝2x，則DM＝3x，∵∠BME＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BME∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BM＝x，∵BD＝2，∴DM+BM＝2，∴3x+x＝2，∴x＝，∴EM＝，BM＝，∴BE＝＝＝，故答案為：．10．如圖，在平面直角坐標系中，點A（6，0），點B（0，2），點P是直線y＝﹣x﹣1上一點，且∠ABP＝45°，則點P的坐標為（3，﹣4）．解：將線段BA繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，∵B（0，2），A（6，0），∴D（﹣2，﹣4），取AD的中點K（2，﹣2），直線BK與直線y＝﹣x﹣1的交點即為點P．設直線BK的解析式為y＝kx+b，把B和K的坐標代入得：，解得：k＝﹣2，b＝2，則直線BK的解析式是y＝﹣2x+2，由，解得：，∴點P坐標為（3，﹣4），故答案為：（3，﹣4）．11．已知反比例函數y＝，經過點E（3，4），現請你在反比例函數y＝上找出一點P，使∠POE＝45°，則此點P的坐標為（2，）．解：方法一、過點E作EA⊥x軸于點A，過點P作PB⊥x軸于點B，如圖所示．∵點E（3，4）在函數y＝的圖象上，∴k＝3×4＝12，∴設點P的坐標為（n，），則點A（3，0），點B（n，0），S四邊形OBPE＝S△OAE+S梯形PBAE＝|k|+（PB+EA）?AB＝6+（+4）（n﹣3）＝2n﹣+6．S△OEP＝S四邊形OBPE﹣S△OBP＝2n﹣+6﹣|k|＝2n﹣．由兩點間的距離公式可知：OE＝＝5，OP＝，S△OEP＝OE?OP?sin∠EOP＝＝2n﹣，即7n4﹣576n2﹣1008＝0，解得：n2＝84或n2＝﹣84（舍去），∴n1＝2，n2＝﹣2（舍去）．∴點P的坐標為（2，）；方法二、如圖，過點E作EF⊥OE交OP于點F，過點E作EN⊥y軸，垂足為N，過點F作FM⊥NE于點M，∴∠ONE＝∠EMF＝90°，∴∠NOE+∠OEN＝90°，∵∠OEF＝90°，∴∠OEN+∠FEM＝90°，∴∠NOE＝∠MEF，若∠POE＝45°，則OE＝EF，在△ONE和△MEF中，∵，∴△ONE≌△MEF（AAS），∴EM＝ON＝4、MF＝NE＝3，則點F的坐標為（7，1），∴直線OF的解析式為y＝x，由，解得x＝2或x＝﹣2（舍），當x＝2時，y＝＝＝＝，即點P（2，），故答案為：（2，）．12．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是BC邊上一點，△ADE是等邊三角形，若，＝．解：如圖：作∠BAM＝∠CDN＝30°，交CB的延長線于點，交BC的延長線于點N，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABM＝∠DCN＝90°，∴∠M＝90°﹣∠BAM＝60°，∠N＝90°﹣∠CDN＝60°，∴∠MAE+∠AEM＝180°﹣∠M＝120°，∵△AED是等邊三角形，∴∠AED＝60°，AE＝DE，∴∠AEM+∠DEN＝180°﹣∠AED＝120°，∴∠MAE＝∠DEN，∵∠M＝∠N＝60°，∴△AME≌△END（AAS），∴AM＝EN，ME＝DN，∵，∴設AB＝n，CD＝m，在Rt△AMB中，BM＝＝＝n，AM＝＝＝n，∴AM＝EN＝n，在Rt△DCN中，CN＝＝＝m，DN＝＝＝m，∴ME＝DN＝m，∴CE＝EN﹣CN＝n﹣m，BE＝EM﹣BM＝m﹣n，∴＝＝＝，∴＝，故答案為：．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．14．如圖所示，邊長為2的等邊三角形ABC中，D點在邊BC上運動（不與B，C重合），點E在邊AB的延長線上，點F在邊AC的延長線上，AD＝DE＝DF．（1）若∠AED＝30°，則∠ADB＝90°．（2）求證：△BED≌△CDF．（3）點D在BC邊上從B至C的運動過程中，△BED周長變化規(guī)律為D．A．不變B．一直變小C．先變大后變小D．先變小后變大解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝DE∴∠DAE＝∠DEA＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝90°，故答案為：90°；（2）∵AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DEA+∠DFA＝60°，∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，∴∠EDB＝∠DFA，∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD（AAS）（3）∵△BDE≌△CFD，∴BD＝CF，BE＝CD，∴△BED周長＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD＝2+AD，∴點D在BC邊上從B至C的運動過程中，∴AD的長先變小后變大，∴△BED周長先變小后變大，故選D15．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．（1）求證：△ABE∽△ECM；（2）當線段BE為何值時，線段AM最短，最短是多少？（3）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：設BE＝x，又∵△ABE∽△ECM，∴＝，即：＝，∴CM＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，∴AM＝AC﹣CM＝（x﹣3）2+，∴當x＝3時，AM最短為．（3）解：在△DEF運動過程中，重疊部分能成等腰三角形．理由如下：（i）當AE＝EM時，則△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1；（ii）當AM＝EM時，則∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，即∠CAB＝∠CEA，∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴＝，∴CE＝＝，∴BE＝6﹣＝；（iii）當AE＝AM時，∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；∴BE＝1或．16．如圖①，正方形ABCD中，點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿A→B→C→D→A勻速運動，同時動點Q以相同的速度在x軸正半軸上運動，當點P到達A點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．（1）當P點在邊AB上運動時點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；（3）在（1）中，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式并寫出自變量的取值范圍．（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．解：（1）如圖①，過B作BF⊥OA于F，∵A（0，1