安徽省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

高二數(shù)學(xué)試題考生注意：1、答題前、考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再求交集.【詳解】,則.則.故選：A.2.某學(xué)校高二某班向陽學(xué)習(xí)小組8位同學(xué)在一次考試中的物理成績?nèi)缦拢?5，45，62，78，53，83，74，88，則該小組本次考試物理成績的第60百分位數(shù)為（）A.53 B.74 C.78 D.83【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合百分位數(shù)的計算方法，即可求解.【詳解】將8位同學(xué)考試的物理成績從小到大排列：，由，所以數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故選：C.3.已知，則“”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用充分，必要條件知識，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性可解.【詳解】,則，且在單調(diào)遞增.故.反過來，如果，則,可以為負(fù)數(shù).推不出.故“”是的充分不必要條件.故選：Ａ．4.已知命題，為假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為不等式在x∈1,+∞上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式在x∈【詳解】由命題，為假命題，可得命題，為真命題，即不等式在x∈1,+即在x∈1,+令，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，即時，等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.5.已知平面向量滿足，且在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式求出，再由夾角公式求解.【詳解】因為，在上的投影向量為，所以，所以，所以，由，可知.故選：B6.如圖，在正三棱柱中，分別為棱的中點，，則異面直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用中位線性質(zhì)，找出異面直線所成角，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】如圖，取中點，連接.則，且，則四邊形為平行四邊形，則.由圖則異面直線所成角為或其補(bǔ)角，中，，，.由余弦定理可知.異面直線所成角的余弦值為.故選：D.7.已知是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在定義域內(nèi)，保證兩段都是減函數(shù)，在1附近還要一直減.列不等式求解即可.【詳解】根據(jù)題意保證兩段都是減函數(shù)，在1附近還要一直減.可得，解得.故選：C.8已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于都為正數(shù)，可用作除法，結(jié)合基本不等式和對數(shù)性質(zhì)比較大小.【詳解】，即.,即.綜上知道.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的虛部為 B.C. D.為純虛數(shù)【答案】CD【解析】【分析】先將化簡成，再分別比對解出答案即可.【詳解】對于A，因為，所以的虛部為，故選項A錯誤；對于B，因為，故選項B錯誤；對于C，，故選項C正確；對于D，為純虛數(shù)，故選項D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)當(dāng)時，取得最大值2，且與直線最近的一個零點為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到D.若為奇函數(shù)，則【答案】AC【解析】【分析】先化簡，當(dāng)時取得最大值2，求出.與直線最近的一個零點為，求出，繼而求出.則可求.然后算出最小正周期，單調(diào)增區(qū)間，對稱中心，結(jié)合圖象變換，逐項驗證即可.【詳解】根據(jù)題意，化簡，當(dāng)時取得最大值2，則與直線最近的一個零點為，則，則，則.則.當(dāng)時取得最大值，則，，則，則，則的最小正周期為，A正確；令則則的單調(diào)遞增區(qū)間為故B錯誤;的圖象向右平移個單位長度得到,故C正確；，由于為奇函數(shù)，則令，則.故D錯誤.故選：AC.11.已知定義域為的函數(shù)為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.的圖象關(guān)于點中心對稱 B.為奇函數(shù)C.是周期為4的函數(shù) D.【答案】ACD【解析】【分析】運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)和對稱性得到原函數(shù)的周期性，借助賦值可解.【詳解】為奇函數(shù)，得到，向右平移1個單位得到，則的圖象關(guān)于點1,0中心對稱,則A正確.則，的圖象關(guān)于直線對稱,則，則,則，則是周期為4的函數(shù).則C正確.令，則由，知，則f1=0..故D正確.前面式子推不出，故B錯誤.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量滿足，，且，則______．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程求得，得到，結(jié)合向量模的計算公式，即可求解.【詳解】由向量滿足，因為，可得，解得，即，所以.故答案為：.13.小耿與小吳參與某個答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會，小吳有1道題不會，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會答的概率為__________【答案】##0.56【解析】【分析】小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況.