2024-2025學(xué)年廣西南寧三中五象校區(qū)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣西南寧三中五象校區(qū)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|log2(x+1)≤2}，B={?3,?1,2,5}，則A∩B=A.{?3,?1} B.{?1,2} C.{2} D.{2,5}2.已知兩條直線l1：ax+4y?1=0，l2：x+ay+2=0，則“a=2”是“l(fā)1//A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知直線l傾斜角的余弦值為?55，且經(jīng)過點(diǎn)(2,1)，則直線l的方程為A.2x+y?5=0 B.2x?y?3=0 C.x?2y=0 D.x+2y?4=04.已知向量a，b的夾角為2π3，且|a|=5，|b|=4，則a在A.?38b B.?58b5.已知函數(shù)為f(x)=?x2?2ax?a,x<0,ex+lnA.(?∞,0] B.[?1,0] C.[?1,1] D.[0,+∞)6.已知a=20.1，b=log52，A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若B=π3，b2=9A.32 B.2 C.7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。8.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是(

)A.極差是4B.眾數(shù)小于平均數(shù)C.方差是1.8D.數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為49.已知a>0，b>0，且a+b=1，則(

)A.ab≥14 B.a2+b210.A.三棱錐B1?A1D1P的體積為定值

B.直線B1E//平面A1BD

C.當(dāng)A1P⊥AC1時(shí)，A111.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a與b的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

．12.已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，則sin(α+β)=13.已知函數(shù)f(x)=cosωx?1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題13分)

某校為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進(jìn)行測評打分.現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名學(xué)生的成績(滿分為100分)，按分?jǐn)?shù)分為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求m的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；

(2)若認(rèn)定評分在[80,90)內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)愛好者”，評分在[90,100]內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)交流會(huì)，大會(huì)上需要從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動(dòng)愛好者”和“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”各1人的概率．15.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2．

(1)求證：平面PAC⊥平面PDC；

(2)求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax?b1+x2是定義在[?1,1]上的奇函數(shù)，且f(1)=?1．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷并證明f(x)在[?1,1]上的單調(diào)性；

(3)解不等式17.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a,b,c,a?ca+b=sinA?sinBsinC．

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圓的面積為12π，且18.(本小題17分)

如下圖，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AC中點(diǎn)，E、F分別是BA、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF//AC；將△BEF沿EF折起，將點(diǎn)B折至點(diǎn)P的位置，得到四棱錐；

(1)求證：EF⊥PC；

(2)若BE=2AE，二面角P?EF?C是直二面角，求二面角P?CE?F的正切值；

(3)當(dāng)PD⊥AE時(shí)，求直線PE與平面ABC所成角的正弦值的取值范圍．

參考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.C

8.AC

9.BD

10.AD

11.(?8,2)∪(2,+∞)

12.?213.[2,3)

14.解：(1)根據(jù)題意可得(0.005+0.015+0.02+0.03+m+0.005)×10=1，解得m=0.025；

∵前幾組的頻率依次為0.05，0.15，0.2，0.3，

∴估計(jì)這100名學(xué)生成績的中位數(shù)為70+0.5?0.05?0.15?0.20.03=70+103≈73.3分；

(2)∵在[80,90)與[90,100]內(nèi)的學(xué)生的頻率之比為0.25：0.05=5：1，

∴抽取的6名學(xué)生在[80,90)內(nèi)有5人，在[90,100]有1人，

∴再從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生共有C62=15個(gè)結(jié)果，

而抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動(dòng)愛好者”和“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”各15.解：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

由題知，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，所以∠BAC=∠CAD=45°，

由余弦定理得CD2=AC2+AD2?2AC?ADcos45°=2+4?22×2×22=2，

所以CD=2，又AC=AB2+BC2=2，所以AC2+CD2=AD2，

即AC⊥CD，因?yàn)镻A∩AC=A，PA，AC?平面PAC，所以CD⊥平面PAC，

因?yàn)镃D?平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC．

(2)由(1)知，PD在平面PAC內(nèi)的射影為PC，所以CE16.解：(1)函數(shù)f(x)=ax?b1+x2是定義在[?1,1]上的奇函數(shù)，

f(?x)=?ax?b1+x2=?ax?b1+x2=?f(x)，解得：b=0，

∴f(x)=ax1+x2，而f(1)=?1，解得a=?2，

∴f(x)=?2x1+x2，x∈[?1,1]．

(2)函數(shù)f(x)=?2x1+x2在[?1,1]上為減函數(shù)；證明如下：

任意x1，x2∈[?1,1]且x1<x2，

則f(x1)?f(17.解：(1)由正弦定理得a?ca+b=sinA?sinBsinC=a?bc，化簡得a2+c2?b2=ac，

結(jié)合余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=12，而B∈(0,π)，所以B=π3．

(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則外接圓面積S=πR2=12π，解得R=23．

根據(jù)正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R=43．

由18.解：(1)因?yàn)锳C⊥BC，AC/?/EF，

所以EF⊥BC，即EF⊥FC，EF⊥PF，PF∩FC=F，PF，F(xiàn)C?平面PFC，

EF⊥平面PFC，PC?平面PFC，

所以EF⊥PC．

(2)因?yàn)槎娼荘?EF?C是直二面角，

所以平面PEF⊥平面EFC，平面PEF∩平面EFC=EF，PF⊥EF，PF?平面PEF，PF⊥平面EFC，

以FE，F(xiàn)C，F(xiàn)P分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)平面CEF法向量為n=(0,0,1)，

P(0,0,43),C(0,23,0),E(43,0,0),