運(yùn)用獨(dú)立事件概率乘法公式分別求出概率，再相加即可.【詳解】小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況，小耿會小吳不會和小吳會小耿不會.則小耿與小吳恰有1人會答的概率為.故答案為：.14.已知一個圓臺的側(cè)面積為，下底面半徑比上底面半徑大1，母線與下底面所成角的正切值為7，則該圓臺的外接球（圓臺的上、下底面圓周上的點均在球面上）的體積為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為.構(gòu)造方程組，先求圓臺的上底面半徑、下底面半徑和高，再求圓臺外接球的半徑，進(jìn)而求出體積即可.【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為.因為母線與下底面所成角的正切值為7，所以.又因為.則，圓臺的側(cè)面積公式為，已知側(cè)面積為，所以.則.又因為,則.設(shè)圓臺外接球的半徑為，球心到上底面的距離為.則，，解得.根據(jù)公式，求出外接球的體積公式為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.某校為促進(jìn)學(xué)生對地震知識及避震自救知識的學(xué)習(xí)，組織了《地震知識及避震自救知識》競賽活動，對所有學(xué)生的競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，制成如圖所示的頻率分布直方圖（各區(qū)間分別為．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次競賽的平均成績；（每組數(shù)據(jù)用所在區(qū)間的中點值作代表）（2）按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從競賽成績在和內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在內(nèi)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用頻率之和為1，求出m,再用平均值計算公式算出平均值即可；（2）先按照分層抽樣確定和內(nèi)的學(xué)生人生，再結(jié)合列舉法，用古典概型求解概率即可.【小問1詳解】頻率之和為1,則，解得.則,則平均分成績?yōu)?【小問2詳解】根據(jù)分層抽樣，知道和內(nèi)的學(xué)生比為.則抽取的5人中有2個來自層，設(shè)為．3個來自層，設(shè)為.再從這5人中隨機(jī)抽取2人,總共有10種可能，分別為:.這2人成績都在內(nèi)的有,共3種.故所求概率為.16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，向，（1）求；（2）若，求的面積的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積公式，再用正弦定理邊角互化，最后用余弦定理計算即可；（2）用第一問的結(jié)論，結(jié)合基本不等式可解.【小問1詳解】即，由正弦定理角化邊得，即，則,由于,則.【小問2詳解】，，則，即，由不等式知道，（當(dāng)且僅當(dāng)取最值），即.由三角形面積公式知道，（當(dāng)且僅當(dāng)取最值）.故的面積的最大值為.17.已知（1）求的值；（2）已知，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用兩角差正弦展開，平方，得到，聯(lián)立求出，再求和即可.（2）運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求出，再運(yùn)用兩角和的余弦公式求出，進(jìn)而得到.【小問1詳解】，運(yùn)用差角公式展開，得，化簡得，，兩邊平方，即，則，由于，則.則.，聯(lián)立解得，則【小問2詳解】，則，..由于，，則，則.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，分別為棱的中點，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由中位線可得線線平行，再由線面平行判定定理得線面平行，由面面平行判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的大小即可.【小問1詳解】連接，如圖，由分別為棱的中點，可得，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為平面平面，是兩平面的交線，平面，所以平面，又平面，所以，又，以方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，即，由圖知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的大小為.19.已知是指數(shù)函數(shù)，且過點是定義域為的奇函數(shù)（1）求值；（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先運(yùn)用待定系數(shù)法求出指數(shù)函數(shù)解析式，再用奇函數(shù)性質(zhì)求出；（2）將不等式問題運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為，再考慮的單調(diào)性，脫去括號，后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值即可；（3）將零點問題轉(zhuǎn)化為有兩個不同根，運(yùn)用奇函數(shù)性質(zhì)脫括號，有兩個不同根即可,再用換元法，轉(zhuǎn)化為二次方程的根的問題即可.【小問1詳解】設(shè)，函數(shù)過，代入，即，解得，則.定義域為R的奇函數(shù)，則，解得，則，由于，解得